用字母表示数课例研究

——基于数学思考的学生自主学习能力的培养 太师一附小 成艳斌 背景分析

《新课程标准》指出：义务教育阶段数学课程的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。2007年的新课标修订稿继续提出：义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，使人人都能获得良好的数学教育。而良好数学教育的核心即：数学能力的培养。

当课改走入冷静期，当我们再重新审视这一出发点时，试问：当学生走过小学生涯，他们究竟学到了什么？我们的教学是否有“牛弹琴”现象？是否忽略了“学生主体”？是否正确贯彻了“动手实践、自主探索、合作交流”这些学生学习数学的重要方式？是否违背了波利亚的“自主建构”理论，妨碍了学生的可持续发展？

通过对课堂教学实际的观察与反思，我发现，教师具备教学新理念，开展教学新模式，但细节落实不够，形式化严重，具体表现在：

1、教师组织学生“动手实践、自主探索、合作交流”，但时间上的不足，导致无法充分发挥这些学习模式的优势。

2、教师一面注重“问题意识”培养，一面却很少给学生提问的机会，造成 “你教你的，我学我的”。

3、教师能与学生“平等对话”，但留给学生的思考空间不大，学生自主性丧失比较严重。

由此，我们确定了基于数学思考的学生自主学习能力的培养目标如下： 1、重视“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”四个方面目标的有机实现，激发学生学习兴趣。

2、有效发挥“教师主导”，真正落实“学生主体”，通过思考或合作交流感悟数学基本思想，积累基本经验，形成良好习惯。

课例描述

教学内容：

《义务教育课程标准实验教科书 数学》（人教版）五年级上册第44~45页。 本课属单元起始课，也是学生认识代数的开端。本单元的内容安排如下：

困 扰

以往我们常这样教学本课：

一、找规律填数，感受字母可以表示固定数。

二、回顾运算律，感受用字母表示数的好处，即：简明易记，便于应用。初步掌握字母相乘的简写方法。

三、结合正方形的周长、面积公式，区分x²和2x的意义。 四、巩固提升。

这样的“四环节”教学后，我们都有这样的困惑：

1、只教例1~例2，内容比较单一，无挑战性，学习也枯燥，用字母表示数的简写方法不够完整，加上例3，高容量又会让课堂无法承受。

2、教材以运算律为例说明用字母表示数的优点，旧知重提，缺乏新鲜感。若重复性教学，将严重影响学生的自主学习积极性。

3、用字母表示运算律比用符号更优越，原因不在于更简洁，而是更“方便应用交流”。如何引导学生对旧知进一步全面认识成了难题。

4、“用字母表示数”是学习方程的基础，“方程的意义”是解方程的基础，“稍复杂的方程”则是解方程的发展。但对于已经用具体的数表达自己想法有五年之久的小学生来说，经过“头脑风暴”接受这种抽象的方式存在困难。往年的教学中，学生总有排斥用方程解决问题的现象发生，究其原因，是没有认识到方

程法的直接简单，与没有充分认识到用字母表示数的简洁性也不无关系。

整合资源 解决问题

在新课程标准中对于第二学段的“式与方程”有这样的描述和要求： （1）在具体情境中会用字母表示数。 （2）会用方程表示简单情境中的等量关系。

（3）理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程。

与第三学段相比，要求是浅了许多。但转念一想，学生知识的积累是“螺旋上升”的，用字母表示数既然是整个代数学的开端，那就有许多后续内容。尤其是升入初中后，用字母表示数的应用将越发广泛，比如用π、e、i等表示固定的常数，用αβγ等表示角度……用字母表示数的例子在数学及其他学科中比比皆是。如果我能让学生体验到用字母表示数的广泛性及普遍性，也许学生从情感上就更容易接受这部分抽象的知识了。

抱着试一试的态度，我开始重新设计本课： 教学目标：

1、学生认识用字母表示数的意义和作用，会简写含有字母的式子，特殊区分x²和2x的意义。

2、在具体情境中，学生能感受到用字母表示数的“简便易记，便于应用”。 3、通过文化介绍，学生能感受到数学文化的博大，激发学生进一步的学习兴趣。

重难点：

体会用字母表示数的“简便易记，便于应用” 简便记法、区分x²和2x的意义 初见成效

在思考中前行，常能收到意想不到的效果。经过几次试讲及各位专家的指导，本课的设计终于初见成效。

以下为区年会教学时的课堂实录： 一、课前游戏 激发兴趣。

师：在上课前我们做一个数字游戏：比比谁在规定时间内数的自然数多。20秒，开始。

生热烈、积极地数。

汇报：75个，85个，132个。

师：刚才给了大家20秒，你数了100多个，如果给你2倍的时间，你大概能数多少个？

生：200多个。

师：那不限时间呢？（数不完）。

师：你能想个办法，把这无限个自然数一下数完吗？（不可能）。 师：数学就有这样的本领。（课件出示N）在我们数学上，用一个大写的字母N表示了所有的自然数。（生很惊奇）不可能的事情实现了，神奇吗？（神奇）这个方法好不好？

生齐：好。

师：好在哪？（简洁）。

师：短短的一段时间，就感受到了字母的神奇，还想继续学习吗？（想） 【设计意图及目标达成：在特定的游戏活动中，学生体验了数不完无限个自然数到用一个字母简洁表示的过程，感受到数学神奇和字母简洁的同时，激发了学生主动学习的兴趣。兴趣永远是学习的起点。】

二、问题激疑 引发探究

教师板书课题，并引导学生就课题提出问题。 生1：我想知道用哪些字母可以表示哪些数？ 师记录：？字母 ？数

生2：为什么非得用字母表示数？

师：也就是用字母表示数有什么好处，对吗？ 生肯定地点头。

师：谁能先回答一下这个问题？ 生：因为用字母表示数很简单。 师：除了简单，还有别的好处吗？ 师记录：好处？

师：看出来，同学们对这个课题有着浓厚的兴趣。我们常说，问题是研究的

先导。下面就让我们带着这些问题，一起走进研究之旅。

【设计意图及目标达成:哈尔莫思说：问题是数学的心脏。在开课前，就所学课题提出自己想知道的问题，不仅是问题意识的培养，同时帮助学生提纲挈领地认清本课学习目标，还集中了注意力，“一箭三雕”。】

【课题思考:问题是研究的先导，也是激发学生自主学习内动力的一个途径。从实际教学中看，高年级学生确实具备提出有效问题的能力，给学生提问的机会，有助问题意识的培养。】

三、整合资源，突破好处

1、游戏感受用字母表示一个确定的数。

（过程略）总结揭示：在数学上，我们经常用字母表示数。 2、文化熏陶，感受特定字母表示特定数的普遍及简洁 动态出示：3.1415926…… 师：现在屏幕上出现了一个数。

随着小数点后面的数字越来越多，越来越多的学生开始感叹。 一生不断地轻声喊：3.N，3.N。 师：这个数写完了吗？（没有）。

师：对，后面用省略号表示了。你能把这个数记录在你的练习本上吗？ 生均表示不行，太麻烦。

生：我能。3.N。因为N能表示所有的自然数。

师：呵呵，没问题，孩子，你也认为N表示的是所有的自然数，那用N表．．．示这个特定小数的小数部分合适吗?(不合适)。不过尽管如此，我依然要和你握．．．．．．．．．握手，因为你已经开始主动地和“用字母表示数”做朋友了。

【课题思考：学生能主动选择用字母表示数，正说明了学生已经在短短的时间内开始接受这种抽象的知识并主动应用和建构。而此生成与课前游戏直接相关，可见：体验可促成情感目标的达成，进而促进知识技能的自主达标。】

师：孩子们，圆周率是一个无限不循环小数。如果愿意，计算机可以帮助我

们计算到小数点后面上亿位。（生：哇！）

课件动态演示：满屏幕的数隐去，呈现字母π。（生：哇！）

师：一个永远写不完的数就这样写完了，你有什么感受？（生齐：简洁！） 师：其实，除了简洁性外，还可以方便世界各国的人们交流，只要人们一看到这个特定字母π，大家都知道它就表示圆周率。这就是用字母表示数的另一个好处：便于交流。

师：可以和字母π相媲美的还有一个——e,自然对数的底数，也表示一个无限不循环小数。

出示：i表示-1的平方根,G表示阿伏加德罗常数，我们还常用希腊字母α、β、γ等表示角度……我们还常用S表示面积，C表示周长；用x、y、z表示未知数。

生静静得看。

师：这样的例子，不仅数学上有，物理、化学、生物等学科，这样的例子也比比皆是。瞧，孩子们，撩开用字母表示数的面纱，原来它的内容竟然这样丰富。

师：如果刚才的内容有些生涩不好理解，那么这个字母你一定见过。 出示：K。（生皱眉头）。 出示扑克牌。（生恍然）。

师：原来用字母表示数就在我们的身边。

【设计意图及目标达成：数学常常枯燥，是因为我们没有给学生神奇的体验。而事实上，我们只要稍微一接触数学，就会发现它的博大精深，为他的魅力而折服。保罗·朗之万说：在数学教学中，加入历史是有百利而无一弊的。在学生感觉最神奇的时候，自然也就便于学生积极的学习，主动的建构。】

3、从生活、知识经验中挖掘用字母表示数的例子。

教师引导学生选择一种又对又快的方式，把四种运算律全部表示出来。

运 算 定 律 加法交换律 加法结合律 文字叙述 用字母表示 举例 其他方式 乘法交换律 乘法结合律 学生在给定时间内完成。师巡视，并展示第一位完成的同学作品。 师统计只选择用字母表示的学生人数并引导重点思考：用○+□=□+○和a+b=b+a哪种更好？

展台呈现另一作品，对比文字叙述、用字母表示、举例三种方法。 学生交流哪种更好。（略）

【设计意图及目标达成：运算律对学生来说是旧知，对本课来说，是旧知新用。怎样设计才可以给学生自主学习的机会且能够学出新意？比较是一种方法，也是一种思想。以旧知识为载体，以比较为过程，促使学生不断思考、感悟、建构，提高学生的抽象概括能力。有了π等字母方便交流的认识，此处学生接受用字母表示数“便于应用”水到渠成。】

4、简便记法 （1）找根据

师依次板书：a×b=b×a，a·b=b·a，ab=ba。并引导发现写法的变化。 生：老师，乘号省略了，那加号可以省略吗？

师：这个问题提得好，我们的研究就是在不断发问和求索中前进的。孩子们，你有这样的问题吗？老师这样写有根据吗？赶快打开书P45，找一找，画一画。

（2）读根据，抓关键词理解。 师引导学生读根据，品根据。

课件演示：在含有字母的式子里，字母之间的乘号可以省略。 ．．．．．．．．．．

生完成运算律的简写。全班订正，并感受字母可以表示不确定的数。 【设计意图及目标达成：带着问题读书，学习就更加有针对性。学生在找关键词品读的过程中，自主建构了对规则的理解。】

【课题思考：自主学习能力的培养离不开教师的有效引导，给学生一个思考的空间，就是将学习的主人翁地位还给学生，由此，学生才有了对自己提出问

题并解决问题的机会。】

三、强化巩固，再授新知 省略乘号写出下面各式

a×x= b×8= x×x= 学生完成。

集体订正，师生交流，完成两个目标：

·巩固并进一步理解：只有在含有字母的式子里，字母之间的乘号才可以省略；数与字母相乘，省略乘号，数要写到字母的前面；b×1=b。

·初步认识x²与2x的区别。 2、再次强化x²、2x的不同意义。

师生交流完成：当x=6时，2x= x +x=6+6=12。x²= x×x=6×6=36。 小组合作完成表格： 算一算，填一填 x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x² 2x 重点感受x²和2x表示的不同意义并汇报新的发现。 四、回顾课前问题，总结全课 （略）

启示与思考

从实录中可以看出来，起初的困惑得到了比较的解决，胡金蝉老师于课后评价：这是一节实效性很强的课：

A、活动有实效。给学生题纸，让学生选择喜欢的方法来表示运算定律，学生有体验，有交流，加以老师的提升总结。实效性强，效果也很好。

B、读书有实效。老师巧借学生提出的问题，引导学生读课本，并借助多媒

体，逐字推敲，学生印象深刻。

C、指导有实效。教师主导与学生主体水融，针对性强，及时点拨，体现了老师很强的控制学生和控制课堂的能力。

D、练习设计有实效。通过重组课本内容，设计填表练习，突破了x²和2x。 钱学锋老师这样评价本课：从学生不会到会，不断生成问题的过程中，显示出学生全身心投入了思维过程。而之所以能做到问题有效，是因为：

A、教学设计重体验，让学生在体验中感知、理解、体会。

B、在课堂教学中关注学生：关注每个学生的每个答案和每个问题；关注学生出错的地方。

细思之下，其实自己本节课最好的地方在于调动了学生的自主学习积极性。由此带来的启示：

1、不可忽略数学的文化教育功能。

新课改后，我们开始常常困惑着这样的现象：尖子生能攻难题，但动手和应用数学解决问题能力差，“好胜心”代替了“好奇心”，缺乏创新能力；学困生把数学视为“拦路虎”，认为数学是一门与实际无关的枯燥乏味的抽象学科，从而逐渐成为“数学弃儿”。数学教育成了“过滤器”，而非求知的“泵”。

著名数学教育家丁石孙教授一语道破天机：我们长期以来，不仅没有认识到数学的文化教育功能，甚至不了解数学是一种文化，这种状况在相当程度上影响了数学研究和数学教育。

长期以来，我们改进教学方法，以适应对当前课本知识的传授，目的是：应试，于是也成就了上面的现象。事实上，我们的教育着眼点要比“数学是思维的体操”高一层——“数学是一种文化，具有强大的文化教育功能。”

2、培养习惯，具体指导。

据调查，人们在实际工作中所用到的知识只是他们在各级学校里所学知识的20%-30%。一个人只有掌握了正确的学习方法，具备了自主学习的能力，才能在一生中不断获得新的知识。所谓“授人以鱼，不如教人以渔”。问题习惯的培养要贯彻在每一次师生交流中。学生问题意识越强，学习针对性也就越强，学生自主学习的能力才能越强。

3、不可忽略“教师主导”。