2019年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题(高级中学)

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）

1. 若函数 ，在 处可导，则 值是（ ）。

A. B. C. D.

2. 若函数 ，的一阶导函数在 处连续，则正整数 的 取值是（ ）。

A. B. C. D.

3. 已知点 ，若平面 过点 且垂直于 ，则平面 与平面 的夹角是（ ）。 A. B. C. D.

4. 向量 满足 ，那么 （ ）。 A. B. C. D.

5. 设 阶方阵 的秩 ，则在 的 个行向量中（ ）。 A. 任意一个行向量均可由其它 个行向量线性表出 B. 任意 个行向量均可构成极大线性无关组 C. 任意 个行向量均线性无关 D. 必有 个行向量线性无关

6. 下列变换中关于直线 的反射变换是（ ）。 A.

B. C. D.

7. 下列对向量学习意义的描述：

① 有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系； ② 有助于学生理解数算的意义和价值，发展运算能力； ③ 有助于学生掌握处理几何问题的一种方法，体会数形结合思想； ④ 有助于学生理解数学不同内容之间存在广泛的联系。 其中正确的共有（ ）。

A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 数学归纳法的推理方式属于（ ）。

A. 归纳推理 B. 演绎推理 C. 类比推理 D. 合情推理 二、简答题（本大题共5小题，每题7分，共35分）

9. 已知变换 ，其中变换矩阵

（1）写出椭圆

， 。

在该变换下的曲线方程；（5分）

（2）举例说明在该变换下什么性质保持不变，什么性质发生变化（例如距离，

斜率，相交等）。（2分）

10. 已知 ，

（1）求曲线 与 所围平面图形的面积；（4分）

（2）求平面图形 ， 绕 轴旋转一周得到的旋转体体积。（3分）

11. 一个袋子里有8个黑球，8个白球，随机不放回地连续取球5次，每次取出1个球，求最多取到3个白球的概率。

12. 数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动，请你给出数学教学中融入数学文化的两个事例。

13. 简述数学建模的主要过程。

三、解答题（本大题1小题，10分）

14. 设 在 ， 上连续，且 ，请用二分法证明 在 ， 上至少有一个根。

四、论述题（本大题1小题，15分）

15. 有人说，当前数学教学欠缺的是思维能力的培养。请谈谈你的看法，并给出具体的教学建议。

五、案例分析题（本大题1小题，20分）

16. 在学习了“直线与圆的位置”后，教师要求学生解决如下问题。 求过点 且与☉ ： 相切的直线 的方程。 一位学生给出的解法如下：

由☉ ： 知，圆心 ，半径为1。

设直线 的斜率为 ，则其方程为 ，即 。 因为直线 与☉ ： 相切， 所以圆心 到直线 的距离

，解得 ，

所以，所求直线 的方程为 。

（1）指出该解法的错误之处，分析错误原因，并给出两种正确解法；（10分） （2）针对该题的教学，谈谈该如何设置问题，帮助学生避免出现上述错误。（10分）

六、教学设计题（本大题1小题，30分）

17. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》对“导数的概念及其意义”提出的学习要求为：

①通过案例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。 ②体会极限思想。

③通过函数图像直观理解导数的几何意义。

请针对“导数的概念及其意义”，以达到学习要求①为目的，完成下列教学设计： （1）写出教学重点；（6分）

（2）写出教学过程（只要求写出新课导入、概念的形成与巩固等过程）及设计意图。（24分）