您的当前位置：首页 2022年黑龙江省大庆市高考理科数学一模试卷及答案解析

2022年黑龙江省大庆市高考理科数学一模试卷及答案解析

来源：抵帆知识网

2022年黑龙江省大庆市高考理科数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（1﹣2i）2﹣（1+i）2＝（） A．﹣3﹣2i

B．﹣3﹣6i

C．3﹣2i

D．3﹣6i

2．设集合P＝{x|x2﹣4x≤5}，Q＝{x|2＜x＜8}，则图中阴影部分表示的集合为（）

A．{x|2＜x≤5}

→

B．{x|2＜x＜8}

→

C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|5＜x＜8}

3．若向量𝑎=（2，3），𝑏=（8，m），则（） A．∃m∈Z，𝑎⊥𝑏

→

B．∃m∈Z，𝑎∥𝑏

→

C．∀m∈R，𝑎•𝑏≠m D．∃m∈R，|𝑎|＝|𝑏|

→→

→

4．若P（0，1）为圆x2+2x+y2﹣15＝0的弦MN的中点，则直线MN的方程为（） A．y＝﹣x+1

B．y＝x+1

C．y＝2x+1

D．y＝﹣2x+1

5．若数列{f（n）}（n∈N*）为等比数列，则称f（x）为等比函数．下列函数中，为等比函数的是（） A．f（x）＝x2 C．f（x）＝5x+1﹣5x

B．𝑓(𝑥)=√2𝑥 D．f（x）＝x•5x+1

6．已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m⊥n”是“α⊥β”的（） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

第 1 页共 22 页

C．充要条件

𝜋

D．既不充分也不必要条件

𝜋6

7．将函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(4𝑥−4)+𝑐𝑜𝑠(4𝑥−4)的图象向左平移个单位长度后，得到函数（gx）的图象，则g（x）＝（） A．−√2𝑠𝑖𝑛(4𝑥−3) C．√2𝑠𝑖𝑛(4𝑥+6)

𝜋𝜋

B．√2𝑠𝑖𝑛(4𝑥+3) D．𝑠𝑖𝑛(4𝑥+3)

2𝜋

𝜋

8．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣x）f（x﹣1）+2xf（2x）＞0的解集为（） A．(−∞，3)

B．（﹣∞，﹣1）

C．(3，+∞)

D．（﹣1，+∞）

9．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且P（8，3cosα）为α终边上一点，则cos2α＝（） A．−

9B．−

C． 9

D． 9

10．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线（曲线AB与曲线CD）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝36cm，则|AD|＝（）

A．12√10𝑐𝑚

B．6√38𝑐𝑚

C．38cm

D．6√37𝑐𝑚

11．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB＝2，BC＝3，AC=√7，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（） A．

38𝜋3

B．

40𝜋3

C．14π D．

44𝜋3

12．已知a＝log32，b＝log43，c=𝑙𝑜𝑔4√3，则（） A．b＞a＞c

B．c＞b＞a

C．a＞b＞c

D．b＞c＞a

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

第 2 页共 22 页

13．写出一个最小正周期为4，且最大值也为4的函数：f（x）＝． 14．函数𝑓(𝑥)=𝑥+1+𝑙𝑛𝑥的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率为． 15．一个等差数列共有n项，若该数列的前3项和为3，最后3项和为156，公差为3，则n＝，该数列的前项和为．

2𝑛

𝑓′(1)

16．已知P为抛物线y=12𝑥2上的动点，M（0，3），N（4，3），则|PM|+|PN|的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝α＝35°，∠BDC＝β＝100°，CD＝400m．在点C测得塔顶A的仰角为50.5°．

（1）求B与D两点间的距离（结果精确到1m）；（2）求塔高AB（结果精确到1m）．

参考数据：取√2sin35°＝0.811，√2sin80°＝1.393，tan50.5°＝1.2．

第 3 页共 22 页

2−2𝑛

18．（12分）已知数列{an}的前n项积𝑇𝑛=2𝑛

（1）求{an}的通项公式；

．

（2）若bn＝（3n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．

第 4 页共 22 页

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC＝2，AB＝4，BD＝2√5．（1）证明：BC⊥PD；

（2）若PC＝PD=√13，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

第 5 页共 22 页

20．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex．

（1）若a∈（0，+∞），讨论f（x）在（0，a）上的单调性；

（2）若函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2在[1，2]上的最大值小于−3，求m的取值范围．

第 6 页共 22 页

2𝑒

21．（12分）已知椭圆C：（1）求C的方程；

𝑥2𝑎2+

𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的焦距为4，且C经过点（√3，1）．

（2）过点D（2，0）的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过原点O作OM⊥QG．垂足为M．证明：存在定点N，使得|MN|为定值．

第 7 页共 22 页

（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

𝑥=|𝑠𝑖𝑛𝛼|

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{（α为参数）．

𝑦=1+𝑐𝑜𝑠𝛼（1）求C的直角坐标方程，并说明C是什么曲线；

（2）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，若点A（A异于极点）为射线θ=12与C的交点，求点A的极坐标．

第 8 页共 22 页

5𝜋

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x|+|x﹣3a|．（1）若f（x）≥6，求a的取值范围；

（2）若a＞0，求关于x的不等式f（x）＜5a的解集．

第 9 页共 22 页

2022年黑龙江省大庆市高考理科数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（1﹣2i）2﹣（1+i）2＝（） A．﹣3﹣2i

B．﹣3﹣6i

C．3﹣2i

D．3﹣6i

解：（1﹣2i）2﹣（1+i）2＝1﹣4i﹣4﹣（1+2i﹣1）＝﹣3﹣4i﹣2i＝﹣3﹣6i．故选：B．

2．设集合P＝{x|x2﹣4x≤5}，Q＝{x|2＜x＜8}，则图中阴影部分表示的集合为（）

A．{x|2＜x≤5}

B．{x|2＜x＜8}

C．{x|﹣1≤x＜2}

D．{x|5＜x＜8}

解：由题意可得：集合P＝{x|x2﹣4x≤5}＝{x|﹣1≤x≤5}，Q＝{x|2＜x＜8}， ∴P∩Q＝{x|2＜x≤5}，

由题意，图中阴影部分表示Q中去掉P∩Q后剩下的部分， ∴图中阴影部分表示的集合为{x|5＜x＜8}，故选：D．

3．若向量𝑎=（2，3），𝑏=（8，m），则（） A．∃m∈Z，𝑎⊥𝑏

→

B．∃m∈Z，𝑎∥𝑏

→

C．∀m∈R，𝑎•𝑏≠m D．∃m∈R，|𝑎|＝|𝑏|

→→

→

解：∵𝑎=（2，3），𝑏=（8，m）， A：若𝑎⊥𝑏，则16+3m＝0，∴m=−

→

→→

→

∉Z，∴A错误， 3B：若𝑎∥𝑏，则2m＝24，∴m＝12∈Z，∴B正确，

C：若𝑎•𝑏=16+3m＝m，则m＝﹣8，∴m＝﹣8时，𝑎•𝑏=m，∴C错误， D：若|𝑎|＝|𝑏|，则22+32＝82+m2，∴m2＝﹣51不成立，∴D错误，故选：B．

4．若P（0，1）为圆x2+2x+y2﹣15＝0的弦MN的中点，则直线MN的方程为（）

第 10 页共 22 页

→

→→

A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1

解：x2+2x+y2﹣15＝0化为标准方程为（x+1）2+y2＝16， ∵P（0，1）为圆（x+1）2+y2＝16的弦MN的中点， ∴圆心与点P确定的直线斜率为

1−00−(−1)

=1，

∴弦MN所在直线的斜率为﹣1，

∴弦MN所在直线的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣0），即x+y﹣1＝0．故选：A．

5．若数列{f（n）}（n∈N*）为等比数列，则称f（x）为等比函数．下列函数中，为等比函数的是（） A．f（x）＝x2 C．f（x）＝5x+1﹣5x

B．𝑓(𝑥)=√2𝑥 D．f（x）＝x•5x+1

解：对于A，∵12，22，32，•不是等比数列， ∴f（x）＝x2不是等比函数，故A错误；对于B，∵√2，√4，√6，⋅⋅⋅不是等比数列， ∴f（x）=√2𝑥不是等比函数，故B错误；对于C，∵

5𝑥+2−5𝑥+15𝑥+1−5𝑥(𝑥+1)⋅5𝑥+2𝑥⋅5𝑥+1=5，∴f（x）＝5x+1﹣5x是等比函数，故C正确； =

5𝑥+5𝑥

对于D，∵错误．故选：C．

=5+𝑥不是常数，∴f（x）＝x•5x+1不是等比函数，故D

6．已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m⊥n”是“α⊥β”的（） A．充分不必要条件 C．充要条件

解：如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

平面ABC1D1为α，平面BB1D1D为β，平面ABB1A1为γ，

则α∩γ＝m＝AB，β∩γ＝n＝BB1，显然AB⊥BB1，平面ABC1D1与平面BB1D1D不垂直，即充分性不成立；

又平面ABCD为α，平面ABB1A1为β，平面A1B1CD为γ，

则α∩γ＝m＝CD，β∩γ＝n＝A1B1，显然平面ABCD⊥平面ABB1A1，但A1B1与CD不垂直，即必要性不成立；

第 11 页共 22 页

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

所以“m⊥n”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件．故选：D．

7．将函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(4𝑥−4)+𝑐𝑜𝑠(4𝑥−4)的图象向左平移个单位长度后，得到函数（gx）

𝜋

的图象，则g（x）＝（） A．−√2𝑠𝑖𝑛(4𝑥−) C．√2𝑠𝑖𝑛(4𝑥+6)

𝜋

4𝜋4𝜋𝜋3B．√2𝑠𝑖𝑛(4𝑥+) D．𝑠𝑖𝑛(4𝑥+3)

𝜋4𝜋42𝜋

𝜋3解：将函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛(4𝑥−)+𝑐𝑜𝑠(4𝑥−)=√2sin（4x−+）=√2sin4x的图象向左平移个单位长度后，

6𝜋

得到函数g（x）=√2sin（4x+3）=√2sin（−4x）=−√2sin（4x−3）的图象，

3故选：A．

8．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣x）f（x﹣1）+2xf（2x）＞0的解集为（） A．(−∞，3)

2𝜋

𝜋

B．（﹣∞，﹣1）

C．(3，+∞)

D．（﹣1，+∞）

解：由f（x）为偶函数，可得函数g（x）＝xf（x）为奇函数，

由g（x）在[0，+∞）上单调递减，可得g（x）在（﹣∞，0]上单调递减，可得g（x）在R上单调递减．

不等式（1﹣x）f（x﹣1）+2xf（2x）＞0即为（x﹣1）f（x﹣1）＜2xf（2x），即有g（x﹣1）＜g（2x），

由g（x）在R上单调递减，可得x﹣1＞2x，解得x＜﹣1，

则原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）．

第 12 页共 22 页

故选：B．

9．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且P（8，3cosα）为α终边上一点，则cos2α＝（） A．−9

B．−9

C． 9

D． 9

解：因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且P（8，3cosα）为α终边上一点，所以cosα=＝0，

解得：cos2α=，或﹣8（舍去），可得cos2α＝2cos2α﹣1＝2×−1=．故选：C．

9798√82+(3𝑐𝑜𝑠𝛼)2，可得：cos2α=

，整理可得：9cos4α+cos2α﹣2+9𝑐𝑜𝑠𝛼

A．12√10𝑐𝑚

B．6√38𝑐𝑚

C．38cm

D．6√37𝑐𝑚

解：以双曲线的对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，因为双曲线的离心率为2，不妨设双曲线方程为所以2a＝30，则a＝15，即双曲线方程为

𝑥2152

𝑥2𝑎2−

𝑦23𝑎2=1（a＞0），

−

𝑦23×152

𝑦2

=1，

=1可得x＝±3√37，

因为|AB|＝36，所以A的纵坐标为18，代入故|AD|＝6√37，故选：D．

𝑥2

152

−

3×152

第 13 页共 22 页

11．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB＝2，BC＝3，AC=√7，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（） A．

38𝜋3

B．

40𝜋3

C．14π D．

44𝜋3

解：∵PA⊥底面ABC，可将三棱锥P﹣ABC置于圆柱O1O2内，其中圆O2为△ABC的外接圆，

𝐴𝐵2+𝐵𝐶−𝐴𝐶4+9−761

由余弦定理可得cos∠ABC====， 2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶2×2×31222

∵0＜∠ABC＜π，则∠ABC=3，则△ABC外接圆的直径2r=

√7√7𝐴𝐶2√7=√3=，则r=，

𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐶√3√3𝜋

2所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径R=√𝑟2+𝑂𝑂22=√3+1=√3，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2=3．故选：B．

40𝜋

710第 14 页共 22 页

12．已知a＝log32，b＝log43，c=𝑙𝑜𝑔4√3，则（） A．b＞a＞c 解：∵2＜3

B．c＞b＞a

，∴2√2＜22𝑙𝑔2

C．a＞b＞c D．b＞c＞a

=√8＜3，

(√2𝑙𝑔2+𝑙𝑔3)(√2𝑙𝑔2−𝑙𝑔3)， 2𝑙𝑔2×𝑙𝑔3∴log32﹣log43=𝑙𝑔3−2𝑙𝑔2=

𝑙𝑔3

∵√2𝑙𝑔2−𝑙𝑔3=𝑙𝑔2√2−𝑙𝑔3＜0，∴log32﹣log43＜0，即a＜b， ∵=

𝑐𝑎

𝑙𝑜𝑔32𝑙𝑜𝑔4√3=

1𝑙𝑜𝑔234

𝑙𝑜𝑔32

=4(𝑙𝑜𝑔32)2，

又∵𝑙𝑜𝑔32＞𝑙𝑜𝑔3√3=2， ∴4(𝑙𝑜𝑔32)2＞1，即a＞c， ∴b＞a＞c，故选：A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．写出一个最小正周期为4，且最大值也为4的函数：（fx）＝ 4sinx （答案不唯一）．

2𝜋

解：一个最小正周期为4，且最大值也为4的函数为y＝4sinx，

𝜋

故答案为：4sinx （答案不唯一）．

𝜋

14．函数𝑓(𝑥)=𝑥+1+𝑙𝑛𝑥的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率为．

90解：由题意得：𝑓′(𝑥)=−

𝑓′(1)(𝑥+1)

2𝑓′(1)

+𝑥，

第 15 页共 22 页

所以𝑓′(1)=−4所以𝑓′(𝑥)=−

𝑓′(1)

+1，解得𝑓′(1)=5，

2+𝑥，

5(𝑥+1)

所以k＝f′（2）=90．故答案为：

3790

．

15．一个等差数列共有n项，若该数列的前3项和为3，最后3项和为156，公差为3，则n＝ 20 ，该数列的前项和为 115 ．

2𝑛

解：根据题意得3（a1+an）＝3+156＝159，a1+an＝53 ①，

由公差d＝3和S3＝3a1+3d＝3可求得a1＝﹣2，代入①得2×（﹣2）+3（n﹣1）＝53，解得n＝20；

该数列的前项和为：S10＝10×（﹣2）+

2𝑛

10×9

×3=115． 2故答案为：20；115． 16．已知P为抛物线y=解：抛物线y=

𝑥上的动点，M（0，3），N（4，3），则|PM|+|PN|的最小值为 6 ． 1212

𝑥化为标准方程为x2＝12y，可得焦点（0，3），M点（0，3）恰好为12焦点，准线方程为y＝﹣1，

将N的坐标代入32＞12×42，所以N在抛物线的内部，如图所示：

过P作准线的垂线，垂足为P'，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，则|PM|+|PN|＝|PN|+|PP'|≥|NP'|＝3﹣（﹣3）＝6，当且仅当N，P，P'三点共线时取等号，故答案为：6．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

第 16 页共 22 页

骤。17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

（1）求B与D两点间的距离（结果精确到1m）；（2）求塔高AB（结果精确到1m）．

参考数据：取√2sin35°＝0.811，√2sin80°＝1.393，tan50.5°＝1.2．

解：（1）在△BCD，∠CBD＝180°﹣α﹣β＝45°，由正弦定理有则BD=

𝐶𝐷𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐵𝐷

𝐵𝐷𝑠𝑖𝑛𝛼

，

𝐶𝐷𝑠𝑖𝑛𝛼400𝑠𝑖𝑛35°

==400√2sin35°＝400×0.811＝324.4≈324m；

𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐵𝐷𝑠𝑖𝑛45°𝐶𝐷𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐵𝐷

（2）由正弦定理得则BC=𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐵𝐷=

𝐶𝐷𝑠𝑖𝑛𝛽

𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝛽

，

400𝑠𝑖𝑛100°400𝑠𝑖𝑛80°

=𝑠𝑖𝑛45° 𝑠𝑖𝑛45°＝400√2𝑠𝑖𝑛80°=400×1.393＝557.2m，

故塔高AB＝BCtan50.5°＝557.2×1.2＝668.≈669m． 18．（12分）已知数列{an}的前n项积𝑇𝑛=2𝑛

（1）求{an}的通项公式；

（2）若bn＝（3n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．解：（1）数列{an}的前n项积𝑇𝑛=2𝑛

2−2𝑛

．

，

𝑇2

所以当n≥2时，𝑎𝑛=𝑇𝑛==22𝑛−3； 2(𝑛−1)−2(𝑛−1)𝑛−1

𝑛2−2𝑛

当n＝1时，𝑎1=𝑇1=2（首项符合通项）；

第 17 页共 22 页

所以𝑎𝑛=22𝑛−3．

（2）由（1）得：bn＝（3n﹣1）an＝（3n﹣1）•22n3，

﹣

所以𝑆𝑛=2×2−1+5×21+...+(3𝑛−1)⋅22𝑛−3①， 4𝑆𝑛=2×21+5×23+...+(3𝑛−1)⋅22𝑛−1②，

①﹣②得：−3𝑆𝑛=1+3×(21+23+...+22𝑛−3)−(2𝑛−1)⋅22𝑛−1，

3×(2−2)2𝑛−1=1+−(3𝑛−1)⋅2， 4−1(3𝑛−2)⋅2所以𝑆𝑛=

32𝑛−1

2𝑛−1

．

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC＝2，AB＝4，BD＝2√5．（1）证明：BC⊥PD；

（2）若PC＝PD=√13，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

（1）证明：∵底面ABCD为平行四边形，AB＝4，∴CD＝4，又BC＝2，BD＝2√5，∴BC2+CD2＝BD2，即BC⊥CD， ∵平面PCD⊥底面ABCD，且平面PCD∩底面ABCD＝CD， BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PCD，得BC⊥PD；

（2）解：取CD的中点O，连接PO， ∵PC＝PD=√13，∴PO⊥CD，

又平面PCD⊥底面ABCD，且平面PCD∩底面ABCD＝CD， ∴PO⊥平面ABCD，取AB中点E，以O为坐标原点，

分别以OE、OC、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，﹣2，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，3）， ∴𝐴𝐵=(0，4，0)，𝑃𝐵=(2，2，−3)，𝐵𝐶=(−2，0，0)，

第 18 页共 22 页

→

设平面ABP的一个法向量为𝑚=(𝑥，𝑦，𝑧)，

→𝑚⋅𝐴𝐵=4𝑦=0

由{→→，取z＝2，得𝑚=(3，0，2)； 𝑚⋅𝑃𝐵=2𝑥+2𝑦−3𝑧=0

→

设平面PBC的一个法向量为𝑛=(𝑎，𝑏，𝑐)，

→⋅𝐵𝐶=−2𝑎=0由{𝑛，取c＝2，得𝑛=(0，3，2)． →→

𝑛⋅𝑃𝐵=2𝑎+2𝑏−3𝑐=0→

→

𝑚⋅𝑛44

∴cos＜𝑚，𝑛＞=→→==13．

|𝑚||𝑛|√13×√13→

→

→→

由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角， ∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为

413

．

20．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex．

（1）若a∈（0，+∞），讨论f（x）在（0，a）上的单调性；

（2）若函数g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2在[1，2]上的最大值小于−3，求m的取值范围．

解：（1）f（x）＝（x﹣2）ex，则f′（x）＝（x﹣1）ex，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， ①0＜a≤1时，f（x）在（0，a）递减，

②a＞1时，f（x）在（0，1）递减，在（1，a）递增；（2）g（x）＝f（x）﹣m（x﹣1）2＝（x﹣2）ex﹣m（x﹣1）2， g′（x）＝（x﹣1）（ex﹣2m），

①m≤0时，ex﹣2m＞0，令g′（x）＝0，解得：x＝1，

第 19 页共 22 页

2𝑒

故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

故g（x）在[1，2]递增，g（x）max＝g（2）＝﹣m≥0，不合题意；

②0＜m≤2时，ln2m≤1，f（x）在[1，2]单调递增，g（x）max＝g（2）＝﹣m， −≤−𝑚＜02故{2𝑒，无解，不合题意

−𝑚＜−

3𝑒2

③＜m＜2时，1＜ln2m＜2， 2𝑒

𝑒

令g′（x）＞0，解得：x＞ln2m或x＜1，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜ln2m，

故g（x）在[1，ln2m）递减，在（ln2m，2]递增，故g（x）max＝g（1）或g（2），

若g（1）是最大值，则g（1）＝﹣e＜−3，

𝑒2此时g（2）＝﹣m≤﹣e，则m≥e，故e≤m＜2；

2𝑒

若g（2）是最大值，则﹣e＜g（2）＝﹣m＜−3，故＜m＜e，

𝑒2

故＜m＜；

23𝑒2

④m≥2时，ln2m≥2， 2𝑒

2𝑒

故g（x）在[1，2]单调递减，g（x）max＝g（1）＝﹣e＜−3，符合题意；综上：m的取值范围是（21．（12分）已知椭圆C：（1）求C的方程；

（2）过点D（2，0）的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过原点O作OM⊥QG．垂足为M．证明：存在定点N，使得|MN|为定值．

解（1）由椭圆的焦距为4，可得2c＝4，即c＝2，可得椭圆的左右焦点（﹣2，0），（2，0），

因为椭圆过点（√3，1），

由椭圆的定义可得2a=√(√3+2)2+12+√(√3−2)2+1，可得a2＝6，b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2，

第 20 页共 22 页

2𝑒

2𝑒3

，+∞）．

𝑦2𝑏2𝑥2𝑎2+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且C经过点（√3，1）．

所以椭圆的方程为：

𝑥26

𝑦22

=1；

（2）证明：由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

𝑥=𝑚𝑦+2联立：{2，整理可得（3+m2）y2+4my﹣2＝0， 2

𝑥+3𝑦=6可得y1+y2=

12−4𝑚−2

，yy=， 12

3+𝑚23+𝑚21𝑦1

可得m=（+

1𝑦2

），

因为G（3，y1），Q（my2+2，y2），直线QG的斜率

𝑦2−𝑦1𝑚𝑦2−1

111(+)𝑦2−12𝑦1𝑦2

𝑦2−𝑦1

=2y1，

52所以直线QG的方程为：y﹣y1＝2y1（x﹣3），可得y＝2y1x﹣5y1＝2y1（x−），可得直线QG恒过定点H（，0），

因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形，取OH的中点N（，0），则|MN|=|OH|=，

2即|MN|为定值，

可证得存在N（，0），使得|MN|为定值．

（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

𝑥=|𝑠𝑖𝑛𝛼|22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{（α为参数）．

𝑦=1+𝑐𝑜𝑠𝛼（1）求C的直角坐标方程，并说明C是什么曲线；

（2）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，若点A（A异于极点）为射线θ=12与C的交点，求点A的极坐标．

第 21 页共 22 页

5𝜋

𝑥=|𝑠𝑖𝑛𝛼|

解：（1）曲线C的参数方程为{（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y

𝑦=1+𝑐𝑜𝑠𝛼﹣1）2＝1；

由于x＝|sinx|，所以x2+（y﹣1）2＝1（x≥0）．即该曲线是以（0，1）为圆心，1为半径的右半部分； 𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃（1）圆的方程，根据{𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑥2+𝑦2=𝜌2

，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ，

𝜋

所以曲线C的极坐标方程为𝜌=2𝑠𝑖𝑛𝜃(0≤𝜃≤2)．将θ=

5𝜋5𝜋√2+√6代入ρ＝2sinθ，得到𝜌=2𝑠𝑖𝑛=． 121225𝜋√2+√6，）． 212

所以点A的极坐标为（[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x|+|x﹣3a|．（1）若f（x）≥6，求a的取值范围；

（2）若a＞0，求关于x的不等式f（x）＜5a的解集．

解：（1）因为函数f（x）＝|x|+|x﹣3a|≥|x﹣（x﹣3a）|＝|3a|，当且仅当x（x﹣3a）≤0时等号成立，

所以f（x）≥6，等价于f（x）min＝|3a|≥6，解得a≤﹣2或a≥2，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）；

（2）当x≤0时，f（x）＝﹣x﹣（x﹣3a）＝3a﹣2x＜5a，解得﹣a＜x≤0；当0＜x＜3a时，f（x）＝x﹣（x﹣3a）＝3a＜5a，得0＜x＜3a；当x≥3a时，f（x）＝x+（x﹣3a）＝2x﹣3a＜5a，解得3a≤x＜0；综上知，不等式f（x）＜5a的解集为（﹣a，4a）．

第 22 页共 22 页

因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容

查看全文