双曲线及其标准方程练习题

[学业水平层次]

一、选择题

x2y2

1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围( )

2＋m2－mA．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0

D．|m|≥2

【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0. ∴－2＜m＜2. 【答案】 A

2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )

x2y2

A.9－16＝1 x2y2

C.9－16＝1(x≤－3)

y2x2

B.9－16＝1 x2y2

D.9－16＝1(x≥3)

【解析】 由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，

x2y2

∴P点的轨迹方程为9－16＝1(x≥3)． 【答案】 D

3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )

x2y2

A.2－3＝1

x2y2

B.3－2＝1

x22

C.4－y＝1 y2

D．x－4＝1

2

|PF2|＝2，|PF1|·

【解析】 由 222

|PF1|＋|PF2|＝25，

⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，

即2a＝4，解得a＝2，又c＝5，所以b＝1，故选C. 【答案】 C

x2y2

4．已知椭圆方程4＋3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )

A.2 C．2

B.3 D．3

【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a＝1，c2

c＝2，所以双曲线的离心率为e＝a＝1＝2.

【答案】 C 二、填空题

x2y2

5．设点P是双曲线9－16＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.

【解析】 由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4. 于是c＝a2＋b2＝5.

(1)若点P在双曲线的左支上，

则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16； (2)若点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝6，

∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.

综上，|PF2|＝16或4. 【答案】 16或4

6．(2014·河南省洛阳高一月考)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)

①2；②－1；③4；④－3.

x2y2

【解析】 设双曲线的方程为a2－b2＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，571

∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－2【答案】 ①②

7．(2014·哈尔滨高二检测)已知△ABP的顶点A、B分别为双曲|sin A－sin B|x2y2线C：右焦点，顶点P在双曲线C上，则16－9＝1的左、sin P的值等于________．

x2y2

【解析】 由方程16－9＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝16＋9＝5.

|sin A－sin B|在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝sin P||PB|－|PA||2a2×44|AB|＝2c＝2×5＝5. 4

【答案】 5 三、解答题

x2y2

8．求与双曲线4－2＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程．

x2y2

【解】 ∵双曲线4－2＝1的焦点在x轴上． x2y2

依题意，设所求双曲线为a2－b2＝1(a>0，b>0)． 又两曲线有相同的焦点， ∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.

①

x2y2

又点P(2,1)在双曲线a2－b2＝1上， 41

∴a2－b2＝1.

②

由①、②联立，得a2＝b2＝3， x2y2

故所求双曲线方程为3－3＝1.

9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．

【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；

y2x2

(3)当k＜0时，方程为4－4＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；

－kx2y2

(4)当0＜k＜1时，方程为4＋4＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；

kx2y2

(5)当k＞1时，方程为4＋4＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．

k

[能力提升层次]

x2y2x2y2

1．椭圆4＋a2＝1与双曲线a－2＝1有相同的焦点，则a的值为

( )

A．1 B.2 C．2 D．3

【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且 a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0， ∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A

2．(2014·桂林高二期末)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )

A．2 B．4 C．6 D．8

【解析】 不妨设P是双曲线右支上一点， 在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝2， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝22，

∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2， 1∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·2， ∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴8＝4＋|PF1||PF2|， ∴|PF1||PF2|＝4.故选B. 【答案】 B

x2y23．(2014·福建省厦门一中期末考试)已知双曲线16－25＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.

【解析】 设F′是双曲线的右焦点，连PF′(图略)，因为M，

1

O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝2|PF′|，

又|FN|＝|OF|2－|ON|2＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝111

8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－2|PF′|＝2(|PF|－|PF′|)－|FN|＝2×8－5＝－1.

【答案】 －1

x2y2

4．已知双曲线16－4＝1的两焦点为F1、F2.

→→

(1)若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求点M到x轴的距离； (2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C的方程．

【解】 (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，

→→MF1·MF2＝0， 则MF1⊥MF2， 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，

由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， 又m2＋n2＝(2c)2＝80，

由①②得m·n＝8， 11

∴2mn＝4＝2|F1F2|·h， 25∴h＝5.

(2)设所求双曲线C的方程为

②

x2y2

－＝1(－4<λ<16)， 16－λ4＋λ

由于双曲线C过点(32，2)， 184所以－＝1，

16－λ4＋λ解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． x2y2

∴所求双曲线C的方程为12－8＝1.