小学数学竞赛试题 图形的分割.教师版与学生版都有

4-2-4.图形的分割

知识点拨

几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。我们发现，在迎春杯几何问题中，这类题目很多。掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。 解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

例题精讲

模块一、简单分割

【例 1】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A和B分别与正方形中心点重合，如

果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.

【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试，4题 【解析】 将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48÷8=6

（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。

【答案】90平方厘米

【例 2】 正方形ABCD的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方

形(如图)，求大正方形的面积．

ADBC【考点】图形的分割 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方

形的面积是：199(平方米)．

【答案】9平方米

【例 3】 将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三

个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.

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【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第6题，4分 【解析】 阴影部分是大正方形的0.5×0.5×0.5×0.5=【答案】16倍

1，所以正方形是阴影的16倍 16

【例 4】 正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边

形(如右图)，求六边形的面积．

ABC

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，过A、B、C分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六

边形面积等于13平方米．

【答案】13平方米

【例 5】 正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下

图的图形，求这个图形的面积．

AFEDBCFEDABC【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，

原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122 (平方米)

【答案】2平方米

【例 6】 长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AC、AH、DH、BC的中点。三角形

EFG的面积是 平方厘米。

EAD

FGBHC【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第3题

11【解析】 405（平方厘米）

24【答案】5平方厘米

【例 7】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了

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若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空

1216【解析】 图1中阴影部分占整个三角形面积的，图2中阴影部分占整个三角形面积的，故图2中阴影

291216部分的面积为294÷=200(平方分米)．

29【答案】200平方分米

【例 8】 右图中的大正方形ABCD的面积是 1，其它点都是它所在的边的中点。请问：阴影三角形的面积

是多少？

AD图1图2BC【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第6题

【解析】 图中有大、中、小三个正方形，每个面积是前一个的

11，所以小正方形面积是，将小正方形各顶241点标上字母如右图，很容易看出三角形JFG面积＝三角形IHG面积＝×正方形EFGH面积，三角

41111形EJI面积＝×三角形EFH面积＝×正方形EFGH面积。所以阴影三角形JGI面积＝(1－－

4448133－)×小正方形面积＝×小正方形面积＝。 88323【答案】

32

【例 9】 下图中有四条弦，每一条弦都把大圆分割成两个面积比为1:3的区域，而且这些弦的交点恰好是一

个正方形的四个顶点。这些弦把圆分割成9个区域，则此正方形的面积是区域P面积的 倍。（3.14）

P【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，第1题 【解析】 去掉两边的弓形之后，中间部分面积是整个圆的一半，横竖两块中间部分面积和就等于圆面积，所

以重叠部分面积等于4个P面积的和。即正方形面积是P的4倍。

【答案】4

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模块二、化整为零

【例 10】 在图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘

米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?

ADEBFC

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：如图，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC占有9个小等腰三角形，

其中阴影部分占有6个小等腰三角形，S△ABC=9×9÷2=40.5(平方厘米)，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米)．

AHIEBFDGC 方法二：如图，连接IG，有四边形ADGI为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘

11米)，于是SSHIG=×S正方形AIGD=×62=9.而四边形IGFB为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘

44米)，所以S长方形IGFB=6×3=18．阴影部分面积为A HIG与长方形IGFB的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．

AHIEBFGCD

方法三：如图，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母．

AHIEBFGCD

易知三角形BIE、CGF、AIH、DGH均为等腰直角三角形．

先求出等腰直角三角形AHI、CGF的面积，再用已知的等腰三角形ABC的面积与其作差，

18119即为需求阴影部分的面积．有S△ABC=S△DEF=×EF×DF=，SCGF=×CF×FG=．

2222因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．

如图，可以将4个三角形DGH拼成一个边长为DG的正方形．

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DHG1×DG×DG=9，而S△AIH=S△DGH=9， 4819所以S阴影BFGHI= S△ABC-S△CGF-S△AIH= --9=27(平方厘米)．

22即阴影部分的面积为27平方厘米．

【答案】27平方厘米

【例 11】 正方形ABCD与等腰直角三角形BEF放在一起（如图），M、N点为正方形的边的中点，阴影部

分的面积是14cm2，三角形BEF的面积是____ cm2。

所以，S△ACDS△DGH=

FAMDNBCE

【考点】图形的分割 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第8题 【解析】 因为M、N是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下

FAMDNBCE

图形中的三角形面积都相等，阴影部分由7个三角形组成，且其面积为14平方厘米，故一个三角形的面积为2平方厘米，那么三角形BEF的面积是18平方厘米。 【答案】18平方厘米

【例 12】 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、8、58，则④、

⑤这两块的面积差是 ．

②①②①③④⑤③④⑤

【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，7题 【解析】 由于②的面积是①的4倍，所以可以把②分成4倍的①，而两个①为一个方格，一个方格的面积为

224．根据58260，则①与③一共是60415格，所以①与③是35的长方形．所以正方形边长是①的直角边长的5倍，等腰直角三角形直角边长是①的直角边长的7倍，则④的格数为8格，⑤的格数为10格，④、⑤这两块的面积差是1082(格)，1格的面积为4，所以④、⑤这两块的面积差为428．

【答案】8

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【例 13】 如图4，在长方形ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、DA上的点，且使得四边形AEFG是

直角梯形，如果梯形AEFG的面积是15平方厘米，那么长方形ABCDGAE45，GF∶AE2∶3．的面积是 平方厘米．

DFCEGAB【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，初试，9题 【解析】 这是一道几何问题，重点考察同学们对等腰直角三角形性质的认识．

方法一：在长方形ABCD中，由于四边形AEFG是直角梯形，GAE45，可知DGFDFGCFEFECEABBEA45，所以，△DGF、△CEF、△ABE都是等腰直角三角形．故可将长方形ABCD分割，如图6：

DFCEG

AB显然，S梯形AEFG10S△CEF，SABCD24SCEF，

2424S梯形AEFG1536平方厘米． 1010方法二：在直角梯形AEFG中，AE∥GF，由GAE45，可知GDF45，因为直角三角形GDF 与ABE的斜边GF∶AE2∶3，所以直角边DF∶AB2∶3，故FC∶AB1∶3．于是，

19．连结DE，则S△DEC3S△FEC，DF∶FC∶AB2∶1∶3，SDFG∶SCEF∶SABE4∶∶110S△DECS△AEBSABCD，SABCD24S△CEF，S梯形AEFG10S△CEFSABCD，所以

2242424SABCDS梯形AEFG1536平方厘米．

1010【答案】36平方厘米

【例 14】 一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别为1，1，l，l，2，3．大长方形

的面积是 ．

SABCD211311

【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第3题，8分 【解析】 面积为2的部分可以划分为两个单位三角形，并可观察出，空白部分可以划分为14个单位三角形。

所以，大长方形的面积为1+1+14+3=19。

【答案】19

【例 15】 如右图，一个面积为2009平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三

个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且B是AC的中点；那么阴影长方形的面积是 平方厘米．

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CBA【考点】图形的分割 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，7题

a2【解析】 方法一：设等腰直角三角形的腰长为a，那么等腰直角三角形的面积为．因为B是AC的中点，

2a2aa那么可以判断三个梯形的高都是．这样每个梯形的两底之和为22a，其中左右两个梯形，

222a3a5a上底比下底短，可求得左右两个梯形的上底为，下底为．上边的梯形，上底比下底短a，

244a3a3a7aa5a可求得上边的梯形上底长为，下底长．所以长方形的宽为a，长为aa．所244222227a5a35a15a以大长方形的面积为，而阴影长方形的面积为，所以阴影长方形的面积为428835152009861．

88方法二：利用图形分割如下图知道左右两个角上的直角三角行可以分割为四个小直角三角行看做4份，因为两个等腰直角三角形、三个梯形的面积相等，所以这五部分共可以看作20份，长方形的面积可以看作15份，所以整个图形被2015=35（份），那么阴影长方形的面积是20093515=861（平方厘米）

【答案】861平方厘米

【例 16】 如图中正六边形的面积为24，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影部分

的面积是________。

AC

DB【考点】图形的分割 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第7题 【解析】 5

在格点图中，每个小三角形的面积是1，可以数出阴影外面的部分19，那么阴影部分的面积是5。 【答案】5 4-2-4 图形的分割 题库 page 7 of 32

【例 17】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；

那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

A1B6A6B5A5B4A4B3B1A2B2A3【考点】图形的分割 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，14题 【解析】 如图，设B6A2与B1A3的交点为O，则图中空白部分由6个与△A2OA3一样大小的三角形组成，只要

求出了△A2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.

A1B6A6B5A5B4A4B3B1OA2B2A3

连接A6A3、B6B1、B6A3

设△A1B1B6的面积为“1”，则△B1A2B6面积为“1”，△A1A2B6面积为“2”，那么△A6A3B6面积为为“4”，梯形A1A2A3A6的面积为224212，“6”，△A1A2B6的2倍，△B1A2A3△A2B6A3的面积为

的面积为2

612∶6，故S△A2OA3根据蝴蝶定理，B1OA3OS△B1A2B6∶S△A3A2B61S△B1A2A3，

167121所以S△A2OA3∶S梯形A1A2A3A6∶12∶1∶7，即△A2OA3的面积为梯形A1A2A3A6面积的，故为六边形

77113A1A2A3A4A5A6面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的6，所以阴影部分面积为

141473200911148(平方厘米).

7方法二：分割如下图：整个图形被分成7个小的正六边形，每个面积为20097=287，根据下图知道，阴影部分是由一个小正六边形和六个半个小六边行组合而成，合计为4个小六边形，面积是2874=1148（平方厘米）

【答案】1148平方厘米

【例 18】 如右图，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形．已知AB=22厘米，BC=20厘米，那么每一

个正方形的面积为 平方厘米．

ADBC

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【考点】图形的分割 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级，初赛，15题 【解析】 将所有的正方形按照弦图进行分割如图：设每个小直角三角形的长直角边长为a，短直角边长为b，

3a2b22a6那么根据大长方形的长宽可列出方程组：，解得，所以每个小正方形的面积为

3ab20b2622262226240平方厘米．

ADBC【答案】40平方厘米

4-2-4.图形的分割

知识点拨

几何面积问题除了利用常规的五大模型、各种公式求得之外，还可以用图形分割的思想来做。我们发现，

在迎春杯几何问题中，这类题目很多。掌握好这种思想方法，可以帮助我们解决很多几何难题。 解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形（等角直角三角形、等边三角形等）、正方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

例题精讲

模块一、简单分割

【例 19】 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A和B分别与正方形中心点重合，如

果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米.

【例 20】 正方形ABCD的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方

形(如图)，求大正方形的面积．

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ADBC

【例 21】 将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三

个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的________ 倍.

【例 22】 正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边

形(如右图)，求六边形的面积．

ABC

【例 23】 正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下

图的图形，求这个图形的面积．

AFEDBCFEDABC

【例 24】 长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AC、AH、DH、BC的中点。三角形

EFG的面积是 平方厘米。

EAD

FGBHC

【例 25】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了

若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的

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面积是______平方分米．

【例 26】 右图中的大正方形ABCD的面积是 1，其它点都是它所在的边的中点。请问：阴影三角形的面积

是多少？

AD图1图2BC

【例 27】 下图中有四条弦，每一条弦都把大圆分割成两个面积比为1:3的区域，而且这些弦的交点恰好是一

个正方形的四个顶点。这些弦把圆分割成9个区域，则此正方形的面积是区域P面积的 倍。（3.14）

P

模块二、化整为零

【例 28】 在图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘

米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?

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ADEBFC

【例 29】 正方形ABCD与等腰直角三角形BEF放在一起（如图），M、N点为正方形的边的中点，阴影部

22

分的面积是14cm，三角形BEF的面积是____ cm。

FAMDNBCE

【例 30】 一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积分别是2、8、58，则④、

⑤这两块的面积差是 ．

②①

②①③④⑤③④⑤

【例 31】 如图4，在长方形ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、DA上的点，且使得四边形AEFG是

直角梯形，如果梯形AEFG的面积是15平方厘米，那么长方形ABCDGAE45，GF∶AE2∶3．的面积是 平方厘米．

DFCEGAB

【例 32】 一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别为1，1，l，l，2，3．大长方形

的面积是 ．

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211311

【例 33】 如右图，一个面积为2009平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三

个梯形．已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且B是AC的中点；那么阴影长方形的面积是 平方厘米．

CBA

【例 34】 如图中正六边形的面积为24，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影部分

的面积是________。

AC

DB

【例 35】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；

那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

A1B6A6B5A5B4A4B3B1A2B2A3

【例 36】 如右图，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形．已知AB=22厘米，BC=20厘米，那么每一

个正方形的面积为 平方厘米．

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ADBC

一年级（上）

一.准备课 1.数一数 2.比多少 二.位置

1.上、下、前、后 2.左、右

三.1—5的认识和加减法 1.1—5的认识 2.比多少 3.第几 4.分和合 5.加法 6.减法 7.0

四.认识图形（一） 认识图形

五.6—10的认识和加减法 1.6和7 2.8和9 3.10

4.连加、连减、加减混合 六.11—20各数的认识 1.11—20各数的认识

2.10加几、十几加几和相应的减法 七.认识钟表 认识钟表

八.20以内的进位加法 1.9加几

2.8、7、9加几 3.5、4、3、2加几 4.解决问题

一年级（下）

一.认识图形（二） 认识图形

二.20以内的退位减法 1.十几减9

2.十几减8、7、6

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3.十几减5、4、3、2 4.解决问题 三.分类与整理 分类与整理

四.100以内数的认识 1.数数、数的组成 2.数的顺序、比较大小 3.解决问题

4.整十数加一位数及相应的减法 五.认识人民币 1.认识人民币 2.简单的计算

六.100以内的加法和减法(一) 1.整十数加、减整十数 2.两位数加一位数、整十数 3.两位数减一位数、整十数 4.解决问题 七.找规律

1.找规律（一） 2.找规律（二）

二年级（上）

一.长度单位 1.厘米和米 2.线段

二.100以内的加法和减法(二) 1.加法 2.减法

3.连加、连减和加减混合 三.角的初步认识 1.认识角 2.认识直角

3.认识钝角和锐角 四.表内乘法（一） 1.乘法的初步认识 2.5的乘法口诀

3.2、3、4的乘法口诀 4.6的乘法口诀 五.观察物体（一）

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观察物体（一） 六.表内乘法（二） 7、8、9的乘法口诀 七.认识时间 认识时间

八.数学广角—搭配（一） 数学广角—搭配（一）

二年级（下）

一.数据收集整理 数据收集整理 二.表内除法（一） 1.除法的初步认识

2.用2-6的乘法口诀求商 3.解决问题

三.图形的运动（一） 1.轴对称图形 2.平移和旋转

四.表内除法（二）

1.用7、8、9的乘法口诀求商 2.解决问题 五.混合运算 混合运算

六.有余数的除法

1.有余数的除法的意义和计算 2.解决问题

七.万以内数的认识 1.1000以内数的识 2 .10000以内数的认识 3 .整百、整千数加减法 八.克和千克 克和千克

九.数学广角—推理 生活中的推理

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三年级（上）

一.时、分、秒 1.秒的认识 2.时间的计算

二.万以内的加法和减法（一） 1.口算两位数加减两位数 2.几百几十加减几百几十 3.三位数加减三位数的估算 三.测量

1.毫米、分米的认识 2.千米的认识 3.吨的认识

四.万以内的加法和减法（二） 1.加法 2.减法

五.倍的认识 倍的认识

六.多位数乘一位数 1.口算乘法 2.笔算乘法 3.含0的乘法 4.估算与解决问题 七.长方形和正方形 1.四边形

2.周长、长方形和正方形周长 八.分数的初步认识

1.分数的初步认识（一） 2.分数的初步认识（二） 3.分数的简单计算 4.分数的简单应用

九.数学广角——集合 集合思想

三年级（下）

一 位置与方向（一）

1 认识东、南、西、北四个方向

2 认识东北、东南、西北、西南四个方向 二 除数是一位数的除法 1 口算除法

2 一位数出两、三位数的笔算除法 3 商的中间或末尾有0的笔算除法

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4 用估算解决问题 三 复式统计表 复式统计表

四 两位数乘两位数 1 口算乘法 2 笔算乘法 五 面积

1 面积和面积单位

2 长方形、正方形面积的计算 3 面积单位间的进率 六.年、月、日 1 年、月、日 2 24时计时法

七 小数的初步认识 1 认识小数

2 简单的小数加、减法

八 数学广角——搭配（二） 数学广角——搭配（二）

四年级（上）

一 大数的认识

1 亿以内数的认识（一） 2 亿以内数的认识（二）

3 数的产生、十进制计数法和亿以上数的认识 4 计算工具的认识、算盘和计算器 5 1亿有多大

二 公顷和平方千米 1 认识公顷 2 认识平方千米 三 角的度量

1 线段、直线、射线和角 2 角的度量 3 角的分类 4 画角

四 三位数乘两位数 1 笔算乘法（一） 2 笔算乘法（二） 五 平行四边形和梯形 1 平行与垂直

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2平行四边形和梯形 六 除数是两位数的除法 1 口算除法

2 笔算除法（一） 3 笔算除法（二） 4 笔算除法（三） 5 笔算除法（四） 6 商的变化规律 七 条形统计图 条形统计图

八 数学广角——优化 数学广角——优化

四年级（下）

一 四则运算

1 加减法的意义和各部分间的关系 2 乘除法的意义和各部分间的关系 3 括号

二 观察物体（二） 观察物体（二） 三 运算定律 1 加法运算定律 2 乘法运算定律

四 小数的意义和性质 1 小数的意义和读写法 2 小数的性质和大小比较

3 小数点移动引起小数大小的变化 4 小数与单位换算 5 小数的近似数 五 三角形

1 三角形的特性 2 三角形的分类 3 三角形的内角和 六 小数的加法和减法 1 小数加减法

2 小数加减混合运算

3 整数加法运算定律推广到小数 七 图形的运动（二） 1 轴对称 2 平移

八 平均数与条形统计图 1 平均数

2 复式条形统计图

九 数学广角——鸡兔同笼 数学广角——鸡兔同笼

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五年级（上）

一 小数乘法 1 小数乘整数 2 小数乘小数 3 积的近似数 4 整数乘法 二 位置 位置

三 小数除法

1 除数是整数的小数除法 2 一个数除以小数 3 商的近似数 4 循环小数

5 用计算器探索规律 6 解决问题 四 可能性

事件发生的可能性 五 简易方程 1 用字母表示数

2 方程的意义及等式的性质 3 解方程

4 实际问题与方法 六 多边形的面积 1 平行四边形的面积 2 三角形的面积 3 梯形的面积 4 组合图形的面积

七 数学广角——植树问题 数学广角——植树问题

五年级（下）

一 观察物体（三） 观察物体（三） 二 因数与倍数 1 因数和倍数

2 2、5、3的倍数的特征 3 质数和合数

三 长方体和正方体

1 长方体和正方体的认识 2 长方体和正方体的表面积 3 长方体和正方体的体积

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4 体积单位间的进率 5 容积和容积单位 四 分数的意义和性质 1 分数的意义 2 真分数和假分数 3 分数的基本性质 4 约分 5 通分

6 分数和小数的互化 五 图形的运动（三） 图形的运动（三） 六 分数的加法和减法 1 同分母分数加减法 2 异分母分数加减法 3 分数加减混合运算 七 折线统计图 折线统计图

八 数学广角——找次品 数学广角——找次品

六年级（上）

一 分数乘法 1 分数乘法

2 小数乘分数与分数混合运算 3 解决问题

二 位置与方向（二） 位置与方向 三 分数除法 1 倒数的认识 2 分数除法

3 分数四则混合运算 4 分数应用题 四 比

1 比的意义 2 比的基本性质 3 比的应用 五 圆

1 圆的认识 2 圆的周长 3 圆的面积 4 扇形

六 百分数（一）

1 百分数的意义和写法

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2 百分数与小数、分数的互化 3 用百分数解决问题 七 扇形统计图 扇形统计图

八 数学广角——数与形

六年级（下）

一 负数 负数

二 百分数(二) 1 折扣 2 成数 3 税率 4 利率

三 圆柱与圆锥 1 圆柱 2 圆锥 四 比例

1 比例的意义和基本性质 2 正比例和反比例的意义 3 比例的应用

五 数学广角——鸽巢问题 数学广角——鸽巢问题

小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结

第一单元小数乘法

1、小数乘整数：

@意义——求几个相同加数的和的简便运算。

如：1.5×3表示求3个1.5的和的简便运算（或1.5的3倍是多少）。

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@计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

2、小数乘小数：

@意义——就是求这个数的几分之几是多少。

如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少（或求1.5的1.8倍是多少）。 @计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

注意：按整数算出积后，小数末尾的0要去掉，也就是把小数化简；位数不够时，要用0占位。

3、规律：

一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 4、求近似数的方法一般有三种：

⑴四舍五入法； ⑵进一法； ⑶去尾法

5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分；保留一位小数，表示计算到角。

6、小数四则运算顺序和运算定律跟整数是一样的。

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7、运算定律和性质： @ 加法：

加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) @ 减法：

a-b-c=a-(b+c) a-(b+c)=a-b-c @ 乘法：

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c【(a-b)×c=a×c-b×c】 @ 除法：

a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b×c) =a÷b÷c

第二单元 位 置

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1、数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右分别为列数和行数，即“先列后行”。

2、作用：一组数对确定唯一 一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。 例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3，5）表示（第三列，第五行）。

注：（1）在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示行。如：数对（3,2）表示第三列，第二行。

（2）数对（X，5）的行号不变，表示一条横线，（5，Y）的列号不变，表示一条竖线。（有一个数不确定，不能确定一个点）

2、图形左右平移行数不变；图形上下平移列数不变。

第三单元小数除法

1、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3，求另一个因数的运算。

2、小数除以整数的计算方法：小数除以整数，按整数除法的方法去除。商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0，点上小数点。如果有余数，要添0再除。

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3、除数是小数的除法的计算方法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。

注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。 4、在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。

5、除法中的变化规律：

①商不变：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。

②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。 ③被除数不变，除数缩小，商扩大。

6、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

@ 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232……的循环节是32.

7、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。

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第四单元可能性

1、有些事件的发生是确定的，有些是不确定的。 可能 （不能确定） 可能性 不可能 （确定）

一定 2、事件发生的机会（或概率）有大小。 大 数量多

可能性 小 数量少

第五单元简易方程

1、在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。

注： 加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。 2、a×a可以写作a·a或a 读作a的平方。 注： 2a表示a+a ； a表示a×a

3、方程：含有未知数的等式称为方程。

2

2

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4、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 5、求方程的解的过程叫做解方程。 6、解方程原理：天平平衡。

等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。 7、10个数量关系式： @ 加法；

和=加数+加数 ； 一个加数=和-两一个加数 @ 减法：

差=被减数-减数 ； 被减数=差+减数 ； 减数=被减数-差 @乘法：

积=因数×因数 ； 一个因数=积÷另一个因数 @ 除法：

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商=被除数÷除数 ； 被除数=商×除数 ； 除数=被除数÷商

第六单元多边形的面积

1、长方形：

@ 周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】

字母表示：C=(a+b)×2 @面积=长×宽 字母表示：S=ab 2、正方形：

@周长=边长×4 字母表示：C=4a

@面积=边长×边长 字母表示：S=a

4-2-4 图形的分割 题库 page 29 of 32 2

3、平行四边形的面积=底×高 字母表示： S=ah

4、三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】 字母表示： S=ah÷2

5、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 字母表示： S=（a+b）h÷2

上底=面积×2÷高－下底， 下底=面积×2÷高-上底； 高=面积×2÷（上底+下底）

6、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移、割补法

7、三角形面积公式推导：旋转 、拼凑法

平行四边形可以转化成一个长方形； 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，

长方形的长相当于平行四边形的底； 平行四边形的底相当于三角形的底；

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长方形的宽相当于平行四边形的高； 平行四边形的高相当于三角形的高；

长方形的面积等于平行四边形的面积， 平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，

因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。 因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2

8、梯形面积公式推导：旋转、拼凑法 9、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形；

平行四边形的底相当于梯形的上下底之和； 平行四边形的高相当于梯形的高； 平行四边形面积等于梯形面积的2倍，

因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 10、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等； 等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。 11、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。

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12、组合图形面积（或阴影部分面积）：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算（整体-部分=另一部分）。

第七单元数学广角——植树问题

1、 只载一端（封闭线路植树问题）

如

间隔数=棵树 间隔长×间隔数=全长 全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长

2、 两端都载：

如

图：或 图：

间隔数+1=棵树 间隔长×间隔数=全长 全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长 全长÷间隔长+1=棵数 全长÷（棵树-1）=间隔长

3、 两端都不载

如

图：

间隔数-1=棵树 间隔长×间隔数=全长 全长÷间隔长=间隔数 全长÷间隔数=间隔长 全长÷间隔长-1=棵数 全长÷（棵树+1）=间隔长

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