计算机视觉在并联机器人运动学标定中的应用 董旭明，等 计算机视觉在并联机器人运动学标定中的应用 Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｖｉｓｉｏｎ ｉｎ Ｋｉｎｅｍａｔｉｃ Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐａｒａｌｌｅｌ Ｒｏｂｏｔ 董腿日月 李志主武２ ５１８０５５） （中国人民６１２５１ ，河北秦皇岛０６６１０２；深圳职业技术学院机电工程学院 ，广东深圳摘要：为提高并联机器人运行精度，研究利用计算机视觉标定并联机器人运动学参数的方法。首先对Ｄｅｌｔａ型三自由度并联机器 人进行运动学分析。然后采用光学照相机为传感器，在机构处于不同位姿状态下对固定于动平台上的标定板进行拍照，通过相机标 定以及相应的坐标变换方法，求出动平台中心在基坐标系中的位置。最后利用机器人逆运动学模型、自定义的误差方程和非线性最 小二乘估计，获得运动学参数。实验结果表明，该标定方法成本较低，标定方法简单、有效。 关键词：并联机器人中图分类号：唧传感器执行器运动学标定计算机视觉最小二乘估计逆运动学 ；Ｔ￣２４２ 文献标志码：Ａ ＤＯＩ：１０．１６０８６／ｊ．ｃｎｋｉ．ｉｓｓｎｌ０００—０３８０．２０１６０５００５ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｒｕｎｎｉｎｇ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｐａｒａｌｌｅｌ ｒｏｂｏｔ，ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｕｓｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｖｉｓｉｏｎ ｔｏ ｃａｌｉｂｒａｔｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｐａｒａｌｌｅｌ ｏｂｏｔｒ ｉｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ。ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｄｅｌｔａ ｔｙｐｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｒｏｂｏｔ Ｓｅｎｓｏｒ ｗｉｈ ｔｔｈｒｅｅ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｉｓ ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ．Ｔｈｅｎ。 ｕｓｉｎｇ ｏｐｔｉｃａｌ ｃａｍｅｒａ ａｓ ｔｈｅ ８ｅｕｓｏｒ，ｔｈｅ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｐｌａｔｅ ｆｉｘｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｍｏｖｉｎｇ ｐｌａｔｆｏｒｍ ｉｓ ｐｈｏｔｏｇｒａｐｈｅｄ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｐｏｓｅ－ａｎｄ ｔｈｅ ｐｏｆｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｅｎｔｅｒ ｏｆ ｍｏｖｉｎｇ ｐｌａｔｆｏｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｆｉｇｕｒｅｄ ｏｕｔ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃａｍｅｒａ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ．ｕｓｉｎｇ ｒｏｂｏｔ ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｍｏｄｅｌ。ｃｕｓｔｏｍｉｚｅｄ ｅｌｒｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ。ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ－ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｖｅｒｉｆｙ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｌｏｗ ｃｏｓｔ－ａｎｄ ｉｔｓ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐａｒａｌｌｅｌ ｒｏｂｏｔ Ｓｅｎｓｏｒ Ａｃｔｕａｔｏｒ Ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｖｉｓｉｏｎ Ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ｉｎｖｅｒｓｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ０引言 并联机器人具有多条运动支链，这种结构特点使 得并联机器人具有刚性大、负载能力强、无误差累积等 准确获取动平台的当前位姿，从而基于逆运动学模 型得出主动关节的计算值 “ 。本文讨论利用工业 相机作为传感器来获取并联机器人末端执行器空间 位置信息，通过建立基于并联机器人逆运动学模型 的误差方程，进行非线性最小二乘估计，以实现机器 人的运动学参数标定。 优点 。但同时，由于运动支链中大量连杆的使用以 及被动关节的存在，很难通过一般的测量手段得出高 精度的机器人机构运动学参数。因此，需要通过运动 学标定来获取 。基于并联机构的运动学模型，通过 测量末端执行器的空间位置，计算出主动关节的输入 值；根据主动关节测量值和计算值的误差，利用最４ｘ－－ 乘估计可辨识出运动学参数。这种方法实用性强，而 且成本不高。 随着计算机视觉技术的发展，以工业相机作为 １三自由度Ｄｅｌｔａ并联机器人运动学分析 １．１样机介绍 Ｄｅｌｔａ并联机器人是Ｃｌａｖｅｌ Ｒ于１９８５年提出的 ， 目前已经广泛应用于电子、食品及医药等行业的高速 拾放操作。Ｄｅｌｔａ机构整体结构简单、紧凑，其３条运 动支链具有相同的结构，都由主动臂和从动臂组成。 主动臂的驱动部分按１２０。角均匀分布于定平台；从动 臂和动平台由轻质材料制成，使得该机器人具有良好 的运动学和动力学特性。其中，从动臂平行四边形结 构的应用消除了运动平台的转动自由度，使得Ｄｅｌｔａ机 器人能在运动空间中作三自由度的纯平动运动。若在 定平台和动平台中心增加一条可自由伸缩的杆件连 空间位置信息采集装置的方法得到了越来越广泛的 应用。这种方法在不使用其他任何传感器的情况 下，就可以实现对并联机器人在整个工作空间内位 置信息的捕获，且不受机构构型的。同时，可以 广东省自然科学基金资助项目（编号：￥２０１２０４０００８０４４）。 修改稿收到日期：２０１５—０９—２９。 接，即可实现三平动一转动的运动形式。 本文以自行研制的Ｄｅｌｔａ并联机器人样机为实验 对象。该样机仅能实现三自由度的纯平动运动，其驱 ＰＲＯＣＥＳＳ ＡＵＴＯＭＡＴＩＯＮ ＩＮＳＴＲＵＭＥＮＴＡＴＩＯＮ Ｖｏｋ ３７ Ｎｏ．５ Ｍａｙ ２０１６ 第一作者董旭明（１９８１一），男，２０１０年毕业于哈尔滨工业大学控制 科学与工程专业，获硕士学位，工程师；主要从事机电装备自动化应用方 向的研究工作。 １６ 计算机视觉在并联机器人运动学标定中的应用董旭明。等 动部分采用伺服电机＋减速器组合，从动臂由轻质碳 素材料制作，使得机器人具有很好的运动性能，能达到 较快的速度和加速度。为进一步提高该并联机器人的 控制精度，需要获得精确的运动学参数，为此需对其进 行运动学标定。 １．２运动学分析 并联机器人的逆运动学求解一般比正运动学求解 容易，因此在进行并联机器人运动学标定时，通常是采 用基于逆运动学模型的标定。为方便进行逆运动学求 解，采用含有一条支链的Ｄｅｌｔａ机器人并联机构，其简 图如图１所示。 图１含有一条支链的Ｄｅｌｔａ并联机构简图 Ｆｉｇ．１ Ｓｉｍｐｌｉｉｆｅｄ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｅｌｔａ ｐａｒａｌｌｅｌ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｔｈ ｏｎｅ ｂｒａｎｃｈｅｄ ｃｈａｉｎ 设定基坐标系Ｏ—ＸＹＺ的原点０与定平台中心重 合，３条主动臂在ＸＹ平面上以０点为中心的分布角 （ １，２，３）依次为０。、１２０。和２４０。，Ｚ轴方向为重力加 速度方向。动平台中心Ｏ 在基坐标系中的坐标为（ ， ｙ， ）。 图１中各符号参数及长度定义如表１所示。 表１坐标系中各参数及长度定义 Ｔａｂ．１ Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅ ｐａｌ＇ｌｌ／ｌｌｅｔｅｒｓ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎｎｔｅ ｓｙｓｔｅｍ 符号 意义 Ｄ— ｙｚ 基座标系 （ ，Ｙ，＝） 动平台中心ｏ 在基坐标系中的坐标 Ｄ 定平台中心。到Ａ 的距离 ｄ 动平台中心ｏ 到ｃ 的距离 Ｌ口 主动臂长度 Ｚ 从动臂长度 主动臂ｉ的分布角 ￡ 主动臂ｉ的旋转角度 由并联机构坐标系中各部分几何关系和从动臂杆 长Ｉ Ｊｃ Ｉｌ＝ｆ（ｉ＝１，２，３），可以得到如下机构约束 方程： 《自动化仪表》第３７卷第５期２０１６年５月 （ — ） ＋（Ｙ—Ｙ ） ＋（ 一 ） ＝Ｚ （１） 式中： ＝（Ｄ—ｄ＋Ｌ ＣＯＳＯ￣ｆ）ｃｏｓ０ ；ｙｆ＝（Ｄ—ｄ＋ Ｌ。ＣＯＳＯ￣ｆ）ｓｉｎ０ ； Ｌ ｓｉｎｏｔｉ 逆运动学求解即为已知动平台中心坐标（ ，Ｙ， ），求３个主动臂输入角 。联立上述３个约束方程，化 简得到３个以 为未知变量的二次方程： ａｎ 一ｂｌｔａｎ导＋ｃｉ：０ （２） 式中：口 ＝ ＋ ＋ ＋（Ｄ—ｄ） 一 ＋ 一２（ｘｃｏｓ０，＋ ｙｓｉｎ０￣）（Ｄ—ｄ）＋２ （ＸＣＯ８０ ＋ｙｓｉｎ０ｆ—Ｄ＋ｄ）；６￡＝４Ｌ ｚ； ｃ ＝ ＋ ＋ ＋（Ｄ—ｄ） 一ｆ ＋ 一２（ｘｃｏｓ０ｆ＋ ｙｓｉｎ０ｉ）（Ｄ—ｄ）一２Ｌ。（ｘｃｏｓ０ｉ＋ｙｓｉｎ０ｉ—Ｄ＋ｄ）。 式（２）最多可以求出８组实数解，根据实际的机 械装配情况可分析得出一组解，主动臂输人角 为： ａｎ一 （ ） ㈤ 式中：△ｆ＝ｂ 一４ａ Ｃｆ； ＝１，２，３。 ２基于计算机视觉的运动学标定方法 利用工业相机作为传感器，获取并联机器人末端 执行器的空间位置信息。将相机固定在定平台中的某 个位置，则相机在基座标系上的空间位置 固定。 标定物固定在机器人动平台上，则其相对于动平台的 空间位置 为固定值。通过相机测量，可以获得标定 物相对于相机坐标系的空间位置信息 。这样，通过 坐标映射得到机器人动平台相对于基座标系的空间位 置的表达式为： ＝ Ｔｏ。 （４） 定义各空间位置变换矩阵为： ［ ］ 】 ＝【 ：】 ＝【 ； 】 式中：定为动平台相对基座标系的旋转矩阵，理论上足 应为单位阵；Ｐ为动平台相对基座标系的平移，即动平 台的空间坐标（ ，ｙ， ） ’； 。为相机坐标系相对基座标 系的旋转矩阵，为３×３正交矩阵；ｔ。为相机坐标系相 对基座标系的平移矢量，为３ ｘ １向量； 为标定物相 对相机坐标系的旋转矩阵，为３×３正交矩阵；ｔ 为标 定物相对相机坐标系的平移矢量，为３ Ｘ １向量；足 为 动平台相对标定物的旋转矩阵，为３×３正交矩阵； 为动平台相对标定物坐标系的平移矢量，为３ Ｘ １向 量；ＯＴ为零向量，即Ｏ ＝［０ ０ ０］。 】７ 计算机视觉在并联机器人运动学标定中的应用 董旭明，等 由此可以得到式（４）的详细表达式为： 【 ：】＝【 ； 】【 ：：】【 ： 】 从上式可以获得动平台相对基座标系的空间位 置为： 【重 ］之间的误差为： ％＝ｔａｎ（詈）－ｔａｎ（５－ ） 计算值ｔａｎ［ （·０） ］由式（９）求得。通过ｍ次 Ｐ＝ｌＬ ＪＹ Ｉ ＝Ｒ。Ｒ ｔ ＋Ｒ ｔ ＋ｔｃ ｌｘｌ 测量，得到机器人动平台相对于基座标系的一组位姿 （５） Ｊ＝１，２，３，．．．，ｍ，就可以根据式（１０）计算出一组 误差的函数。 标定物相对相机坐标系的位置矩阵中足 和ｔ。为 相机的外参数矩阵，可由相机标定给出。除此之外，由 式（５）可知，动平台的空间坐标Ｐ只与剩下的引入参 数霞。、ｔｃ、ｔ。有关，故可以确定需要辨识的引入参数的 最小子集ｐ 为： ：（Ｒ ，ｔ。，ｔ ） （６） 利用Ｍａｔｌａｂ软件提供的优化工具箱，求解耗散方 程的非线性最ＩＪ￣＿＿－乘解，就可以估计出机器人的机构 参数Ｐ和引人参数Ｐ 。 ａｒｉｎ∑∑ Ｊ Ｉｌ ３标定实验 ３．１图像采集 （１１） 得到动平台的空间坐标Ｐ，通过逆运动学方程（２）， 即可求出主动臂输入角的计算值 ，ｉ＝ｌ，２，３。由于 机器人原点感应传感器安装时可能存在偏差，导致机 器人处于原点时主动臂不一定处在水平位置，需要考 虑主动臂输入角为零时相对水平位置的偏差角 ， ｉ＝１，２，３。假设Ｄｅｌｔａ机构３条运动支链完全相同，则 此处逆运动学计算时需要考虑的运动学参数子集 ｐ为： 在运动学标定图像采集时，将相机固定在动平台 上，尽量使相机视场覆盖整个机器人工作空间。标定 物为一７×９黑白相间平板，固定于动平台上，以避免 在动平台移动时产生标定物相对于动平台的位置移 动。本文的标定方法及试验过程可参考文献［６］。 通过控制机器人主动臂的输入转角，使机器人动 平台到达工作空间内的不同位置。通过电机编码器， 记录相应位置的主动臂输人角测量值，同时用相机对 标定物进行拍照，获得标定物的图像。 此处筛选出图像质量较好的６０组数据，用Ｍａｔｌａｂ 软件的相机标定工具箱的外参数标定功能处理这６０ 组图像，得到描述标定物位置的６０组数据。 ， ＝１， Ｐ：｛三 ，ｚ， —ｄ，０． ，ｏ３， ｌｏ， ２ｏ， ３０｝ 和机构参数ｐ的函数形式： Ｏ～ｔ（７） 即主动臂输入角计算值 可表述为引人参数ｐ ｉ＝ Ｐ ，ｐ） （８） 相应地，Ｄｅｌｔａ机构的逆运动学方程应由式（２）修 正为： ａｎ （詈＋警）一ｂｉｔａｎ２（孚＋警）＋ｃ ＝０（９） 基座标系的一组位姿 ２，…，６０；根据式（４），计算得到机器人动平台相对于 ，．『＝１，２…．，６０；根据逆运动 而Ｄｅｌｔａ机器人的主动臂输入角的测量值 可以 学模型（９），求出其相对应的主动臂关节转角 ，进而 求出主动轴输入角的半角正切值误差，如式（１０）。利 用Ｍａｔｌａｂ软件提供的优化工具箱处理这６０组数据，对 式（１１）进行非线性最小二乘估计，即可求得待辨识参 通过执行电机的编码器信号获得。这样就可以得到主 动臂输入角的测量值 和计算值 之间的偏差。通过 利用最ｔｌ￣＇－乘方法求取偏差的最小平方和，就可以获 得引入参数ｐ 和机构参数ｐ的最小二乘估计。由于 Ｄｅｌｔａ机构的逆运动学公式（９）以主动臂输入角的半角 数ｐ和ｐ 的值。 ３．２参数估计 正切值形式出现，为了减少计算复杂度，此处误差方程 式直接计算主动臂输入角的测量值和计算值的半角正 切值的偏差。 为了使参数辨识计算过程收敛得更快，参数辨识 得更准确，需要在标定前通过测量的方法获得这些待 估机构参数的近似值作为初始设定值。结合上述６０ 组数据记录，以及机构参数的初步测量结果，通过优化 工具箱的计算，本文的Ｄｅｌｔａ机器人的机构参数的设定 对于任意的机器人动平台位姿 ，定义主动轴输 入角测量值ｔａｎ（孚）的半角正切值与其计算值ｔａｎ 值和标定结果如表２所示。 １ ８ ＰＲＯＣＥＳＳ ＡＵＴＯＭＡＴＩＯＮ ＩＮＳＴＲＵＭＥＮＴＡＴＩＯＮ ＶｏＬ ３７ Ｎｏ．５ Ｍａｙ ２０１６ 计算机视觉在并联机器人运动学标定中的应用董旭明，等 表２标定结果 Ｔａｂ．２ Ｔｈｅ ｃａＩｉｂｒａｔｉ０ｎ ｒｅｓＩｌｌｔｓ ３．３结果检验 为验证标定结果，我们将表２所标定的机构参数 作为其实际参数，设定要将动平台控制移动到高度分 别为６００ ｍｍ、７００ ｎｌｌｎ、８００ ＩＩｌＩｎ和９００ ｌｌｌｉｎ的４个水平 面内４个不同位置，在每一个位置拍照记录，通过图像 分析得出这１６个位置上标定物相对相机坐标系的位 置。将这１６组测量的位置坐标差值与设定的１６组位 置坐标差值进行比较，得到标定误差如表３所示。 表３标定误差分析 Ｔａｂ．３ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒｓｍｍ 从表３得到的误差数据可以看出，进行运动学标 定后，上述试验的最大误差为０．１７５ ４ ｉｎｌｎ，均方差为 ０．０７５ １ ｍｍ。该标定方法具有较高的机构运动精度。 《自动化仪表》第３７卷第５期２０１６年５月 ４ 结束语 采用计算机视觉手段获取并联机器人动平台在全 工作空间的位置信息，通过机器人的逆运动学模型，推 导出主动臂输入角的计算值；将此计算值与借助编码 器等传感器测量的主动臂输入角进行误差比较，建立 基于并联机构参数的误差函数，进而求解非线性最小 二乘问题，辨识出了Ｄｅｌｔａ机器人的运动学参数。试验 验证证明，该运动学标定方法简单、可行，并且成本较 低。需要指出的是，借助于计算机视觉的标定方法，标 定的参数精度取决于工业相机的测量精度；同时，如果 尽可能多地考虑影响运行精度的机构参数，建立含更 多参数的运动学模型，只需通过相机拍摄足够多的机 构在不同位置上的图像，就可实现更为精确的运动学 标定。 参考文献 ［１］Ｍｅｒｌｅｔ Ｊ Ｐ．Ｐａｒａｌｌｅｌ Ｒｏｂｏｔｓ［Ｍ］．２ｎｄ ｅｄｉｔｉｏｎ．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ： ２００６． ［２］Ｈｅｍａｎｄｅｚ Ｅ Ｅ，Ｌｏｐｅｚ Ｃ Ｓ，Ｊａｕｒｅｇｕｉ Ｊ Ｃ．Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｐａｒａｌｌｅｌ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｏｏｌｓ，Ａ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｔ ｓｕｒｅｙ［Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０１０，６（２）： １４１—１５４． ［３］Ｌｏｕ Ｙｕｎｊｉａｎｇ，Ｃｈｅｎ Ｔｉｅｎｉｕ，Ｗｕ Ｙｕａｎ￣ｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｖｉｓｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｕｒｅｌｙ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ ｏｒｔｈｏｐｏｄ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ［Ｃ］／／Ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，２００９． ［４］Ｒｅｎａｕｄ Ｐ，Ａｎｄｒｅｆ Ｎ，Ｌａｖｅｓｔ Ｊ Ｍ，ｅｔ ａ１．ｓｉｒＩｌｐｌｉ劬ｎｇ ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｐａｒａｌｌｌｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｕｓｉｎｇ ｖｉｓｉｏｎ—ｂａｓｄｅ ｍｅｔｏｒｌｏｇｙ ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ＯｉｌＲｏｂｏｔｉｃｓａｎｄＡｕｔｏｍａｉｔｏｎ，２００６，２２（１）： １２—２１． ［５］Ｃｌａｖｅｌ Ｒ．ＤＥＬＴＡ：ａ ｆａｓｔ ｒｏｂｏｔ ｗｉｔｈ ｐａｒａｌｌｅｌ ｇｅｏｍｅｔｒｙ［ｃ］／／１８ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ｒｏｂｏｔ，Ｓｙｄｎｅｙ，Ａｕｓｔｒａｌｉａ， １９８８：９１一１００． ［６］董旭明．三自由度纯平动并联机器人关键技术研究【Ｄ］．哈尔 滨：哈尔滨工、ｌ 大学．２０１０． １９
