常微分方程

《常微分方程》

练习题

二OO五年一月

一、是非题

d2yg1. 微分方程2siny0 是齐次线性方程（ ）.

ldx2. 微分方程的通解包含方程的所有解（ ）. 3. 微分方程的积分因子是唯一的（ ）.

4. 利普希茨（Lipschitz）条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件（ ）.

5. 微分方程的初值问题的饱和解最大存在区间是一个开区间（ ）. 6. 若y1(x),y2(x),…,yn(x)是n阶齐次线性方程的n个解，其朗斯基（Wronski）行列式W(x)0,xI ,则y1(x),y2(x),…,yn(x)在I上线性相关（ ）. 7. 方程组

dxA(t)xF(t)的所有解构成n+1维线性空间（ ）. dt8. 定义在区间I上的向量函数组的线性相关性和它在每一点t0I处的常数向量组的线性相关性，并不等价（ ）.

9. 若y1(x),y2(x),…,yn(x)是n阶齐次线性方程的n个解，其朗斯基（Wronski）行列式W(x0)=0，x0I ,则y1(x),y2(x),…,yn(x)在I上线性相关（ ）. 10. 齐次线性方程组

dxA(t)x的线性无关解的个数不能多于n个（ ）. dt11. 向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念，并不等价（ ）.

12. 若y1(x),y2(x),…,yn(x)是n个函数，xI，它的朗斯基（Wronski）行列式W(x)=0，则y1(x),y2(x),…,yn(x)在I线性相关（ ）.

tt2tt2 , t(，13. 已知向量函授组 、 ),其朗斯基(wronski)行列式W(t)　0　0　00＝0，则它们在(，)线性相关( ).

14. 解在有限区间上对初值的连续依赖性可以推广到解在无限区间上对初值

2

的连续依赖性（ ）.

dxp(x,y)15.如果存在常负（正）函数v(x,y).它关于系统 dt的全导数是正

dyq(x,y)dt（负）定的，则该系统的零解是不稳定（ ）. 二、选择题

1.若微分方程M(x,y）dx+N(x,y)dy =0有积分因子μ(x,y),则μ(x,y)满足（ ）.

A. N(x,y)μ(x,y)μ(x,y)M(x,y)N(x,y)M(x,y)()μ(x,y) xyyxμ(x,y)μ(x,y)M(x,y)N(x,y)N(x,y)()μ(x,y) xyyxμ(x,y)μ(x,y)M(x,y)N(x,y)M(x,y)()μ(x,y) xyxyμ(x,y)μ(x,y)M(x,y)0 xyB. M(x,y)C. N(x,y)D. N(x,y)2. 曲线x2y2c满足微分方程（ ）.

A. xyy0 B. yx0 yC. yxy0 D. yy2x0 3. 曲线x(lnx-lny)dy-ydx=0是（ ）.

A. 变量分离方程 B. 齐次方程

C. 全微分方程 D. 一阶非齐次线性方程

4. 设y(x)满足微分方程xyyy2lnx0且在x=1时y=1,则在x=e时，y=( ).

A. B.

1e1 2C. 2 D. e

5. 已知y1=cosωx,y2=3cosωx是方程y2y0 的解，则 yc1y1c2y2(c1,c2

3

是任意常数)（ ）.

A. 是方程通解 B. 是方程的解，但不是通解 C. 是方程的一个特解 D. 不一定是方程的解 6. 微分方程(x3y)dx(xy)dy0的通解（ ）.

A.

1414xxy2y2c B. 114x42y2c C. 14x412y2c D. 14x4xy12y2c

7. 微分方程(D41)x5sin2t的 ）.

A.

517cos2t B. 517tcos2t C. 517sin2t D. 517tsin2t

8. 微分方程(2xy)dx(2yx)dy0的通解为（ ）. A. x2y2c B. x2y2c C. x2xyy2c D. x2xyy2c 9. 方程yy过点（0，0）的积分曲线有（ ）. A. 无穷多条 B. 唯一一条 C. 只有两条 D.不存在 10. 一阶线性方程

dydxp(x)yq(x)的积分因子是（ ）. A. μep(x)dx B. μep(x)dx

C. μeq(x)dx D. μeq(x)dx

11. 设曲线上的任意点p(x,y)处的切线斜率为b2xa2y,且曲线经过点（-2，则该曲线的方程是（ ）.

A. y2x2221 B. x22y221 a2b24a4bb2a21

4

），

1x2y2x2y2 C. 1 D. －2

a24b2a24b242124212baba12. 已知方程yp(x)yq(x)y0一个特解为y1,则另一个与它线性无关特解为（ ）.

A. y2y1 C. y2y11p(x)dx1p(x)dx B. edxyyedx 2122y1y1p(x)dx11p(x)dxedx D. y2y1edx y1y113. 微分方程(y43x2)dyxydx0可化为（ ）.

A. ydydy323yx2y3 xy3 B. ydxdxydyy2dx3xy2 D. xx2y3 dx3dyy C. 2xd3xd2x14. 微分方程322x0实通解为（ ）.

dtdtA. xc1etc2e(1i)tc3e(1i)t B. xc1etc2etcostc3etsint C. xc1etc2etcostc3etsint D. xc1etc2etcostc3etsint 15. 曲线xy=1满足方程（ ）.

A. yx0 B. xyy1 C. xyy0 D. x2y1

16. 方程(1x2)ydx(1y2)xdy0 有积分因子（ ）.

A. x1y1 B. (1x2)1y C. (1y2)1x D. (1x2)1(1y2)1

17. 方程yy2过点（1，1）的解的最大存在区间为（ ）.

（，　2）A. B. 2，　

5

C. （-2，2） D. ，　

dx

2xy18. 点（0，0）是系统

dtdy的（ ）.

dt

xyA. 结点 B. 焦点 C. 鞍点 D. 中心

19. 微分方程 d2xdxdt24dt4x0通解为（ ）.

A. ct2t2t1e2c2e2t B. c1ec2e C. ct1e2c2te2t D. c2t1ec2te2t 20. 微分方程(xy)dy(xy)dx是（ ）.

A. 线性方程 B. 变量分离方程 C. 齐次方程 D. 贝努利方程 21. 已知函数y(x)满足微分方程xyy ln

yx,且x=1时，y=e2,则x=-1y=( ).

A. -1 B. 0 C. 1 D. e1 22. 方程

dyydx2xy2 是（ ）. A. 一阶线性方程 B. 齐次方程 C. 全微分方程 D. 变量分离方程 23. 方程ysinx的通解是（ ）.

A. ycosx1c1x2c2xc3 B. ysinx122c21xc2xc3 C. ycosxc1 D. y2sin2x

6

时，24. 已知函数y(x)满足微分方程(x22xyy2)dx(y22xyx2)dy0且x =1时

y=1,则当x122时，y=( ). A. 1 B. 12 C.

212 D. 22

25. 微分方程(D2－D6)x2e4t的特解为（ ）.

A．1te4t B．194e4t

C．1e4t D.2e4t99

26． 积分方程y(x)1xoty(t)dt的解为（ ）.

A．y =1 B．y =0 1C．y2x2e D．yex

27．微分方程xdxydy0的解为（ ）.

A．x2y2c B．x2y2c C．x2xyy2c D．x2xyy2c

28． 设二阶常系数线性方程ya1ya2y0（a1、a2为常数），它的特征方程有两个相同特征根λ，则方程通解是（ ）.

A．cx1exc2e B．c1excx2xe C. cx1cosxc2sinx D. x(c1ecx2xe) 29．方程ylnydx(xlny)dy0是（ ）.

A．变量分离方程 B．一阶线性方程 C．全微分方程 D．贝努利方程

30．一阶非齐次线性方程yp(x)yq(x)的通解是（ ）.

7

p(x)dxp(x)dxp(x)dxp(x)dxA．ye(cq(x)edx) B．ye(cq(x)edx

C． yep(x)dxp(x)dxp(x)dx yce D．q(x)edx31．若y1(x),y2(x)是二阶齐次线性方程yp(x)yq(x)y0的两个特解，则 （ ）. yc1y1(x)c2y2(x)（其中c1、c2是任意常数）

A．是方程通解 B．是方程的解 C．是方程特解 D．不一定是方程解

32． 方程xx过点（3，-1）解的最大存在区间为（ ）.

2A．（-2，2） B．（-，　）

2) D．(2，　) C．(，　33． 已知曲线yy(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2xy50，

y(x)满足微分方程y6y9ye3x，则此曲线的方程是（ ）.

A．sin2x B．

x2123xxesin2x 2C．(x4)e3x D．(x2cosxsin2x)e3x 34. 微分方程（D2D)x1t2的特解为（ ）.

1311C. t3t23t D. t3t23t

33A. t22t3 B. t3t23t

dx2x3ydt35. 点（0，0）是系统的（ ）.

dyx3ydtA. 结点 B.焦点 C. 中心 D.鞍点 36. 设有微分方程 （1）

dyk(ay) (by) 　　(k、a、b是已知常数） dx8

（2）

dycosyk dx（3） y2dx(y22xyx)dy0 则（ ）.

A.方程(1)是线性方程 B. 方程(2)是线性方程 C.方程(3)是线性方程 D. 它们都不是线性方程

xyy037. 微分方程初值问题的解为（ ）.

y(1)1A.xy2 B.xy1 C.x2y22 D.

y1 x38. 设y1(x)、y2(x)是方程yp(x)yq(x)y0的（ ），则yc1y1(x)c2y2(x) 是方程通解. (c1、c2是任意常数）A. 两个特解 B. 任意两个解 C. 两个线性无关解 D. 两个线性相关的解 39. 微分方程

1sinyxdyyytan的通解是（ ）. dxxxyxc xA. cx B. sinC. sinyxcx D. sincx xyπ

时，y0,则当4

40. 设函数yy(x)满足微分方程ycos2xytanx,且当x

x0 时，y=( ).

A.

ππ B.  44C. -1 D. 1

41. 设二阶常系数齐次线性方程yp1yp2y0，它的特征方程有两个不相

9

同实根1、2，则方程通解是（ ）.

A． c1cos1xc2sin2x B. c1exc2xex

12C. c1exc2ex D. x(c1exc2xex)

1212x42. 积分方程y(x)2ty(t)dt的解为（ ）.

0A. ye12x2 B. yex

12x2C. y2e D. y2ex

d2ydy43.设函数y1(x)、y2(x)、y3(x)都是非齐次线性方程2a(x)b(x)yf(x)的

dxdx特解,其中a(x)、b(x)、f(x)都是已知函数，则对于任意常数c1、c2,函数

y(1c1c2)y1(x)c1y2(x)c2y3(x)( ).

A. 是所给微分方程的通解 B.不是所给微分方程的通解 C.是所给微分方程的特解 D.可能是所给微分方程的通解，

也可能不是通解，但肯定不是特解

44.方程y(4)4y0的通解是（ ）. A. yc1cos2xc2sin2xc3eB. y(c1c2)eC. yc1x2x2x2xc4e2x

e2x2x(c3cosxc4sinx)

2xc2xe(c3cos2xc4sin2x)

2xD. y(c1c2xc3x2c4x3)e

45. 已知方程x2yxyy0的一个特解为x,于是方程通解为（ ）. A.yc1xc2ex B. yc1xc2 C. yc1xc2ex D. yc1xc2ex

46. 若y1(x),y2(x),... ，yn(x)是微分方程y(n)a1(x)y(n1)...an(x)y0的n个特解，则当c1,c2,...,cn为任意常数时，yc1y1(x)c2y2(x)...cnyn(x)( ).

10

21xA.一定是方程的通解. B.一定不是方程的通解.

C.当y1(x),y2(x),…,yn(x)为线性无关时，才是方程的通解. D.当y1(x),y2(x),…,yn(x)线性相关时，才是方程的通解. 三、填空题

1. 设(t)是一阶齐次线性方程（c是任意常数）.

2. 连续可微函数(x,y)≠0

dxp(t)x解，则c(t)是 方程解dt使得(x,y)M(x,y)dx+(x,y))N(x,y)=0为全微分

方程，则(x,y)是微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的 .

d3xd2xdx33x0的通解为 . 3. 微分方程32dtdtdt4. n阶正规形微分方程的一般形式为 . 5. n阶齐次线性微分方程的线性无关解的个数是 . 6. 微分方程(dx2)40是 阶微分方程. dt102t(2)(1)2ty(t)0ey(t)7. 向量函数,1e在(,)上是线性 . 11d2xdx8. 微分方程256x0的通解为 .

dtdtdxtdtxyedy9. 试将初值问题 xy 化为与之等价的一个未知函数的二阶微分

dtx(0)0y(0)0方程的初值问题为 .

11

dx2x3ydt10. 方程组的奇点为 ，奇点类型为 .

dyx3ydt11. 微分方程ysinxylny满足初值条件yxπe的特解是 . 2d2ydy12. 设y1(x)、y2(x)是方程2a(x)b(x)y0的两个非零解(a(x),b(x)在区间

dxdx[a,b]上连续），则其朗斯基（Wronski）行列式W(x)= ;如果

y1(x)、y2(x)同时在区间[a,b]上点x0取得极小值，则y1(x)、y2(x)在区间[a,b]上

是线性 . 13. 一阶非齐次线性方程程 的解.

14. 微分方程yy的通解为y = .

15.方程

a1a2b1b2dyp(x)yq(x)的任意两个解之差必为方 dxaxb1yc1dyf(1)称为可化 的方程,其中如果dxa2xb2yc2≠ 时，作变换x,y(,是待定常数，，是新变量)，

代入方程后确定出、,方程变成含变量，的 方程.

d2xdx16.设1(t)、其朗斯基(Wronski)2(t)是二阶线性方程2a1(t)a2(t)x0的解，

dtdt行列式W(t)= .

17.设微分方程M(x,y)dxN(x,y)dy0是全微分方程，则M(x,y)dxN(x,y)dy的原函数u(x,y)= 或 .

d2ydy3()10是 阶方程. 18. 微分方程y2dxdx319.

微分方程yy0的通解是 .

20. 齐次线性方程 y(n)a1(x)y(n1)...an(x)y0满足初值条件y（x0)y(x0)

12

，　2，　3 ,... ，n)是　[a,b]上已知连续函数,x0[a,b]）的唯...y(n1)(x0)0（ai(x)(i1一解是 .

21.设n个向量函数y1(x),y2(x),...,yn(x)定义于区间I上，若仅当c1c2...cn0时，c1y1(x)c2y2(x)...cnyn(x)0(xI)才成立，则称y1(x),y2(x),...,yn(x)在区间I上是 .

22. 二阶齐次线性系统的系数矩阵的特征根为10,20,则奇点（0，0）为 类型.

d2ydya(x)a2(x)y0的解(a1(x),a2(x)在区23. 设y1(x),y2(x)是二阶线性方程12dxdx间I上连续)，则其刘维尔（Liouville）公式W(x)= .

dyy(x,x0,y0)f(x,y)24.已知 y=y(x,x0,y0) 是初值问题dx的解，则= ,

x0y(x0)y0y(x,x0,y0)= .

y025. 微分方程y3dydy()210是 阶微分方程. dxdx26. 设函数组et,tet,t2et，则它们在(,)上是线性 . d2xdxt27txedt2dt27. 把初值问题化为与之等价的一阶正规形微分方程组初值 x(1)7,dx(1)2dt问题 .

28. 已知方程

y(x,x0,y0)dysin(xy)，则dxx0 .

 ，

x00y00y(x,x0,y0)y0x00y00 13

dx3x4ydt29. 二阶自治系统的奇点为 ，奇点类型 .

dy2xydt30. 微分方程满足初值条件的解称为 .

31. 如果y(x)是非齐次线性方程组一个特解，y1(x),y2(x),…,yn(x)是对应齐次线性方程组的n个线性无关解，则此非齐次线性方程组通解y(x)= . 32. 曲线族x2y2c满足微分方程 .

33. 方程yy2过点(3,-1)积分曲线的最大存在区间是 . 34. 微分方程M(x,y)dxN(x,y)dy0是全微分方程的充要条件是 . 35. 微分方程xdyydx0的通解为 .

36. 如果向量函数y1(x),y2(x),…,yn(x)是齐次线性方程组n个解，其朗斯基(Wronski)行列式在其定义区间I上某一点不等于零，则其线性组合是该方程组的 .

37. 曲线Γ是微分方程yf(x,y)的积分曲线的充要条件是 .

38. 若λ=abi是常系数实n阶齐次线性方程的k重特征根，则方程有形 如 的2k个实特解.

39. n阶隐式常微分方程的一般形式为 . 40. 形如

dxp(y)xq(y)　 (q(y)0,yI)的方程，称为 方程. dy41. 方程yy0的通解是 .

yy42. 初值问题的解存在且唯一的条件是 .

y(x0)y043.n阶齐次线性方程的任意n个解构成它的基本解组的充分必要条件 是 .

14

yf(x,y)44. 初值问题的解满足积分方程 .

y(x)y0045. 函数v(x,y)x22xy2y4x4是 类型的李雅普诺夫函数. 46. 微分方程解的图像称为微分方程 .

dnydn1y...an(x)y＝0的47.若y1(x),y2(x),…,yn(x)是n阶齐次线性方程na1(x)n1dxdxn个解，则其刘维尔(Liouville)公式 . 48.微分方程(2x3x2y)dx(x33y3)dy0是 型微分方程. 49. f(x)1f(x)1的通解f(x) . xd2ydy50.该函数y1(x),y2(x),y3(x)是非齐次线性方程2a(x)b(x)yf(x)的线性

dxdx无关解，其中a(x),b(x),f(x)都是已知函数，则所给方程的通解y= .

dxp(x,y)dt51. 方程组称为 系统.

dyq(x,y)dt1d2y252. 已知y1x,y2是方程22y0的两个解，则其朗斯基(Wronski)行

xdxx2列式W(x)= . 53. 求微分方程

dxf(t,x)满足初值条件x(t0)x0 (t0,x0是已知常数）解的问题称 dt为 .

. 假设y1(x),y2(x),…,yn(x)是n个函数,xI,如果c1y1(x)c2y2(x)...cnyn(x) =0，xI,仅当c1c2...cn0时成立，则它们是线性 . d3x55.微分方程3x0的通解为 .

dt 15

tt256.向量函数0,0的朗斯基(Wronski)行列式W(t)=

= ,该向量函数是线性 . 57.设1(t),2(t)是一阶线性方程解.

58.设u(x,y)是M(x,y)dxN(x,y)dy的一个原函数,则全微分方程M(x,y)dxN(x,y)dy=0通解是 .

dx4yx3dt59.二阶自治系统函数V(x,y)3x24y2是 函

dy3xy3dtdxp(t)x的解，则1(t)2(t)是 方程dt数,

dV= 且是 函数,零解dt是 . 60.微分方程x

四、求一阶微分方程的通解

dy1y21. = 2dxxyxydydyyxy的通解是 . dxdx2.

dyy= dxxyy213. xydx+(x2y)dy=0

2dy4. =ycosx+sin2x

dx5. (yx)dx+(yx)dy=0 6. (2xyx2y13y)dx+(x2y2)dy=0 37. x(y)3y2 8. yysinx=cosx(sinxy2)

16

y9. dydx=ex+yx

10. y=xyy2x2

11. (dydx)32xdydxy0 12. cosydydx+xsiny=xe12x2

13. dyy(x)y2dx(x) 14.

dyyx2dxxy4 15. (ex3y2)dx2xydy0 xx16. (xyey+y2)dx-x2eydy=017.

dydx 1xcosysin2y 18. x(y ')21y '

9. dyydx2x12ysiny21x 20. dy2x3dx=yy4x42xy3 21. (yx32x3x)dx+(1+y)dy=0

22. y'=

xcosytany 23. y'(a2xy) 24. xdydx=y(1+lny-lnx) 25. y3xy 'y2y '2 26.(xy2)dx(1x)ydy0

17

27.

dy2x=y dxx2dy3x2y26x2y428. =

dx3xy3x3y329.

dyy= 2dx2xy30. (y2x)dx(2xy2y3)dy0 31. x+sin2y '=1 32. ey(33. y'34.

dy+1)=xex dxy 3xydyn-yexxn (n为常数) dxx35. 2xydx(x2y2)dy0 36.

dy(arctany -x)=1+y2 dx37. (x3xy2xy)dx-(xy)dy=0 38. xdy+x+sin(xy)=0 dx39. y2(y1)(2y)2

dyey3x40. +0

dxy241.

dy1=23 dxxyxyxyxyx42. (1e)dxe(1)dy0

y43. xy22xyy0 44. yxsin2yxexcos2y 45. (xy2y)dxxdy0 46. y=(y)2xy

212x 218

47. xdy+(x+1)y=3x2ex dxdyyx248. = dx2x2y49. x2(xdxydy)y(xdyydx)0 50. y'sinxcosxysin3x0 51. (y-x2)y=x 52. xy+1=ey 53.

dyy2=2()2 dxxy1. xyy2xy 55.xdyy(xy1)dx 五、求高阶方程通解 1. 2. 3. 4.

x2y2xy'6y0

d3yd2ydy84ye3x -523dxdxdxx''x11 sintd2x1dxt dt2tdt15. ( D-2 )2xe2t

t6.

1d2x+ = x21costdt7.

d2xdxx26sinxcosx +

dt2dt2dxd2x(24tt2)xt42t3 8. t(t1)2-t(2+4t+t2)dtdt9. y''2y'y3exx1

19

d5x1d4x10. 0 tdtdt11. (D23D2)x =cos2t

d2xdx212. x2()0

dtdt13. (D23D2)x =sinet 14. (D34D23D)x =t2

dxd2x(t1)x(t2t1)e2t 15. t2-(2t+1)dtdtd2xdxx0 16.

dt2dt17. x2d3yd2ydy5x4lnx 32dxdxdxdyd2y24yxxlnx 18. x-3x2dxdx219. (D+1)2yx2cosx

d2xdxtx0 20. t2dtdt221. y6y9y4ex16e3x 22. (2t+1)

2

d2xdx2(2t1)12x6t 2dtdt23. 4y(y)24xy

24. (D410D29)x =cos(2t+3) 25. x(y)2y(y)3

20

14x 3六.求方程组的通解 1. dxdxty7xy 2.  dtdtyx dydyxt2x5y  dtDx-(D+1)y=-et

3. x+(D-1)y =e2t

dxdt3xyz 4. dydtx5yz dzdtxy3z

(D216)x-6Dy=0 八、 6Dx+(D216)y=0

dxdtytxy 6. dytdtxxy

dxdt3x2y4e3t 7. dydtx2y 8. dxdt=-yx(x2y21) dyxy(x2dty21)

dtyx21

dx5xyet dt9. dydtdxdyx3ye2t 10. . dtd2xdt22dydtxet 11. dxd2y22yt2dtdt 12.

dx2t3ydy3x4tdt4y2xdxdt2x3y5t 13. dydt3x2y8et

dx=4xye3tdt(tsint)14. dydtx2yte3tcost

dxdt=yz 15. dydtxz dzdtxy 16.

dxyt=dyxtdtxy

d2xdt2x4y0 d217. ydt2xy0

txyt2x2y222

dxdt=extt2exy 18. dyeydttt2exy

dxdt=2x3y3z 19. dydt4x5y3z dzdt4x4y2z

dx=+2y-etdt 20. dy4x3y4etdt 七、求初值问题解

(xy21.)dx2xydy0)2 2. y(1

dx2xydt3. dy3x4ydt 4.x(0)0y(0)1

d2x23dx2x05.dtdt x(0)2x(0)36.设方程组dx11dt01xet0,

dydx2xy y(0)1d2x4dx4xt2e2t2dtdtx(1)e2dx(1)0dtxx1x 223

　etteta) 验证矩阵0et是对应齐次线性方程组基本解矩阵；

1b) 试求方程组满足初值条件x(0)1的解.



九、 设方程组为

e2t十、 验证矩阵0x1dx21sint x,　xdt02costx2te2t是对应齐次线性方程组基本解矩阵； 2te1十一、试求方程组满足初值条件x(0)1的解

2dx1xdttdyxy2x1dtt8.

1x(1)31y(1)3dy 0x12,　yq(x)9.求初值问题dx的连续解，其中q(x)

0, x1y(0)0y4y3sinx， x[π,π]10.π π y 1y0，22八、计算题 1. 求初值问题

dy22xy dxy(1)0在区域R:x11, y1 解的存在区间，并求第三次近似解. 2. 试用逐次逼近法求方程组

24

x1dx01x,　xx , 10dt20满足初值条件x(0)1的第三次近似解.

3. 求初值问题

dyx2ey 的第二次近似解. dxy(0)04. 用逐次逼近法求方程 5. 求初值问题

dyy 满足初值条件y(0)1的第二次近似解. 2dx1yd2x22txdt2 dx(0)x(0)0,　　1dt的第三次近似解.

6. 利用逐次逼近法求初值问题

dxdttxydy2txy dtx(0)y(0)1的前三次近似解.

7. 试用逐次逼近法求方程组

dxydt dyxdtx(0)0满足初值条件 的第三次近似解.

y(0)1 25

8. 设x(t,t0,x0)是方程tdxxtsinx0满足初值条件x(t0,t0,x0)x0的解，试求出dtttt0x(t,t0,x0)t0tt0 ,

x(t,t0,x0)x0

dy329.试讨论y在怎样区域上满足解的存在唯一性条件，并求过点(0，0)的一切

dx21解.

10. 设给定方程九、讨论题

（一）求方程组奇点，并确定其类型.

dxdxx3y3x4ydtdt1.  2.

dydy6x6y2xydtdtx(t,t0,x0)dx3t2ex，试求dtt0t01x00,

x(t,t0,x0)x0t01x00

3dxdxx3yxydtdt73. 4.

dydy3xy7x4ydtdt

dxx4ydt5.

dy2y3xdt（二）讨论系统零解稳定性.（a是参变数）

dxdx322yxyx(xy)dtdt1.  2.

dydyxy3xy(x2y2)dtdt 26

dxdx3yax3y2x3dtdt3. 4. dyxay3dy2x3y3dtdtdxdx223yax(xy)4yxdtdt5. 6.

dydyxay(x2y2)3xy3dtdtdxdx23x2yxxydtdt7. 8.

dydy2x2yy32xy2dtdtdxdx32x2yxyydtdt9. 10. dyxy2x2y1y3dy2x2x22dtdtd2x11.考虑无阻尼线性振动22x0的平衡位置的稳定性.

dt十、证明题.

1．设f(x,y)在区域R: xx0a,yy0b连续且关于y满足利普希茨(Lipschitz)

dyf(x,y)条件，试用Bellman引理证明初值问题 dx在区间xx0h的解是唯一

y(x0)y0的，其中hmin(a,b),　Mmax R|f(x,y)|. M2.已知定义于[a,b]上的n个函数y1(x),y2(x),…，yn(x)是n阶齐次线性方程基本解组，b1,b2是两个不等于零的常数，则函数组b1[y1(x)y2(x)]，b2[y1(x)y2(x)]，

y3(x),... ，yn(x)在区间[a,b]也是该方程的基本解组. 3.设n阶矩阵A(t)在区间[a,b]连续，且X(t)，(t)是方程组解矩阵，证明的存在n阶可逆常数矩阵C使得(t)= X(t)C. 4.证

dyexysiny的任何一解存在区间为（-，+）. dx27

dxA(t)x的两个基本dt

5．设f（t）在（０，＋）上连续且有界，试证明方程（-，+）上有界. ６．求初值问题

dxxf(t)的所有解均在dtdyxyy(y1)e dxy(x0)y0当0y0<1时解的最大存在区间，并加以证明. 7．用逐次逼近法证明初值问题

dyp(x)yq(x) dxy(x0)y0在[a,b]上解是唯一的（只须证明唯一性），其中x0a,b，p(x)、q(x)在[a,b]上连续.

d2xdx8、求非齐次线性方程256xet的通解，并证明此方程的一切解x(t)有

dtdttlimx(t)0 .

9、试证明：对于任意x0及满足条件0)上存在. 件y(x0)y0的解y(x)在（，　dyy(y1)满足初值条22dxxy110、设f(x)为连续函数 （1） 求初值问题

dyf(x)ay dxy(0)0的解y(x)，其中a是正常数；

（2）若f(x)k（k为常数），证明，当x0时有y(x)11、证明微分方程

a(1eax). kdysiny). 2的任一解y(x)存在区间为(，　dxxy2128