2021-2022学年海南省海口市海秀中学高三数学文上学期期末试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 若为虚数单位，则复数

等于（ ）

（A） （B）

（C） （D）

参：

D

2. 已知复数的共轭复数，则对应的点位于 A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

参：

D 3. 设为平面，

为直线，则

的一个充分条件是（ ）

A． Ｂ． Ｃ．

Ｄ．

参：

D

4. 设，则的最大值是 （ ）

（A）

（B）

（C）

（D）2 参： A

5. 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 参：

B

6. 偶函数f(x)满足f (x-1)= f (x+1),且在x0,1时，f (x)=1-x，则关于x的方程f (x)=()x，在

x0,3上解的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 参： D

7. （5分）顶点在原点，关于坐标轴对称，且过点（2，﹣3）的抛物线的方程是（ ）

A． y2=x B． x2=﹣y

C． y2=x或x2=﹣y D． 以上都不对

参：

C

【考点】： 抛物线的标准方程．

【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】： 由已知设抛物线方程为y2=2px，p＞0或x2=﹣2py，p＞0，把（2，﹣3）分别代入，能求出抛物线方程．

解：由已知设抛物线方程为y2=2px，p＞0或x2=﹣2py，p＞0，

把（2，﹣3）代入y2=2px，p＞0，得9=4p，解得p=，∴抛物线方程为y2=；

把（2，﹣3）代入x2=﹣2py，p＞0，得4=6p，解得p=，∴抛物线方程为x2=﹣y． 故选：C．

【点评】： 本题考查抛物线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．

8. 设（i是虚数单位），则等于 （A） （B）

（C）

（D）

参： A 9. 已知集合

，，则=

A． B．

C．

D．

参： C

10. 双曲线的渐近线方程为（ ）

A．y=± B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x

参：

A

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】把双曲线，其渐近线方程是

，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线，

其渐近线方程，

整理得y=±． 故选：A．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 函数

的单调增区间是 .

参：

【知识点】函数的单调性与最值B3

【答案解析】 函数的定义域为，又

，

则增区间为

.

【思路点拨】先求定义域，再根据导数求单调区间。 12. 已知幂函数Z为偶函数，且在区间

上是单调增函数，则

的值为 .

参：

13. 从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人

性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值

为 ．

参：

解析：

，由于

，所以，整理得

．即

是完全平方数，且

，因此

，，解得 （不合条件），.

所以．

14. 已知点的坐标满足，设A（2，1）， 则（为坐标原

点）的最大值为 ． 参：

略

15. 抛物线

的准线方程是 .

参：

【知识点】抛物线

因为得

所以，准线方程为

故答案为：

16. 对任意两个实数

，定义

若

，

，则

的最小值为 ．

参：

因为

，所以时，解得

或

。当

时，

，即

，所以

，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。

17. 已知点（2,3）在双曲线C：（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率

为_____________. 参： 2

本题考查了双曲线离心率的求解策略，考查了双曲线中的基本量难度较小。由条件知半焦距

，将点

代入双曲线方程得

①，又

②，联立两式解得

，解得离心率

.

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AB．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若PA＝PD＝AD＝DC，求二面角A－PB－C的余弦值．

参：

（1）证明：过P在平面PAD内作PE⊥AD于E点，又平面PAD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴PE⊥AB，又PA⊥AB，且PE

PA=P

∴AB⊥平面PAD，AD

平面PAD，∴AB⊥AD，又底面ABCD是平行四边形

∴四边形ABCD是矩形；

（2）由（1）可知：E为AD的中点.

以A为的原点，AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系，设AB=2 易得：

，

，,

,

,

,

,

设平面PAB的法向量

, ,即

，

设平面PBC的法向量

,即，

∴

所以二面角A－PB－C的余弦值.

19. （本小题满分12分）记，若不等式的解集为（1，3），试解关

于的不等式.

参： 由题意知.

且故二次函数在区间

上是增函数.…………………………4分

又因为

，……………………………………6分

故由二次函数的单调性知不等式

等价于即

……………………10分 故

即不等的解为：

.……………………12分

20. （本小题满分10分）

如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B,C两点，圆心O在的内部，点M是BC中点.

（1） 证明：A,P,O,M四点公园共圆；（2）求

的大小.

参：

【知识点】几何证明选讲. N1 【答案解析】(1)略；（2）

.

解析：（1）证明：连接OP,OM.因为AP与圆O相切于点P,所以.

因为M是圆O的弦BC的中点，所以

.于是

由圆心O在

的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A,P,O,M四点共圆. -------5分 （2） 由（1）得A,P,O,M四点共圆，所以

.由（1）得

,

由圆心O在

的内部，可知

,

所以

. -----------10分

【思路点拨】（1）根据对角互补的四边形由外接圆，证明A,P,O,M四点共圆； （2）由同弧所对圆周角相等得

.又

,由圆心O在

的内部，可知

,所以

.

21. 已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），期左、右焦点分别为F1、F2，过F2的

一条直线与椭圆交于M、N两点，△MF1N的周长为4

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）经过点B（1，1）且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P、Q（均异于点A），证明直线AP与AQ斜率之和为定值．

参：

【考点】K4：椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由已知可知△MF1N 的周长为4a=4，椭圆经过点A（0，﹣1），由此能求出椭圆C

的方程．

（Ⅱ）设直线PQ的方程为y﹣1=k（x﹣1），k≠2，代入，得（1+2k2）x2

﹣4k（k﹣1）

x+2k（k﹣2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线AP与AQ斜率之和为定值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知可知△MF1N 的周长为4a，∴4a=4，得a=

，

又椭圆经过点A（0，﹣1），得b=1，

∴椭圆C的方程为．…

证明：（Ⅱ）由题设可设直线PQ的方程为y﹣1=k（x﹣1），k≠2，

化简，得y=kx﹣k+1，代入，得（1+2k2）x2

﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，

由已知△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，

则，，…

从而直线AP，AQ的斜率之和

kAP+kAQ==+=2k﹣（k﹣2）（） …

=2k﹣（k﹣2）=2k﹣（k﹣2）=2k﹣2（k﹣1）=2，

故直线AP与AQ斜率之和为定值2．… 22. 函数

对任意

满足

且当

，

(1)判断函数

的单调性并证明相关结论； (2)若，试求解关于x的不等式

参：

(1)

在

上单调递减（2）

解析：(1)任取

，且

，则

在

单调递减 (2)

原不等式可化为

又

在

单调递

增， ，所以不等式的解集为

略