一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若为虚数单位,则复数
等于( )
(A) (B)
(C) (D)
参:
D
2. 已知复数的共轭复数,则对应的点位于 A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
参:
D 3. 设为平面,
为直线,则
的一个充分条件是( )
A. B. C.
D.
参:
D
4. 设,则的最大值是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)2 参: A
5. 设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m= ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 参:
B
6. 偶函数f(x)满足f (x-1)= f (x+1),且在x0,1时,f (x)=1-x,则关于x的方程f (x)=()x,在
x0,3上解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4 参: D
7. (5分)顶点在原点,关于坐标轴对称,且过点(2,﹣3)的抛物线的方程是( )
A. y2=x B. x2=﹣y
C. y2=x或x2=﹣y D. 以上都不对
参:
C
【考点】: 抛物线的标准方程.
【专题】: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】: 由已知设抛物线方程为y2=2px,p>0或x2=﹣2py,p>0,把(2,﹣3)分别代入,能求出抛物线方程.
解:由已知设抛物线方程为y2=2px,p>0或x2=﹣2py,p>0,
把(2,﹣3)代入y2=2px,p>0,得9=4p,解得p=,∴抛物线方程为y2=;
把(2,﹣3)代入x2=﹣2py,p>0,得4=6p,解得p=,∴抛物线方程为x2=﹣y. 故选:C.
【点评】: 本题考查抛物线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意抛物线性质的合理运用.
8. 设(i是虚数单位),则等于 (A) (B)
(C)
(D)
参: A 9. 已知集合
,,则=
A. B.
C.
D.
参: C
10. 双曲线的渐近线方程为( )
A.y=± B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x
参:
A
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】把双曲线,其渐近线方程是
,整理后就得到双曲线的渐近线方程.【解答】解:双曲线,
其渐近线方程,
整理得y=±. 故选:A.
【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数
的单调增区间是 .
参:
【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】 函数的定义域为,又
,
则增区间为
.
【思路点拨】先求定义域,再根据导数求单调区间。 12. 已知幂函数Z为偶函数,且在区间
上是单调增函数,则
的值为 .
参:
13. 从m个男生,n个女生()中任选2个人当组长,假设事件A表示选出的2个人
性别相同,事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概率相等,则(m,n)的可能值
为 .
参:
解析:
,由于
,所以,整理得
.即
是完全平方数,且
,因此
,,解得 (不合条件),.
所以.
14. 已知点的坐标满足,设A(2,1), 则(为坐标原
点)的最大值为 . 参:
略
15. 抛物线
的准线方程是 .
参:
【知识点】抛物线
因为得
所以,准线方程为
故答案为:
16. 对任意两个实数
,定义
若
,
,则
的最小值为 .
参:
因为
,所以时,解得
或
。当
时,
,即
,所以
,做出图象,由图象可知函数的最小值在A处,所以最小值为。
17. 已知点(2,3)在双曲线C:(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率
为_____________. 参: 2
本题考查了双曲线离心率的求解策略,考查了双曲线中的基本量难度较小。由条件知半焦距
,将点
代入双曲线方程得
①,又
②,联立两式解得
,解得离心率
.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AB.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若PA=PD=AD=DC,求二面角A-PB-C的余弦值.
参:
(1)证明:过P在平面PAD内作PE⊥AD于E点,又平面PAD⊥平面ABCD, ∴PE⊥平面ABCD,AB平面ABCD,∴PE⊥AB,又PA⊥AB,且PE
PA=P
∴AB⊥平面PAD,AD
平面PAD,∴AB⊥AD,又底面ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形;
(2)由(1)可知:E为AD的中点.
以A为的原点,AB为x轴,AD为y轴建立空间直角坐标系,设AB=2 易得:
,
,,
,
,
,
,
设平面PAB的法向量
, ,即
,
设平面PBC的法向量
,即,
∴
所以二面角A-PB-C的余弦值.
19. (本小题满分12分)记,若不等式的解集为(1,3),试解关
于的不等式.
参: 由题意知.
且故二次函数在区间
上是增函数.…………………………4分
又因为
,……………………………………6分
故由二次函数的单调性知不等式
等价于即
……………………10分 故
即不等的解为:
.……………………12分
20. (本小题满分10分)
如图,已知AP是圆O的切线,P为切点,AC是圆O的割线,与圆O交于B,C两点,圆心O在的内部,点M是BC中点.
(1) 证明:A,P,O,M四点公园共圆;(2)求
的大小.
参:
【知识点】几何证明选讲. N1 【答案解析】(1)略;(2)
.
解析:(1)证明:连接OP,OM.因为AP与圆O相切于点P,所以.
因为M是圆O的弦BC的中点,所以
.于是
由圆心O在
的内部,可知四边形APOM的对角互补,所以A,P,O,M四点共圆. -------5分 (2) 由(1)得A,P,O,M四点共圆,所以
.由(1)得
,
由圆心O在
的内部,可知
,
所以
. -----------10分
【思路点拨】(1)根据对角互补的四边形由外接圆,证明A,P,O,M四点共圆; (2)由同弧所对圆周角相等得
.又
,由圆心O在
的内部,可知
,所以
.
21. 已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)经过点A(0,﹣1),期左、右焦点分别为F1、F2,过F2的
一条直线与椭圆交于M、N两点,△MF1N的周长为4
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)经过点B(1,1)且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P、Q(均异于点A),证明直线AP与AQ斜率之和为定值.
参:
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】(Ⅰ)由已知可知△MF1N 的周长为4a=4,椭圆经过点A(0,﹣1),由此能求出椭圆C
的方程.
(Ⅱ)设直线PQ的方程为y﹣1=k(x﹣1),k≠2,代入,得(1+2k2)x2
﹣4k(k﹣1)
x+2k(k﹣2)=0,由此利用根的判别式、韦达定理,结合已知条件能证明直线AP与AQ斜率之和为定值.
【解答】解:(Ⅰ)由已知可知△MF1N 的周长为4a,∴4a=4,得a=
,
又椭圆经过点A(0,﹣1),得b=1,
∴椭圆C的方程为.…
证明:(Ⅱ)由题设可设直线PQ的方程为y﹣1=k(x﹣1),k≠2,
化简,得y=kx﹣k+1,代入,得(1+2k2)x2
﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0,
由已知△>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
则,,…
从而直线AP,AQ的斜率之和
kAP+kAQ==+=2k﹣(k﹣2)() …
=2k﹣(k﹣2)=2k﹣(k﹣2)=2k﹣2(k﹣1)=2,
故直线AP与AQ斜率之和为定值2.… 22. 函数
对任意
满足
且当
,
(1)判断函数
的单调性并证明相关结论; (2)若,试求解关于x的不等式
参:
(1)
在
上单调递减(2)
解析:(1)任取
,且
,则
在
单调递减 (2)
原不等式可化为
又
在
单调递
增, ,所以不等式的解集为
略
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