河北衡水中学2017届高三上学期期中考试理科数学试卷及答案

理科数学试卷

命题人 郭晓蕾

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．已知集合S={1，2}，T={x|x＜4x﹣3}，则S∩T=（ ） A．{1} B．{2}

C．1 D．2

，则|z1+z2|等于（ ）

2

2．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=A．2 B．

C．1

D．3

对任意的x，y成立，则正实数a的取值范

3．设正数x，y满足x+y=1，若不等式围是（ ） A．a≥4

B．a＞1 C．a≥1 D．a＞4

4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（ ） A．

B．

C．

D．

5．给出计算

的值的一个程序框图如图，

其中判断框内应填入的条件是（ ） A．i＞10

B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20

6．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（ ）

A．（0， C．（

] B．（，2

] D．（2，4]

*

，2]

7．数列{an}中，对任意n∈N，a1+a2+…+an=2﹣1，则a1+a2+…+an等于（ ）

n

2

n

n222

A．（2﹣1） B．

C．4﹣1 D．

8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何 体的体积为（ ） A．2

B．

C．

D．

9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（ ）

A．f（﹣C．f（

）＜f（）＜f（

2

2

）＜f（）＜f（﹣

） ）

B．f（﹣D．f（

）＜f（）＜f（﹣

）＜f（）＜f（

） ）

10．若圆C：x+y+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（ ） A．2

B．3 C．4

3

2

D．6

11．若函数f（x）=x﹣3x在（a，6﹣a）上有最大值，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣

，﹣1）

B．（﹣

，﹣1] C．（﹣

，﹣2） D．（﹣

2

，﹣2]

x﹣1

12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x﹣f（0）x+f′（1）e，若

g（x）=f（x）﹣x+x，则方程g（

2

﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值 ．

14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an= ．

15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则取值范围是 ．

X f（x）

﹣2 1

0 ﹣1

4 1

的

16. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）△ABC中，已知的对边依次为a，b，c． （1）求∠C的大小；

（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a+b的取值范围．

2

2

，记角A，B，C

18. （本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足：

，求数列{bn}的通项公式；

*

（Ⅲ）令

（n∈N），求数列{cn}的前n项和Tn．

*

19. （本小题满分12分） 已知圆C：x+y+2x﹣4y+3=0．

（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE； （Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；

（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

22

21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x（a为实常数）． （1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数； （2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

2

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆C的方程是x+y﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4（1）求直线AB的极坐标方程；

sinθ与圆C相交于A，B两点．

2

2

（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点

E，求|CD|：|CE|的值．

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．

（1）求实数m的值；

（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

2016～2017学年度上学期高三年级期中考试

理科数学参

一．选择题

1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A． 二．填空题 13．﹣8 14.

．

16.

．

三．解答题 17．解：（1）依题意：又0＜A+B＜π，∴

，∴

，即

，................4分

，

（2）由三角形是锐角三角形可得，

即∴，

由正弦定理得

，

，

=

=

，

，

===∵∴

，∴

=

，即

...............12分

18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n， 知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分） （Ⅱ）∵

（n≥1）①

∴②（4分）

②﹣①得：

+

，

bn+1=2（3n1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分） （Ⅲ）

=n（3n+1）=n•3n+n，

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分） 令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，① 则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n1②

+

①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n1=

+

∴

，…（10分）

∴数列{cn}的前n项和…（12分）

19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a， 又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径即

，解得：a=﹣1或a=3，

或

， 或

．-- -------6分

，

当截距为零时，设y=kx，同理可得

则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或

（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2． ∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．

∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值． 而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离

，

∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分

20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）

解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示． 因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以由AD=3，可知则A（3，0，0），所以

，，

． ，

，B（3，3，0），C（0，3，0）， ．

．

设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．

令，则=．

为平面BDE的法向量，

．

因为AC⊥平面BDE，所以

所以cos．

因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则因为AM∥平面BEF，所以

．…（8分）

．

=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．

时，AM∥平面BEF．…（12分）

此时，点M坐标为（2，2，0），即当

21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分 （2）

，当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

，

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1． 若﹣2e2＜a＜﹣2，当当 当

故[f（x）]min=

时，f'（x）=0；

时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数； 时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

=

．

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0）， 故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2． 综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1； 当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为

，相应的x值为

；

当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分 （3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0， 因而

（x∈[1，e]）

令（x∈[1，e]），又，

当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数， 故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分 22.解：（1）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系， 极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ， 曲线C1：ρ=﹣

sinθ，∴ρ2=﹣4

ρsinθ，∴x2+y2=﹣4

y，

y）=0，

∴曲线C1：x2+y2+∴y=﹣

y=0，∴直线AB的普通方程为：（x2+y2﹣4x）﹣（x2+y2+4

ρcosθ，∴tanθ=﹣

，

x，∴ρsinθ=﹣

∴直线AB极坐标方程为：1(R)．.............5分 6x，

（2）根据（1）知，直线AB的直角坐标方程为y=﹣根据题意可以令D（x1，y1），则

，又点D在直线AB上，所以t1=﹣（2+t1），

解得 t1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t1|=，

同理，令交点E（x2，y2），则有，

又点E在直线x=0上，令2+

t2=0，∴t2=﹣，∴|CE|=|t2|=，

∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分

23.解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2， ∴5﹣m＜x＜m+1，而不等式f（x）＞2的解集为（2，4）， ∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分

（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立 ⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立⇔|a﹣3|≥3恒成立，由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3， 解得：a≥6或a≤0．..............10分