Word 版 完整版 校核版第⼀章 晶体的结构及其对称性
1.1⽯墨层中的碳原⼦排列成如图所⽰的六⾓⽹状结构，试问它是简单还是复式格⼦。为什么？作出这⼀结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解：⽯墨层中原⼦排成的六⾓⽹状结构是复式格⼦。因为如图点A 和点B 的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A →B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格⼦。1.2在正交直⾓坐标系中，若⽮量k l j l i l R l321 ，i ，j ，k 为单位向量。
3,2,1 i l i 为整数。问下列情况属于什么点阵？（a ）当i l为全奇或全偶时；（b ）当i l之和为偶数时。解： 112233
123l R l a l a l a l i l j l kr r r r r r r
...2,1,0,,321 l l l 当l 为全奇或全偶时为⾯⼼⽴⽅结构点阵，当321l l l 之和为偶数时是⾯⼼⽴⽅结构 1.3 在上题中若321l l l 奇数位上有负离⼦，321l l l 偶数位上有正离
⼦，问这⼀离⼦晶体属于什么结构？ 解：是离⼦晶体，属于氯化钠结构。
1.4 （a ）分别证明，⾯⼼⽴⽅（fcc ）和体⼼⽴⽅（bcc ）点阵的惯⽤初基元胞三基⽮间夹⾓相等，对fcc 为，对bcc 为
（b ）在⾦刚⽯结构中，作任意原⼦与其四个最近邻原⼦的连线。证明任意两条线之间夹⾓θ均为'1cos 109273arc o '1cos 109273arco
解:（1）对于⾯⼼⽴⽅ 12a a j k r r r 22a a i k r r r32a a i j r r r13222a a a a r r r1212121602a a COS a a a a o r rr r
2323231602a a COS a a a a o r rr r
1360COS a a o r r（2）对于体⼼⽴⽅ 12a a i j k r r r r 22a a i j k r r r r32a a i j k r r r r12332a a a a r r r12'12121129273a a COS a a a a o r rr r'1313131129273
a a COS a a a a o r rr r r r
'2312927COS a a o r r（3）对于⾦刚⽯晶胞134a i j k rr r r
234a i j k r r r r2
212122122
314934a COS a r rr r
1.5 证明：在六⾓晶系中密勒指数为（h,k,l ）的晶⾯族间距为212222234
c l a k hk h d证明: a b a r r元胞基⽮的体积a ai r r
cos60cos301322b a i j ai ajo o r r r r rc ck r r20033022200a a a a c c倒格⼦基⽮ )3
3(2][2j i a c b ajaa c b334][2k c b a c2][2倒格⽮：
***hkl G ha kb lc r r r r晶⾯间距
***222cl b k a h Gd hklhkl2222222222ha kb lc
h a k b l c hk a b kl b c hl a c
r r r r r r r r r 22423a a r 22423b a r 222c cr 2223a b ar r 0b c r r 0a cr r 122222222122222
242424242333343hkld h k l hk a a a a h k kl l a c
1.6 证明：底⼼正交的倒点阵仍为底⼼正交的。
证明：简单六⾓点阵的第⼀布⾥渊区是⼀个六⾓正棱柱体 底⼼正交点阵的惯⽤晶胞如图： 1a ax r r 222a b a x y r r u r 3a cz r r2450,,,,3333
m 初级晶胞体积: 2c abcV
倒易点阵的基⽮：1232112c b a a x y V a b
r r r r r 23124y c b a a V c r r r r 31222c b a a Z V cr rr r
这组基⽮确定的⾯是正交底⼼点阵
1.7 证明：正点阵是其本⾝的倒易点阵的倒格⼦。证明：倒易点阵初级元胞的体积:c V 是初基元胞的体积123c V b b b r r r
1232c b a a V r r r 2312c b a a V r r r 3122cb a a V r r r123c V a a a r r r⽽22331122
3121311222c c b b a a a a V a a a a a a a a Vr r r r r r r r r r r r r r A B C D A B D C A B C D由于 0113a a a 2
1231212c b b a a a a Vr ⽽ 312c V a a a r r r22312cb b a V212311312323222c
c c b b b a b V a a a V Vr r r r r r r r或:3
1231232b b b a a a r r r r r r现在证明： b b b b b a3211
21
2 b b b b b a 3211322
b b b b b a321213
2 ⼜ 22312cb b a V r r r 令21112321123
2212c b b c b b b a V b b b r r rr r rr r r r⼜：31232cb b b V r r r 代⼊3
111322c cV c a a Vr r r同理
23211322a b b b b b c33
212132a b b b b b c
1.8 从⼆维平⾯点阵作图说明点阵不可能有七重旋转对称轴。解： ''2cos A B a ma cos 12m
30,,22m 2451,,,,3333m2,,2m
1.9 试解释为什么：
（a ）四⾓（四⽅）晶系中没有底⼼四⾓和⾯⼼四⾓点阵。 （b ）⽴⽅晶系中没有底⼼⽴⽅点阵。 （c ）六⾓晶中只有简单六⾓点阵。 解：（a ）因为四⽅晶系加底⼼，会失去4次轴。（b ）因为⽴⽅晶系加底⼼，将失去3次轴。
（c ） 六⾓晶系加底⼼会失去6次轴。
1.10 证明：在氯化钠型离⼦晶体中晶⾯族（h,k,l ）的衍射强度为22,,A B hkl A B f f I f f
当（h,k,l ）为偶数时当（h,k,l ）为奇数时0，其它情况 其中A f 、B f 分别为正负离⼦的散射因⼦。如何⽤此结果说明KCL 晶体中h,k,l 均为奇数的衍射消失？
证明：Nacl 初基原胞中有Na 和Cl 两种离⼦。111r :0,0,0,,222i A Br A 、B 分别代表和。
因此⼏何结构因⼦：112233123212322
123123,,,,i i i i h x h x h x i ih h h A B A
B A B F h h h f e f f ef f h h h f f h h h 为偶为奇射强度： 2
123I F h h h ,对于123h h h 为奇数的衍射⾯A B f f 则会消光。
1.11 试讨论⾦刚⽯结构晶体的消光法则。
解：⾦刚⽯结构中，⾦刚⽯单胞有8个碳原⼦，坐标为：
1111111113333313131330,0,0,,,0,,0,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,222222444444444444444⼏何结构因⼦112233
2j j j i n h x h x h x hkl j F f e
1exp exp exp 1exp 2exp 2exp exp 12hkl F f i n h k i n k l i n l k f i n h k l i n h k i n k l i l h1exp sin 1cos cos 22hkl n n F f i h k l i h k l n h k n k lhkl I ∝ 2
221cos sin 22hkl f hkl hkln n F I h k l h k l
衍射强度不为零：（1）nh nk nl 都为基数。（2）nh nk nl 都为偶数（包括零）,且12
nh nk nl 也为偶数。
如不满⾜以上条件，则这些⾯的衍射消失，例如⾦刚⽯不可能找到（3，2，1）或（2，2，1）的⼀级衍射斑，也不可能有（4，4，2）这样的⼆级衍射斑点。
1.12 证明：在倒易空间中，当落于⼀倒格⽮垂直平分⾯上时，发⽣布拉格反射。证明：当波⽮满⾜22h k k k r r 时有02h h k k k rr r ∴令'h k k k r r r∴'
K r 刚好是h k r 中垂直⾯的反射波。⼜∵12hd k
r ,由图知：2sin sin 2h
k k r 2sin d m (其中'h h k mk r r ) D E r r
1.13 试证明：具有四⾯体对称性的晶体，其介电常数为⼀标量介电常量：证明： 由D E r r 111213212223313233
各物理量在新旧坐标中：'''D E r r 'p AD u u u r 'E AE u u u r r1D A AE A AE
u u u r u u u r r (由于对称操作''D E r r )'1A A A A
x A 是绕X(a)轴转动90o 是⼀个对称的操作100001010x Ay A 是绕Y(b)轴转动90o 也是⼀个对称操作001010100y A
将代⼊'A A 1122232333000再将
代⼊'A A 111111000000
1.14 若的⽴⽅结构如图所⽰，设原⼦的散射因⼦为，原⼦的散射因⼦为，
（a ）求其⼏何结构因⼦?hkl F
（b ）找出（h,k,l ）晶⾯族的X 光衍射强度分别在什么情况下有223A Bhkl A B
F f I F f (c)设 A B f f ，问衍射⾯指数中哪些反射消失？试举出五种最简单的。解：
结构中，单胞中含有3个B 原⼦，1个A 原⼦。123
2j j j i hx kx lx hkl j F f e
取 1111110,0,0,,0,0,0,,222222A B∴
i h k i k l i h l hkl A B F f f e e e 当h+k 与h+l ，k+l 均为偶数时 3hkl A B F f f当h+k ，h+l ，k+l 其中两个为奇数，⼀个为偶数时 hkl A B F f f
当A B f f 时有 （0，0，1） （0，1，0） （1，0，0） （0，1，1） （1，1，0）（⽴⽅晶系的铜
射线粉末相中，观察到的衍射⾓有下列关系：128222222222
1，0，1） 衍射⾯指数的消光。 1.15 在某222
222222222222
3:4:8:11:12:16:19:20sin :sin ...sin 111200220113222400331420
（a ）试确定对应于这些衍射⾓的晶⾯的衍射⾯指数；（b ）问该⽴⽅晶体是简⽴⽅、⾯⽴⽅还是体⼼⽴⽅？ 解：222
hkl a d h k l⼜ 2sin hkl d n222sin 2anh nk nlsin ∝222nh nk nl128222222222222
222222222222
3:4:8:11:12:16:19:20sin :sin ...sin 111200220113222400331420
∴ h k l = (1,1,1) (2,0,0) (2,2,0)…… ∴该⽴⽅晶体是⾯⼼⽴⽅.第⼆章 晶体的结合
2.1 导出NaCl 型离⼦晶体中排斥势指数的下列关系式：4002
4181kR n e (SI 单位)
其中k 为体变模量，设已知NaC 晶体的10202.410/,0.281k N m R nm ，求NaCl 的n=?解：NaCl 晶体排斥势指数的关系，设晶体有N 个元胞。则晶体的内能：][)6(2n n rB
r A N r b r e N U 其中：2e A ，26b B 对于NaCl 结构32Nr r ，（32r 为元胞的体积） ∴dr Nr dr 260222
100001066r n dudu dr du N A nB dVdr dv Nr dr Nr r r∴ 在0r 为平衡位置处：101 n r nA B 由 402220221811810r
e n dr u d Nr drud r k r r∴11824
0 e kr n （如取SI ） 11842400 e k
kr n 对于NaCl 、CsCl 、ZnS 结构a 1.747、1.762、1.638210/104.2m N k nm r 281.00∴可求n
2.2 带±e 电荷的两种离⼦相间排成⼀维晶格，设N 为元胞数，B/为排斥势，
为正负离⼦间最短的平衡值。证明，当N 有很⼤时有： （a ）马德隆常数2ln 2 ；
（b ）结合能 2002ln 2114Ne U R R n ;（c ）当压缩晶格时，),且，则需做功,其中200
21ln 24n N C e R
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