2017-2018学年度第二学期高一数学期末教学质量检测试题

2017—2018学年度第二学期高一期末考试

数学参及评分标准

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）

1．已知集合Ax|x2,BxZ|log2x2，则

RAB

A．1,2 B．0,1,2 C．2 D．x|0x2 2．下列四组函数表示同一函数的是

x22A．f(x)x,g(x) B．f(x)2lgx,g(x)lgx

xC．f(x)cos(x),g(x)sinx D．f(x)cos|x|,g(x)cosx

3．某市学生鲜奶需求量巨大，管理部门需要调查两项数据：①供应企业生产线的鲜奶达标率，②小学、初中、高中学生鲜奶需求量．①、②选取的抽样方法分别是 A．简单随机抽样和分层抽样 B．都采用分层抽样 C．简单随机抽样和系统抽样 D．系统抽样和分层抽样 4．函数f(x)A．(π211lnxx2的零点所在的区间是 2x1,1) B．1,2 C．2,e D．e,3 eπ的是 1，下列选项错误．．

35．关于函数y2sin2x高一数学试题答案 第 1 页（共10页）

A．函数图象关于直线xB．函数在区间π对称 12π,0上递减 6π6C．函数图象关于点(,1)对称

D．函数图象可由y2sin2x1图象上所有点向右平移

π个单位得到 66．已知向量a，b满足a1，b在a方向上的投影是1，则a(2ab) A．4 B．3 C．2 D．1

7．将正方形ABCD沿对角线BD折起形成一个三棱锥ABCD，当三棱锥ABCD体积最大时，直线AC与平面BCD所成的角等于

ππππ B． C． D． 328．函数f(x)ln(x1)的大致图象是

A．

9．已知钝角ABC的面积是1，AB2，BC2，则AC

10 D． 10

A．2 B．2 C．

10．某校随机抽取20个班级，调查各班关注世界杯的学生人数．把所得数据以5为组距进行分组：[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35),[35,40]，得到频率分布直方图如图所示，则原始数据的茎叶图可能是 ．．

高一数学试题答案 第 2 页（共10页）

11．已知sin()π31π，则sin(2) 46

A．771515 B． C． D． 88161612．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PAAB2，AC4．若三棱锥PABC四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为

A．8π B．12π C．20π D．24π

第II卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．过两点M(2,t)、N(t,4)的直线斜率为1，则t 1 ． 14．在正ABC内任取一点，则该点落在ABC内切圆内的概率是 3π ． 915．已知以A为直角的RtABC，边BC的中垂线分别交AC,BC于点P,Q．若

AB1,AC2，则APBC= 3 ． 2ax,x11a0a16．函数f(x)2的值域为，则的取值范围为 ． R1x4x,x14高一数学试题答案 第 3 页（共10页）

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知向量asinx,cosx,b13cosx,cosx，函数fxab．

2（1）求函数fx的解析式及最小正周期； （2）当x0,，求函数fx的值域．

217．解：（1）fx3sinxcosxcos2xπ1 2=31cos2x1sin2x 22231sin2xcos2x 22==sin2xπ …………………………………5分 6所以Tπ…………………………………………………………………6分 （2）因为0x2，所以62x65，…………………8分 6所以1sin2x1 261,1]． …………………10分 2,AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC所以函数f(x)的值域为[18．（本小题满分12分） 如图，在ABC中,B（1）求sinBAD； （2）求BD,AC的长．

31． 7高一数学试题答案 第 4 页（共10页）

18．解：（1）在ADC中，因为cosADC143，所以sinADC．…2分 77所以sinBADsinADCBsinADCcosBcosADCsinB 4311333． ………………………………………………………6分 72721433ABsinBAD143．…………9分 （2）在ABD中,由正弦定理得BDsinADB4378在ABC中,由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcosB8252285149． 2所以AC7．……………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）

某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别采集了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒的人数,得到如下资料:

日期 昼夜温差x(℃) 1月 2月 3月 11 4月 5月 12 6月 9 8 16 13 29 6 12 患感冒人数y(个) 19 25 26 该兴趣小组确定的研究方案是先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求得线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率； （2）若选取1月和6月的两组数据作为检验数据：

（i）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程；

（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据差的绝对值均不超过2，则认为得到的线性回归方程是“理想的”，试问该小组所得线性回归方程是否是“理想的”？

高一数学试题答案 第 5 页（共10页）

ˆ参考公式: bxynxy(xx)(yy)iiiii1nnni122xnxii12(xx)ii1nˆ． ˆybx,a19．解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A．六组数据分别记为A1,A2,A3,A4,A5,A6，从这六组数据中随机抽取2组,所有可能的结果有: A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共有15种． ……2分 事件A包含得基本事件有： A1,A2,A2,A3,A3,A4,A4,A5,A5,A6共有5种 …………………3分 所以抽到相邻两个月份的数据的情况有5种,故PA51．…………………4分 153（2）（i）求得x11,y24 ………………………………………6分 ˆ由公式求得b18 ………………………………………8分 730 ………………………………9分 71830x． …………………………10分 77ˆ,求得aˆybxˆ再由aˆ所以y关于x的线性回归方程为yˆ（ii）当x9时, yˆ同样,当x6时, y132132,192 ……………11分 777878,122 77所以该小组所得线性回归方程是理想的． ………………………12分 20．（本小题满分12分）

xy4，(2,0)，已知点A圆O：动点P在圆O上运动，线段AP的中点为M，点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程；

（2）若曲线C在点M处的切线为l，l与圆O相交于两点E,F，且cosEOF高一数学试题答案 第 6 页（共10页）

227，8

求直线l的方程．

20．解：（1）设点M(x,y)，P(x0,y0)，由于点P在圆O上，得x02y024 x0(2)xx0=2x22由于线段AP的中点为M，得 即 …………2分 y2yy0y02代入x02y024，得点M的轨迹C的方程为(x1)y1． ………………4分 22（2）由于C的方程为(x1)2y21，所以轨迹C是以(1,0当直线l的斜率不存在时，不满足题意 ………………………………设直线l的方程为ykxb 由于直线l与圆C相切，得kbk211 ① ………………………………由于cosEOF7EOF8，得cos214， …………………………………可得原点到直线l的距离等于12 …………………………………于是，有bk2112 ② ……………………………………k=3k=-3联立①②解得3，或者3 ………………………………b33b33所以直线l的方程为y33x33或者y333x3． 21．（本小题满分12分）

已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F,M,N分别为棱

C1D1,AD,AB,B1C1的中点．

（1）求证：E,F,M,N四点共面；

高一数学试题答案 第 7 页（共10页）

为圆心，以1为半径的圆． 5分 6分 7分 8分 9分 11分 12分 ) ……………

（2）求证：A1C平面EFMN．

21．解：（1）显然正方体ABCDA1B1C1D1中， 四边形BB1D1D为平行四边形， 即BD//B1D1，BDB1D1； 点E,N分别为C1D1,B1C1的中点， 所以EN//B1D1,EN同理FM//BD,FM1B1D1；…………………2分 21BD；…………………4分 2从而EN//FM,ENFM，……………………5分 故四边形EFMN为平行四边形，所以E,F,M,N四点共面．……………………6分 （2）如图连接A1E,A1M,MC，EC，A1C1，EM， 因为点E,N分别为正方体棱C1D1,B1C1的中点，所以A1C1EN； 因为正方体中CC1平面A1B1C1D1，且EN平面A1B1C1D1，所以ENCC1； 因为A1C1EN，ENCC1，且CC1AC11平面A1C1C， 11=C1，CC1,AC所以EN平面A1C1C，…………………………………………………7分 且A1C平面A1C1C，所以ENA1C；………………………………8分 因为点E,M分别为正方体棱C1D1,AB的中点， 所以四边形A1ECM是菱形，设AC1EMO，显然ACEM；…………10分 1FN也可，注：2分得分点） （同理证AC1因为A1CEM，A1CEN，且EMEN=E，EM,EN平面EFMN， 所以A1C平面EFMN．………………………………………………………12分

22．（本小题满分12分）

已知函数fxx2ax2x,aR．

（1）若a0，判断函数yf(x)的奇偶性，并加以证明；

高一数学试题答案 第 8 页（共10页）

（2）若函数fx在上R是增函数，求实数a的取值范围；

（3）若存在实数a2,2使得关于x的方程f(x)tf(2a)0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

22．解：（1）当a0时，fxx2ax2x,aR，定义域xR 所以fxxx2xxx2xfx 故函数yf(x)为奇函数． ……………………………………………（2）fxx222ax,x2ax222ax,x2a ……………………………………当x2a时，yf(x)的对称轴为xa1； 当x2a时，yf(x)的对称轴为xa1． 所以当a12aa1即1a1时，函数yf(x)在R上是增函数．………（3）方程f(x)tf(2a)0的解即为方程f(x)tf(2a)的解． ①当1a1时，函数yf(x)在R上是增函数，所以关于x的方程f可能有三个不相等的实数根； ……………………………………②当a1时，即2aa1a1，所以yf(x)在,a1上单调递增，在a1,2a上单调递减，在2a,上单调递增，所以当f2atf2时，关于x的方程fxtf2a有三个不相等的实数根，即4at4a因为a1，所以1t114aa2． 设ha14a1a2，因为存在a2,2，使得关于x的方程f(x)高一数学试题答案 第 9 页（共10页）

2分 3分 6分 (x)tf(2a)不7分 afa1 a1， 2tf(2a)有三个 不相等的实数根，所以1th(a)max，又可证h(a)所以h(a)max11(a2)在(1,2]上单调递增，4a99，故1t； ……………………………………9分 88③当a1时，即2aa1a1，所以yf(x)在(,2a)上单调递增，在(2a,a1)上单调递减，在(a1,)上单调递增，所以当f(a1)tf(2a)f(2a)时，关于x的方程f(x)tf(2a)有三个不相等的实数根，即(a1)2t4a4a，因为a1，所11(a2)． 4a11设g(a)(a2)，因为存在a2,2,使得关于x的方程f(x)tf(2a)有4a11三个不相等的实数根，所以1tg(a)max，又可证g(a)(a2)在[2,1)上4a99单调递减，所以g(a)max，故1t； ……………………………………11分 8综上可得，1t． ……………………………………12分 8以1t 高一数学试题答案 第 10 页（共10页）