2021-2022学年山西省太原市高二(下)期中数学试卷(解析版)

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）

1．在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ） A．散点图和残差图 B．残差图和列联表

C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表 2．若A．2 C．2或4

，则m＝（ ）

B．4

D．以上答案都不对

3．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ） A．10

B．20

C．25

D．32

4．下列关于χ2性检验的说法正确的是（ ） A．用χ2性检验推断的结论可靠，不会犯错误 B．用χ2性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误 C．χ2性检验的方法适用普查数据

D．对于不同的小概率值α，用χ2性检验推断的结论相同

5．如图四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）

A．r2＜r4＜r3＜r1 C．r2＜r4＜r1＜r3

B．r4＜r2＜r3＜r1 D．r4＜r2＜r1＜r3

6．现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ） A．31

B．32

C．63

D．

7．以下说法错误的是（ ）

A．用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若|r|越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 B．经验回归方程

一定经过点（，）

C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好

D．用决定系数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，则相应模型的拟合效果越好 8．已知随机变量X的期望E（X）＝0，方差D（X）＝1，随机变量Y＝2X﹣1，则下列结论正确的是（ ）

A．E（Y）＝﹣1，D（Y）＝3 C．E（Y）＝﹣1，D（Y）＝4 9．1515除以8的余数为（ ） A．﹣1

B．1

C．6

D．7

B．E（Y）＝1，D（Y）＝3 D．E（Y）＝1，D（Y）＝4

10．某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩X～N（80，25），规定成绩大于或等于85分为A等级， 已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973） A．11

B．79

C．91

D．159

11．有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则D（X）＝（ ） A．4.5

B．2.5

C．1.5

D．0.45

12．某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ） A．18

B．48

C．50

D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上） 13．已知随机变量X～B（10，0.3），则E（X）＝ ．

14．已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为

，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加 ．

15．长期吸烟可能引发患肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为 ．

16．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为 ．

三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）求（2x2+）6的展开式的常数项； （2）求

的展开式中的x的系数．

18．已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球． （1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率； （2）求从乙袋取出白球的概率．

19．为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下的数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未冶愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈． （1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的2×2列联表；

疗法

治愈

服用新药 服用安慰剂 合计

疗效

未治愈

合计

（2）依据α＝0.01的性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论． 附：

α xα

0.10 2.706

0.01 6.635

． 0.001 10.828

说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．（A）

20．有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖． （1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；

（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．

若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？ （B）

21．有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖． （1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率； （2）现有两种摸球方案． 方案一：按（1）的方式摸球； 方案二：无放回地一次摸出5个球．

若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？

（本小题满分10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．（A） 22．某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1：

x y

1 0.5

2 1

3 1.5

4 3

5 5.5

（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；

（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用y＝ekx+a作为年销售量y关于年投资额x的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2：

x z＝lny

1 ﹣0.7

2 0

3 0.4

4 1.1

5 1.7

（yi﹣

）2比较

（3）根据e0.59≈1.8，e﹣1.27≈0.3及表3的数据，请用残差平方Q＝（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？

表3：

n 1.8n的近似值

2 3.2

3 5.8

4 10.5

5 18.9

参考公式：＝＝，＝﹣．

参

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）

1．在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（ ） A．散点图和残差图 B．残差图和列联表

C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表

【分析】据题意，依次分析选项的图、表，结合其统计意义，即可得答案．

解：∵散点图体现的是变量间相关性的强弱，残差图体现预报变量与实际值之间的差距，∴ABC错误，

∵等高条形图能直观地反映两个分类变量是否有关系，对于列联表，计算k2的值即可，∴D正确， 故选：D． 2．若A．2 C．2或4

【分析】利用组合数的性质求解即可． 解：因为

＝

，

，则m＝（ ）

B．4

D．以上答案都不对

所以2＝m或2+m＝6， 解得m＝2或m＝4． 故选：C．

3．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（ ） A．10

B．20

C．25

D．32

【分析】从5件不同的礼物中选出2件，分给甲乙即可．

解：从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送

法种数为故选：B．

＝20，

4．下列关于χ2性检验的说法正确的是（ ） A．用χ2性检验推断的结论可靠，不会犯错误 B．用χ2性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误 C．χ2性检验的方法适用普查数据

D．对于不同的小概率值α，用χ2性检验推断的结论相同 【分析】根据性检验的知识可进行判断．

解：χ2值的大小用于判断两个变量之间相关关系的强弱，而根据χ2的值下结论是有置信度的，置信度＜1，因此利用χ2判断结论可靠，但可能有随机性错误，故A错误，B正确；

χ2的值的大小用于判断两个离散且只有两个分类所属的变量，例如性别变量男性和女性，喜好或不喜好．所以χ2不适合用于普查数据，如果普查数据是连续或者有两个以上的分类属性，则无法用χ2判断，C错误；

对于不同的小概率值α，χ2需要根据不同的可信度取值来下结论，不同的可信度取值会有不同的结论．D错误； 故选：B．

5．如图四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（ ）

A．r2＜r4＜r3＜r1 C．r2＜r4＜r1＜r3

B．r4＜r2＜r3＜r1 D．r4＜r2＜r1＜r3

【分析】由图知，第①③图正相关，第②④图负相关，且第①图比第③图更集中，第②图比第④图更集中，从而判断大小． 解：由图知，

第①③图正相关，第②④图负相关， 且第①图比第③图更集中，

第②图比第④图更集中， 故r1＞r3＞0，r2＜r4＜0， 故r2＜r4＜r3＜r1， 故选：A．

6．现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（ ） A．31

B．32

C．63

D．

【分析】依据题意可将人民币分成选取1张，选取2张，选取3张，选取4张，选取5张进行分类计算． 解：选取1张人民币共有选取2张人民币共有选取3张人民币共有选取4张人民币共有选取5张人民币共有

＝5种不同的情况，

＝10种不同的情况， ＝10种不同的情况， ＝5种不同的情况， ＝1种不同的情况，

故共有5+10+10+5+1＝31种不同的币值． 故选：A．

7．以下说法错误的是（ ）

A．用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若|r|越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 B．经验回归方程

一定经过点（，）

C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好

D．用决定系数R2来刻画模型的拟合效果时，若R2越小，则相应模型的拟合效果越好 【分析】根据相关系数的大小与线性相关强弱的关系可判断 A；根据回归直线过样本中心点可判断 B；根据残差平方和的意义和相关指数的意义可判断C，D．

解：对于A：由相关系数的意义知，其绝对值越接近于1，变量间的相关程度越强，故A正确：

对于B：由样本数据得到的回归直线必过样本中心，故B正确；

对于C：根据残差平方和的计算公式可知，残差平方和越小的模型拟合效果越好，故C正确；

对于D：决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D错误；故选：D．

8．已知随机变量X的期望E（X）＝0，方差D（X）＝1，随机变量Y＝2X﹣1，则下列结论正确的是（ ）

A．E（Y）＝﹣1，D（Y）＝3 C．E（Y）＝﹣1，D（Y）＝4

B．E（Y）＝1，D（Y）＝3 D．E（Y）＝1，D（Y）＝4

【分析】根据离散型随机变量的期望与方差公式进行计算即可． 解：∵期望E（X）＝0，方差D（X）＝1， ∴E（Y）＝E（2X﹣1）＝2E（X）﹣1＝﹣1， D（Y）＝D（2X﹣1）＝4D（X）＝4， 故选：C．

9．1515除以8的余数为（ ） A．﹣1

B．1

C．6

D．7

【分析】由1515＝（16﹣1）15，结合二项式展开式的通项公式求解即可． 解：1515＝（16﹣1）15，

由（16﹣1）15的展开式的通项公式为Tr+1＝

展开式前15项每一项都是8的倍数，最后一项为﹣1， 则1515除以8的余数为7， 故选：D．

10．某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩X～N（80，25），规定成绩大于或等于85分为A等级， 已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（ ）（附：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973） A．11

B．79

C．91

D．159 可得，

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．

解：∵某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩X～N（80，25），

∴＝0.5﹣0.34135＝0.15865，

∴这次考试成绩为A等级的考生数约为500×0.15865≈79（人）． 故选：B．

11．有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则D（X）＝（ ） A．4.5

B．2.5

C．1.5

D．0.45

【分析】根据题意先计算出期望，再求公差即可． 解：X的可能取值为1，2，3， P（X＝1）＝

＝，

P（X＝2）＝＝，

P（X＝3）＝＝，

E（X）＝1×+2×+3×＝，

+（3﹣）2×

＝0.45．

D（X）＝（1﹣）2×+（2﹣）2×故选：D．

12．某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ） A．18

B．48

C．50

D．

【分析】分类讨论结合计数原理可得结果．

解：第一类，前两节安排语文、数学，第四节排体育，排法种数为第二类，前两节安排语文、数学，第四节不排体育，排法种数为第三类，前两节安排英语、数学，第四节排体育，排法种数为第四类，前两节安排英语、数学，第四节不排体育，排法种数为第五类，前两节安排语文、英语，第四节排体育，排法种数为

； ；

； ； ；

第六类，前两节安排语文、英语，第四节不排体育，排法种数为；

根据分类加法计数原理，前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为6+12+6+12+6+8＝50， 故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上） 13．已知随机变量X～B（10，0.3），则E（X）＝ 3 ． 【分析】利用二项分布的期望公式求解即可．

解：随机变量X～B（10，0.3），则E（X）＝10×0.3＝3． 故答案为：3．

14．已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为

，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加 0.81cm ．

【分析】根据线性回归方程的意义作答．

解：由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81cm． 故答案为：0.81cm．

15．长期吸烟可能引发患肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为 【分析】利用条件概率的知识进行求解即可． 解：设事件A表示患肺癌，P（A）＝0.03%

事件B表示吸烟时间不超过20年的市民，P（B）＝99.9%， 吸烟超过20年患肺癌P（A|）＝则P（AB）＝0.02%，

则吸烟不超过20年患肺癌P（A|B）＝

＝

．

＝

＝10%， ．

16．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为

．

【分析】设An表示经过第n次传球后，球在甲手中，设n次传球后求在球在甲手中的概

率为Pn，依题意利用条件概率的概率公式得到Pn+1＝﹣Pn即可得到{Pn﹣}是以﹣为首项，﹣为公比的等比数列，从而求出Pn，再将n＝6代入计算可得．

解：设An表示经过第n次传球后，球在甲手中，设n次传球后求在球在甲手中的概率为Pn，n＝1，2，3⋯⋯，则有P1＝0， An+1＝An•An+1+

•An+1，所以Pn+1＝P（An•An+1+

）•P（An+1|

•An+1）＝P（An•An+1）+P（

•An+1）

＝P（An）•P（An+1|An）+P（ ）＝（1﹣Pn）×+Pn×0＝×（1﹣Pn），

即Pn+1＝﹣Pn，所以Pn+1﹣＝﹣（Pn﹣），

又P1﹣＝﹣，所以{Pn﹣}是以﹣为首项，﹣为公比的等比数列，

﹣﹣

∴Pn﹣＝﹣×（﹣）n1，即Pn＝﹣×（﹣）n1，

当n＝6时，P6＝﹣×（﹣）5＝故答案为：

．

．

三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）求（2x2+）6的展开式的常数项； （2）求

的展开式中的x的系数．

【分析】（1）由二项式展开式的通项公式求解即可； （2）由二项式展开式的通项公式求解即可． 解：（1）（2x2+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝令12﹣3r＝0， 解得r＝4，

则（2x2+）6的展开式的常数项为22（2）（1﹣x）5的展开式的通项公式为则

＝60；

15﹣r（﹣x）r＝（﹣1）r

+（﹣1）3

xr， ＝﹣15． ＝26﹣r

x12﹣3r，

的展开式中的x的系数为（﹣1）1

18．已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球． （1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；

（2）求从乙袋取出白球的概率．

【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成5个白球，5个黑球，由此易求概率；

（2）把从乙袋取出白球的这个事件分成两个互斥事件，从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得结论．

解：（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率P＝

＝；

（2）把从乙袋取出白球的这个事件分成两个互斥事件，从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球， 所求概率为P＝

×

+

×

＝

．

19．为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下的数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未冶愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈． （1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的2×2列联表；

疗法

治愈

服用新药 服用安慰剂 合计

疗效

未治愈

合计

（2）依据α＝0.01的性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论． 附：

α xα

0.10 2.706

0.01 6.635

． 0.001 10.828

【分析】（1）根据条件可得列联表；（2）计算X2的值，结合临界值表可得结论． 解：（1）2×2列联表；

疗法

疗效

合计

治愈

服用新药 服用安慰剂 合计 （2）

45 25 70

＝

未治愈 10 20 30

55 45 100

≈8.129＞6.635，

所以在犯错率不超过0.01的前提下，可以认为新药对治疗该种疾病有效． 说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．（A）

20．有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖． （1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；

（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．

若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？

【分析】（1）如果是有放回的摸球，则每此摸到红球的概率都是，再按照中奖规则求概率；

（2）分别求中奖的概率的大小，可作出决策．

解：（1）若采用有放回地摸球方式，则每次摸到红球的概率均为， 在有放回地摸球方式下，记“他能中奖”为事件 A， 则P（A）＝C（）4（1﹣）+（）5＝（2）由（1）可知，方案一的中奖概率为

； ；

对于方案二：无放回地一次摸出5个球，记摸得的红球个数为X， 则此时中奖的概率P＝P（X＝4）+P（X＝5）＝

+

＝

+

＝

，

因为，

所以方案一中奖的概率大，应该选择方案一． （B）

21．有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个

红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖． （1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率； （2）现有两种摸球方案． 方案一：按（1）的方式摸球； 方案二：无放回地一次摸出5个球．

若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？ 【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：P＝

＝，则连续摸5次中奖的

情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率相加求和即可． （2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择． 【解答】（1）根据题意，每一次摸出红球的概率为：P＝所以连续摸5次中奖的概率为：P1（X≥3）＝＝

．

＝， +

+

（2）若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：P2＝＝，

因为P1＜P2，所以小明应该选择方案二．

（本小题满分10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．（A） 22．某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图． 表1：

x y

1 0.5

2 1

3 1.5

4 3

5 5.5

（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；

（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用y＝ekx+a作为年销售量y关于年投资额x的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2：

x z＝lny

1 ﹣0.7

2 0

3 0.4

4 1.1

5 1.7

（3）根据e0.59≈1.8，e﹣1.27≈0.3及表3的数据，请用残差平方Q＝（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？ 表3：

n 1.8n的近似值

2 3.2

3 5.8

4 10.5

5 18.9

（yi﹣）2比较

参考公式：＝＝，＝﹣．

【分析】（1）求出，根据公式计算出得线性回归方程；

（2）求出，再求得系数a，b，代入得非线性回归方程； （3）根据（1）（2）回归方程分别求得，解：（1）由题意

，然后计算R2比较可得．

，

，

，

所以线性回归方程为

（2）y＝ebx+a，则lny＝bx+a， 记z＝lny，即z＝bx+a，

， ；

，

＝0.5﹣0.59×3＝﹣1.27， 所以z＝lny＝0.59x﹣1.27， 即y＝e0.59x

﹣1.27

；

（3）按（1）可得：

， x 1 2 3 4 y 0.5 1 1.5 3

﹣0.3

1

2.3

3.6

，

按（2）可得：y＝e0.59x﹣

1.27，

x 1 2 3 4 y 0.5 1 1.5 3

0.

0.96

1.74

3.15

，显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．

5 5.5 4.9

5 5.5 5.67