平面向量试题与答案

平面向量试题与答案

Ting Bao was revised on January 6, 20021

平面向量单元测验

一、选择题：(每小题5分，本题满分60分) 1．在平行四边形ABCD中，ABCBDC等于

C

B．AC

C．CB

D．BD

A．BC

2．已知a=（2，1），b=（1，3），则2a+3b等于

B

A．（1，11） B．（1，11） C．（1，11） D．（1，11）

3．设P（3，6），Q（5，2），R的纵坐标为9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为

A．9

D．6

D

B．6 C．9

4．已知a3，b23,ab=3，则a与b的夹角是

B

C．60

D．30

A．150 B．120

5．下列命题中，不正确的是

2



D

B．λ(ab)=a(λb)

A．a=a

C．（ab）c=acbc D．a与b共线ab=ab

6．若曲线按向量（h，k）平移后的曲线为y=f（x），则原曲线为

C

B．y=f（xh）k D．y=f（x+h）+k

A．y=f（xh）+k

C．y=f（x+h）k 7．在△ABC中，下列各式正确的是

C

asinB B．asinA=bsinB bsinAC．asinB=bsinA D．asinC=csinB

222

8．在△ABC中，ac+b=ab，则角C为 A．

A

C．120O

D．30O

A．60O B．45O或135O

9．下列命题正确的个数是



A

②0AB0

①ABBA0 ③ABACBC A．1

④（ab）c=a（bc）

D．4

B．2 C．3

10．已知P1（2，3），P2（1，4），且P1P2PP2，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为

A．（

D

45，） 33D．（4，5）

B．（45，） 33C．（4，5）

11．

A．已知a3，b4，且（a+kb）⊥（akb），则k等于

B

4334 B． C． D． 345512．在直角三角形中，斜边是斜边上的高的4倍，则两锐角的度数分别是

B

D．10，

A．30，60 B．15，75 C．20，70 80

二、填空题：(每小题4分，本题满分16分)

13．若向量a=（2，x）与b=（x, 8）共线且方向相反，则x=

4.

14．若OA3e1，OB3e2，且P、Q是AB的两个三等分点，则

OPe12e2，OQ2e1e2.

15．在△ABC中，已知A=60O，b=4，c=5，则sinB+sinC=

9716.

16．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120O,而a在e方向上的投影为－2，则

a4.

三、解答题：（本大题满分74分）

17．（本题满分12分）设D为等腰三角形ABC底边BC的中点，利用向量法证明：ADBC.

证明：设ABe1，ACe2，则ADADBC

221e2e10，故ADBC。 21e1e2，BCe2e1 218．（本题满分12分）在△ABC中，已知a23，b=2，△ABC的面积S=3，求第三边c.

11absinC232sinC23sinC 221∴23sinC3sinC

25又∵0C，∴C，或C

66解：∵S当C3时，ca2b22abcosC1242232=2 625327 时，ca2b22abcosC124223262当C

19．（本题满分12分）已知a和b是两个非零的已知向量，当atb(tR)的模取最小值时，（1）求t的值；（2）已知a与b成45角，求证b与

atb(tR)垂直.

解：（1）设a与b的夹角为，则

atbatb22atb2abtcos

2222

a22=btcosa1cos2 babcos时，atb取最小值asin

∴当ta22（2）∵a与b的夹角为45，∴cos，从而t

2b2222abatbabtbabb0

22b2所以b与atb(tR)垂直

20．（本题满分12分）在△ABC中，已知b解：∵所以

31a，C=30，求A、B.

sinBbsinAasinA31，且AB180C150

sin150A31，即

cotA32

又∵0A150，∴A105，从而B45。

21．（本题满分12分）已知抛物线yx22x8. （1）求抛物线顶点的坐标.

（2）将此抛物线按怎样的向量a=h,k平移，能使平移后的图象的解析式为yx2

解：（1）顶点坐标是1,7 （2）a1,7

22．（本题满分14分）在⊿ABC中，设BCa，CAb，ABc， （1）若⊿ABC为正三角形，求证：abbcca；

（2）若abbcca成立，⊿ABC是否为正三角形.

证明：（1）设ABBCCAm，则由AB与BC，BC与CA，CA与

AB的夹角均为120得：abbcca12m2。

（2）若abbcca成立，则

abcosCbccosAaccosB

∴

cosCBA|c||b||a||c|cos|b|cosa，由正弦定理得

sinCsinBsinA。两式两边分别相乘得cotCcotBcotA，又∵0A,B,C，∴

ABC。

解法二：依题意有abc0bac代入abbc得

aaccaca2c2a2c2

同理bc，所以三角形ABC是等边三角形。