自控 根轨迹法习题及答案

1系统的开环传递函数为

K* G(s)H(s)

(s1)(s2)(s4)试证明点s11j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K和开环增益K。

解 若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件G(s)H(s)(2k1)，如图解4-1所示。

对于s1j3，由相角条件

*G(s1)H(s1)

0(1j31)(1j32)(1j34)

0

236满足相角条件，因此s11j3在根轨迹上。将s1代入幅值条件：

G(s1)H（s1）K*1j311j321j341

K*3 解出 ： K12 ， K82*2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ） 1

解 根轨如图解4-2所示：

（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图

图解4-2 根轨迹图 3 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：

K(sz)（1）确定G(s)2产生纯虚根为j1的z值和K值；

s(s10)(s20)K（2）概略绘出G(s)的闭环根轨迹图（要求

s(s1)(s3.5)(s3j2)(s3j2)

2

确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

解（1）闭环特征方程

D(s)s2(s10)(s20)K(sz)s430s3200s2KsKz0

有 D(j)(42002Kz)j(K303)0

42Kz0200令实虚部分别等于零即：  3K300把1代入得： K30， z19930。

（2）系统有五个开环极点：

p10,p21,p33.5,p43j2,p53j2

① 实轴上的根轨迹：,3.5, 1,0

13.5(3j2)(3j2)2.1a5② 渐近线： 

(2k1),3,a555③ 分离点：

111110 dd1d3.5d3j2d3j2解得： d10.45 , d22.4 (舍去) , d3、43.25j1.90 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)s(s1)(s3.5)(s3j2)(s3j2)K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

42Re(j)K10.579.50

53Im(j) 43.545.50解得：

01.026.52

 ，，（舍去）

.3K0K71.90K156 ⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为

p418075..9690135146..392..74

由对称性得，另一起始角为92.74，根轨迹如图解4-6所示。

图解4-6 根轨迹图 3

4 已知控制系统的开环传递函数为

K（s2） G(s)H(s)2 2(s4s9)试概略绘制系统根轨迹。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,2 ② 渐近线：

2j52j5(2)2a33 (2k1),a33③ 分离点：

图解4-7 根轨迹图 2d2j52d2j51

d2解之得：d3.29 d0.71 (舍去)

④ 与虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)(s24s9)2K（s2）0

把sj代入上方程，令

42Re(D(j))34812K0 3Im(D(j))(72K)80解得：

21 K96⑤ 起始角： 90（2p1290）（2k1） 解出 p145,p2135 根轨迹如图解4-7所示。

4-８ 已知系统的开环传递函数为

 4

K G(s)2s(s3s9)试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： ,0 ②起始角： 30

1.5j2.61.5j2.61a3③渐近线： 

(2k1),a33④ 与虚轴交点：闭环特征方程

图解4-8 根轨迹图 D(s)s(s2s9)K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2Re(D(j))K30 3Im(D(j))900解得： 

K03 K27根轨迹如图解4-8所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的K范围为0K27，又

KK*9，故相应的的K范围为0K3。

5单位反馈系统的开环传递函数为

K(s22s5) G(s)

(s2)(s0.5)试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。

解 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： 2,0.5 ② 分离点：由

5

1111 d0.5d2d1j2d1j2解得： d10.41。

③与虚轴交点：

D(s)(s2)(s0.5)K(s22s5)0

把s=j代入上方程，令

2Re(D(j))(1K)5K10 Im(D(j))(1.52K)0解得： 0K0.2 1.25K0.75

图解4-10 根轨迹图 根轨迹如图解4-10所示。由图解4-10可知系统稳定的K值范围为0.2K0.75；又

K5K， 所以系统稳定的K值范围为1K3.75。

6 试绘出下列多项式方程的根轨迹。

⑴s2s3sKs2K0；

解 ⑴ s2s3sKs2K0 作等效开环传递函数 G(s)根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹： 2,0 ② 渐近线：

*3232K(s2)。

s32s23s

1j2(1j2)(2)a02  (2k1)a22③ 起始角：

p180.7490125.2619.48

1 6

根轨迹如图解4-11(a)所示。

7 控制系统的结构如图4-23所示，试概略绘制其根轨迹。 解 系统开环传递函数为

图解4-11(a) 根轨迹图 K(s1) G(s)3(s2)此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。

① 实轴上的根轨迹：,2,1, ② 分离点： 解得 d0.5

③ 起始角：根据相角条件，

31 d2d1ii1j1mnj2k

得 p160，p260，p3180。 根轨迹如图解4-12所示。

8 设单位反馈系统的开环传递函数为

图解4-12 根轨迹图 K(1s) G(s)s(s2)试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K值。

解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹： 2,0, [1,)； ② 分离点：

111 dd2d1解得：d10.732 , d22.732

将sd10.732, sd22.732代入幅值条件得

Kd10., Kd27.46

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

7

D(s)s(s2)K(1s)0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2Re(D(j))K0 Im(D(j))(2K)00解得： 

K01.41 K2图解4-13 根轨迹图 根轨迹如图解4-13所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K为0.，7.46，产生纯虚根的K为2。

9 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出b2时系统的闭环传递函数。

（1）G(s)20

(s4)(sb)30(sb)

s(s10)b(s4)

s24s20（2）G(s)解 （1）做等效开环传递函数

G(s)① 实轴上的根轨迹：(,4] ② 分离点：

111

d2j4d2j4d4图解4-14(a) 根轨迹图 解得：d10.472(舍去)，d28.472

如图解4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。 当b2时，两个闭环特征根为1,23j4.24。 此时闭环传递函数为

(s)20

(s3j4.24)(s3j4.24) 8

（2）做等效开环传递函数G(s)=

30b

s(s40)

① 实轴上的根轨迹：40,0 ② 分离点： 解得：d20

根轨迹如图解4-14(b)所示，

110 dd40图解4-14(b) 根轨迹图 当b2时，两个闭环特征根为138.44，21.56 此时闭环传递函数为

(s)30(s2)

(s1.56)(s38.44)11 已知系统结构图如图4-24所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。

解：G(s)100

Ts3s220s作等效开环传递函数

G(s)*1T(s220s100)s3

图 4-24 系统结构图 根轨迹绘制如下：

① 实轴上的根轨迹：(,10],10,0 ② 分离点：

32 dd10解得 d30。 根据幅值条件，对应的T0.015。

③ 虚轴交点：闭环特征方程为

D(s)Ts3s220s1000

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2Re(D(j))1000 3Im(D(j))20T0 9

解得： 10

T0.2④ 起始角：p160

图解4-15 根轨迹图 参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15所示。

从根轨迹图可以看出，当0T0.015时，系统阶跃响应为单调收敛过程；

0.015T0.2时，阶跃响应为振荡收敛过程；T0.2时，有两支根轨迹在s右半平面，

此时系统不稳定。

4-16 实系数特征方程

A(s)s35s2(6a)sa0 要使其根全为实数，试确定参数a的范围。

解 作等效开环传递函数 G(s)a(s1)a(s1) 32s5s6ss(s2)(s3)当a0时，需绘制180根轨迹。

① 实轴上的根轨迹： 3,2，1,0

2312a31② 渐近线： 

(2k1)a312③ 分离点：

1111 dd2d3d1解得 d2.47

分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得： Kddd2d3d10.4147

根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由

根轨迹图解4-16(a)可以看出，当0a0.4147时，多项式的根全为实数。

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当a0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：,3，2,1， 0,。

由根轨迹图图解4-16(b)可以看出，当a0时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为0a0.4147或a0。

12 某单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)K 4(0.5s1)试根据系统根轨迹分析系统稳定性，并估算%16.3%时的K值。

解 ⑴G(s)16K

(s2)4根轨迹绘制如下：

① 实轴的根轨迹：实轴上的除点2外没有根轨

迹区段。

22222a4② 渐近线： 

(2k1),3a444图解4-18 根轨迹图 ③ 与虚轴交点：令D(j)0，解得根轨迹与虚轴交点为j2。根轨迹与虚轴交点

对应的根轨迹增益为 Kj224

相应开环增益为 KK*164 根轨迹如图解4-18所示。

*从根轨迹图中可以看出，当根轨迹增益0K，开环增益0K4，根轨迹全*在左半s平面，系统稳定；当轨迹增益K，开环增益K4，有两条根轨迹落在右半

s平面，此时系统不稳定。

⑵ 对二阶系统来说，当%16.3%时，0.5。系统阻尼角为

arccos0.560

在s平面作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为60。OA与根轨迹交点为1，其余3个交点为2，3和4。而本系统为四阶系统，其闭环极点分布满足主导极点的分布要求，可以认为，1、2是主导极点，忽略3、4作用，将该系统近似为二阶系统。不难计算

11

10.732j1.268，带入幅值条件可得对应根轨迹增益为：

|0.732j1.2682|4 K0.6

1613单位反馈系统开环传递函数为

K G(s)

(s3)(s22s2)要求闭环系统的最大超调量%25%，调节时间ts10s，试选择K值。

解 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ,3

31j1j5a33② 渐近线：

(2k1),a33 ③ 与虚轴的交点：系统闭环特征方程为

D(s)s35s28s6K0

把sj代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

2Re(D(j))56K0 3Im(D(j))80解得： 2.83K34

图解4-19 根轨迹图 根轨迹如图解4-19所示。

由%25%0.4（arccos0.466.4），在s平面作等阻尼线OA，使之

与实轴夹角为66.4。OA与根轨迹交点为1，其余2个交点为2，3。

2令 1njn10.4nj0.92n

2则 2njn10.4nj0.92n

特征方程为

D(s)(s1)(s2)(s3)s(0.8n3)s(n0.8n3)sn3

3222s35s28s6K

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0.8n352比较系数得 n0.8n38

2n36Kn1.73解得 33.616

K4.8由调节时间ts10s, 又ts3.5nn3.5，当n0.35时，由根之和可得

34.3，由幅值条件确定出对应的K15.5。要求闭环系统的最大超调%25%，

调节时间ts10s，则K取值范围对应为 0K4.8。

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