自动控制原理(第2版)余成波第5章习题解答

频率特性法

频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：

1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。

2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nichols图)等形式。各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。

3）开环对数频率特性曲线(波德图)是控制系统分析和设计的主要工具。开环对数幅频特性L(ω)低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；L(ω)中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。

对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。

4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性G(jω)H(jω)曲线，又称奈氏曲线，是否包围GH平面中的(－l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。

5）利用开环频率特性或闭环频率特性的某些特征量，均可对系统的时域性能指标作出间接的评估。其中开环频域指标主要是相位裕量、穿越频率c。闭环频域指标则主要是谐振峰值Mr、谐振频率r以及带宽频率b，这些特征量和时域指标％、ts之间有密切的关系。这种关系对于二阶系统是确切的，而对于高阶系统则是近似的，然而在工程设计中精度完全可以满足要求。

教材习题同步解析

5.1 一放大器的传递函数为：

K

G(s)=

Ts1

测得其频率响应，当=1rad/s时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/2，稳态输出与输入信号的相位差为－π/4。求放大系数K及时间常数T。

解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为

K212A1T22 ，即

7221T22K稳态输出与输入信号的相位差

arctanT45，即T1

当=1rad/s时，联立以上方程得

T=1，K=12

放大器的传递函数为：

G(s)=

5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

12 s1GK(s)5 s1根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。

（1）r（t）=sin（t+30°）； （2）r（t）=2cos（2t－45°）；

（3）r（t）= sin（t+15°）－2cos（2t－45°）； 解：该系统的闭环传递函数为

(s)闭环系统的幅频特性为

5 s6A()闭环系统的相频特性为

5362

()arctan

6（1）输入信号的频率为1，因此有

A()系统的稳态输出

537，()9.46 37css(t)（2）输入信号的频率为2，因此有

537sin(t20.) 37A()系统的稳态输出

10，()18.43 4css(t)（3）由题（1）和题（2）有

10cos(2t63.43) 2对于输入分量1：sin（t+15°），系统的稳态输出如下

c1ss(t)537sin(t5.) 37对于输入分量2：－2cos（2t－45°），系统的稳态输出为

c2ss(t)10cos(2t63.43) 2根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为

css(t)53710sin(t5.537)cos(2t63.4363) 372

5.3 绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。 （1） G(s)410 （2） G(s)=10(0.1s1) （3） G(s)

s(s2)0.1s1（4) G(s)4s0.2 （5）G(s)

(s1)(s2)s(s0.02)e0.210（6）G(s) （7）G(s)

s1(s1)(s2s1)解：

（1）G(s)10

0.1s1幅相频率特性 开环系统G1(s)10是一个不稳定的惯性环节，频率特性为

0.1s1G1(j)10

1j0.1L()/（dB） [0] [－20] 20 Im 0 1 / (rad·s－1) 10 100 －10 →0 → 10 ()/ Re 0 －45 －90 －135 －180 →0 2() / (rad·s－1) G1(j)G2(j)1() (a) 幅相频率特性

图5.1 题5.3（1）系统频率特性

(b) 对数频率特性

相频特性为

1()(180arctan0.1)arctan0.1180

相频特性从－180

连续变化至－90

。

可以判断开环奈氏曲线起点为(－10，j0)点，随的增加，A1()逐渐减小至0，而1()逐渐增加至－90°，绘制出系统开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.1(a)虚线所示，是一个直径为10的半圆。

而开环系统G2(s)对数频率特性 开环系统G1(s)5.1(b)所示。

（2）G(s)=10(0.1s1) 幅相频率特性

开环系统G1(s)=10(0.1s－1)的频率特性为G1(j)10(j0.11)，其相频特性为

10则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.1(a)实线所示。

0.1s11010与G2(s)的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图

0.1s10.1s11()180arctan0.1

相频特性从180

连续变化至90

。其开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.2(a)虚线所示。

L()/（dB） [0] [－20] 20 Im

/ (rad·s－1) →

→

G1(j)G2(j)0 1 10 100 →0

→0

()/ Re

10

－10

0 180 2() 135 90 45 0 1() / (rad·s－1) (a) 幅相频率特性

图5.2 题5.3（2）系统频率特性

(b) 对数频率特性

而开环系统G2(s)=10(0.1s+1) 则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.2(a)实线所示。

对数频率特性

同题（1），二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.2(b)所示。 （3）G(s)4

s(s2)系统开环传递函数的时间常数表达式为

G(s)幅相频率特性

2

s(0.5s1)1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：

将频率特性表达式分母有理化为

G(j)2j2(1j0.5)j2j(j0.51)(1j0.5)(1j0.5)(10.252)

12j210.25(10.252)则低频渐近线为

xlimRe[G(j)]limR()lim0011 2010.25同时可知，频率特性实部与虚部均<0，故曲线只在第三象限。 2）n－m=2，则()=－180，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。

3）此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从－90º连续变化到－180。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。系统的幅相频率特性G(j)见图5.3(a)。

L()/（dB） Im －1 → 20 [－20] 2 / (rad·s－1) 10 Re 0 0.1 1 [－40] G(j)－90 →0 ()/ 1 10 / (rad·s－1) －135 －180 (a) 幅相频率特性

图5.3 题5.3（3）系统频率特性

(b) 对数频率特性

对数频率特性

1）可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节，转折频率为 T =2 rad·s1。

低频段斜率为－20dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg2－20lgω，并通过点L(2)= 0dB。经过转折频率T

后斜率为－40dB/dec。

2）系统的相频特性为积分环节（－90º）与惯性环节（0º ~－90º）相频特性的叠加，为

－

()90arctan0.5

转折频率处相位为(2)=－135°，对数相频特性曲线对应于该点斜对称。 绘制开环伯德图L()、()，如图5.3（b）所示。 （4）G(s)4

(s1)(s2)系统开环传递函数的时间常数表达式为

G(s)幅相频率特性

2

(s1)(0.5s1)1）系统为0型系统，A(0)=2，(0)= 0º，开环奈氏曲线起点为(2，j0)点；n－m=2，则()=－180。随的增加，A()逐渐单调连续减小至0，而()滞后逐渐增加至－180°，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。

2）将频率特性表达式分母有理化为

G(j)22(1j)(1j0.5)(j1)(1j0.5)(12)(10.252)2(10.5)3j(12)(10.252)(12)(10.252)2

频率特性虚部均<0，故曲线在第三、第四象限。 3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为

2(10.52)Re[G(j)]0(12)(10.252)

2rad/s,Im[G(j)]20.94此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(j)见图5.4(a)。 对数频率特性

L()/（dB） 20 6 Im

0 0.1 [0] [－20] 1 2 10 [－40] －/ (rad·s1) →

2 →0

Re

0 －90 －180 ()/ －/ (rad·s1) 0

G(j)－j0.94 (a) 幅相频率特性

图5.4 题5.3（4）系统频率特性

(b) 对数频率特性

1）可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为 1 =1 rad·s1、 2 =2 rad·s1。 系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg2=6dB。经过转折频率1、 2后斜率分别为－20、－40dB/dec。

－－

2）系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为

()arctanarctan0.5

两个转折频率处相位分别为(1)=－72°，(2)=－109°。 绘制开环伯德图L()、()，如图5.4（b）所示。 （5）G(s)s0.2

s(s0.02)系统开环传递函数的时间常数表达式为

G(s)幅相频率特性

0.2(5s1)10(5s1)

0.02s(50s1)s(50s1)1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：

10(j51)j10(j51)(1j50)450j10(25021)G(j)j 22j(j501)(1j50)(1j50)12500(12500)L()/（dB） 60 40 Im －450 → [－20] [－40] 20 0 Re 0.002 0.02 [－20] / (rad·s－1)

0.2 G(j)→0 ()/ / (rad·s－1)

0.02 0.2 －90 －135 －180 (a) 幅相频率特性

图5.5 题5.3（5）系统频率特性

(b) 对数频率特性

低频渐近线为

xlimRe[G(j)]limR()lim000450450

125002同时可知，频率特性实部、虚部均<0，故曲线只在第三象限。 2）n－m=1，则()=－90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。

3）此系统有开环零点，因此在由0增大到过程中，特性曲线有凹凸，最后终于原点。系统的幅相频率特性G(j)见图5.5(a)。

对数频率特性

1）系统转折频率分别为 1 =0.02 rad·s1、 2=0.2 rad·s1。

系统为I型，低频段斜率为－20dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg10－20lgω，因此L(0.02)=dB。经过转折频率1、 2后斜率分别为－40 dB/dec、－60dB/dec。

2）系统的相频特性为两个惯性环节相频特性的叠加，为

－

－

()arctan590arctan50

两个转折频率处相位分别为，(0.02)=(0.2)=－129°。 系统的对数频率特性L()、()见图5.5(b)。 （6）G(s)10

(s1)(s2s1)幅相频率特性

1）系统为0型系统，A(0)=10，(0)= 0º，开环奈氏曲线起点为(10，j0)点；n－m=3，则()=－270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。

2）同上，频率特性表达式分母有理化为

1010(122)(22)Gk(j)j

(j1)(12j)(12)[(12)22(12)(10.252)3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为

Re[G(j)]00.71rad/s,相位有()=－180，因此与实轴的交点为

Im[G(j)]0.719.43

Im[G(j)]02rad/s,Re[G(j)]23.3

此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(j)见图5.6(a)。 对数频率特性

1）系统惯性环节、二阶振荡环节的转折频率均为 T =1 rad·s1。

系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg10=20dB，经过转折频率T后斜率为－60 dB/dec。渐近线上各点坐标可以通过坐标系直接读出，也可根据简单的计算求出。

－

例如，点L(2)与L(1)=20dB位于同一条斜线，斜率为－60dB/dec，则L(2)的纵坐标值满足

L(1)L(2)60

lg1lg2求出L(2)=2dB。

2）系统的相频特性为惯性环节与二阶振荡环节相频特性的叠加，为

()arctanarctan 21L()/（dB） [0] 2 20 / (rad·s－1) 10 [－60] Im

0 0.1 1 →

10 →0

Re

0 －90 ()/ －3.3

0

/ (rad·s－1) G(j)－j9.43

－180 －270 (a) 幅相频率特性

图5.6 题5.3（6）系统频率特性

(b) 对数频率特性

转折频率处相位为(1)=－136°，并有(2)=－209°。 系统的对数频率特性L()、()见图5.6(b)。

e0.2（7）G(s)

s1幅相频率特性

1）延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，但使相频特性的最大滞后为无穷大。系统频率特性为

ej0.2G(j)

j1A()G(j)112

()180arctan11.4arctan 3.14(1)56.4,(10)1982）随的增大，此系统幅频特性A()单调减小，而相位滞后单调增加，相频特性()从0°一直变化到负无穷大。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋转次，最后终止于原点，与实轴、虚轴有无数个交点，如图5.7（a）所示。

3）与虚轴的第一个交点为

Re[G(j)]02.24rad/s,4）与实轴的第一个交点为

Im[G(j)]0.42

Im[G(j)]08.77rad/s,Re[G(j)]20.12

L()/（dB） [0] 0 0.1 －20 Im 1 [－20] 10 / (rad·s－1) －0.12 → 1 →0 Re 0 －90 ()/ 1 10 0 / (rad·s－1) －j0.42 G(j)－180 －270 (a) 幅相频率特性

图5.7 题5.3（7）系统频率特性

(b) 对数频率特性

对数频率特性

系统的对数幅频特性与典型惯性环节的对数幅频特性完全一致，但相频特性滞后无限增加。系统的对数频率特性L()、()见图5.7(b)。

5.4 求图5.8所示的电网络的频率特性表达式，以及幅频特性与相频特性表达式，并绘制出对数频率特性曲线。

图5.8 题5.4图

解：

（a）电网络的传递函数为

G(s)R2R11R1R2sCR1sC1R21R1sCR2R1Cs1Ts1R1R2R2R1Cs1Ts1(R1R2)L()/(dB) 1T－/ (rad·s1) R2R2(R1Cs1)R2R1CsR1R2

L()/(dB) 0 1T1T0 [-20] 1T1[+20] 20lg ()/ / (rad·s－1)

20lg()/ 60 30 0 10 Tm 1－/ (rad·s1) m / (rad·s－1)

－90 T（a） （b） 图5.9 题5.4伯德图

R21,TR1C

R1R2频率特性为 G(j)幅频特性

jT1

jT1(T)21A() 2(T)1相频特性

()arctanTarctanT

伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的超前校正装置（见第六章），呈现以下特点： 1） 转折频率1与1之间渐近线斜率为20dB/dec，起微分作用；

TT2）()在整个频率范围内都>0，具有相位超前作用，故名超前校正装置； 3）()有超前最大值m。 （b）电网络的传递函数为

G(s)R21sCRR121,TR2CR2R1R21sCR2Cs1(R1R2)Cs1

频率特性为 G(j)幅频特性

jR2C1

j(R1R2)C1A()相频特性

T221(T)12

()arctanTarctanT

伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章），呈现以下特点： 1） 转折频率1与1之间渐近线斜率为－20dB/dec，起积分作用；

TT 2）()在整个频率范围内都<0，具有相位滞后作用，故名滞后校正装置；

3）()有滞后最大值m。

5.5 由实验测得某最小相位系统幅频特性如下，试确定系统的传递函数

表5.1 最小相位系统的实验数据

－/(rad·s1) 0.3 9.978 0.5 9.79 1.25 9. 2 9 2.5 8.78 5 6.3 6.25 5.3 10 3.24 12.5 2.3 20 0.9 25 0.6 50 0.1 100 0.01 A

解：

1）根据表5.1，求出与每个频率对应的稳态输出与输入幅值比的分贝值20lgA，见表5.2。

表5.2 最小相位系统的实验数据

－/(rad·s1) 0.3 9.978 19.98 0.5 9.79 19.82 1.25 9. 19.68 2 9 19.08 2.5 8.78 18.87 5 6.3 15.99 6.25 5.3 14.49 10 3.24 10.21 12.5 2.3 7.23 20 0.9 －0.92 25 0.6 －4.43 50 0.1 －20 100 0.01 －40 A 20lgA

2）已知该系统为最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数，根据表5.12绘出系统的对数幅频性曲线L()，如图5.10虚线所示。

3）根据求得的L()，由0、±20、±40、±0dB/dec斜率的线段近似，求出其渐近线，如图5.10实线所示。 4）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K 低频渐近线的表达式为L()=20lgK=20dB，系统为0型，K=10。

5）由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。

在转折频率13处，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节G1(s)1； 3s1L()/（dB） 60 [－60] 40 [－40] 20 12 [－20] 30 0.01 －20 [－60] －40 1 3 10 100 20 －

/ (rad·s1)

[0] [－20] －60 图5.10 题5.5控制系统的开环伯德图

在转折频率230处，斜率减去40dB/dec，则有振荡环节G(s)1，阻尼比ζ可由谐22Ts2Ts1振峰值的大小查表求取。由图5.10，230处L()的误差约为－6dB，查教材表5.7（振荡环节对数幅频特性最大误差修正表）可得，ζ

1。因此 ，G2(s)1121ss190015。

6）综上，系统的传递函数为

G(s)10121(3s1)(ss1)90015

5.6 各系统开环传递函数如下，用奈氏稳定判据判断下列反馈系统的稳定性

（1) GK(s)500

s(s2s100)100(0.01s1)

s(s1)500

s(s2s100)（2）GK(s)解：（1) GK(s)令s=j，得开环系统频率特性

GK(j)500

j(j1002)1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：

将频率特性表达式分母有理化为

500j500(1002j)GK(j)2j(j100)(1002j)(1002j)则低频渐近线为

500j500(100)500500(100)j[(1002)22](1002)22[(1002)22]22

xlimRe[G(j)]limR()lim005000.05 2220[(100)]同时可知，频率特性实部≤0，故曲线只在第二与第三象限。 2）n－m=3，则()=－270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。

3）此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从－90º连续变化到－270。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。

4）()有－180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定

500(1002)0 Im[G(j)]=I()=[(1002)22]解之得交点处频率=10，代入实部I()，即可得曲线与负实轴交点的坐标为

500(1002)22 该系统开环奈氏曲线见图5.11(1)。

5

105）曲线始于虚轴的无穷远处，与负实轴的交点为（－5，j0）。故当由0变到+ 时，开环频率特性曲线顺时针包围（－1，j0）点的次数为1/2，N’－=1/2。由于开环右极点数为P=0，故

Z = 2N’ + P=2

闭环系统有两个右极点，闭环不稳定。

Im Im →0 －1 －0.05 －5 → 0 Re  －1 → 0 Re  －101 →0 （1） （2） 图5.11 题5.6系统幅相频率特性

解：（2）GK(s)100(0.01s1)

s(s1)令s=j，得系统开环频率特性

GK(j)100(j0.011)

j(j1)该系统为非最小相位系统，P=1，开环系统的相频特性为

()arctan0.0190(180arctan)

270arctan0.01arctan1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－270º，低频特性始于平行于正虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：

将频率特性表达式分母有理化为

GK(j)100(j0.011)j100(1j0.01)(1j)j(j1)(1j)(1j)j100(10.01j1.01)101100(10.01)j(12)(12)(12)22

则低频渐近线为

xlimRe[G(j)]limR()lim000101101 2(1)同时可知，频率特性实部≤0，故曲线只在第二与第三象限。 2）()=－90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。

3）此系统有开环零点0.01s1，因此在=100附近曲线有凹凸。

4）()有－180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定

100(10.012)0 Im[G(j)]=I()=2(1)解之得交点处频率=10，代入实部I()，即可得曲线与负实轴交点的坐标为

1011 2(1)10 5）该系统开环奈氏曲线见图5.11(2)，与负实轴的交点为（－1，j0），说明闭环系统临界稳定，有位于虚轴上的共轭虚根。

若直接采用劳斯判据，系统的闭环特征方程为

A(s)s2ss100s21000

闭环极点为

s1,2j10j

与奈氏判据的分析一致。

5.7 设系统的开环幅相频率特性如图5.12所示，判断闭环系统是否稳定。图中P为开环传递函数在右半s平面的极点数，v为系统的型别。

解：

（a）v0，P1，N'（b）v0，P1，N1，z2N'P0，故闭环系统稳定。 21，N1，z2(NN)P0，故闭环系统稳定。 21（c）v0，P1，N'，z2N'P2，故闭环系统不稳定。

2（d）v2，在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画= 2·90°=180°的圆弧与正实轴相交。

P0，N'0，z2N'P0，故闭环系统稳定。

（e）v1，在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画= 90°的圆弧与正实轴相交。

P2，N'1，z2N'P0，故闭环系统稳定。

（f）v2，在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画= 2·90°=180°的圆弧与正实轴相交。

P0，N'1，z2N'P2，故闭环系统不稳定。

（g）v0，P1，N'1，z2N'P0，故闭环系统稳定。 2（h）v0，P2，N'0，z2N'P2，故闭环系统不稳定。

图5.12 题5.7图

5.8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13所示。

（1）写出其传递函数； （2）绘出近似的对数相频特性。

图5.13 题5.8图

解：（a）

1） 由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

由于低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由20lgK60，求出K=1000。 2）确定串联的各典型环节

1； s11－

第二个转折频率2=10rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；

s1101－

第三个转折频率3=300 rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节。

s1300 第一个转折频率1=1rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节

－

3）综上所述，该系统的开环传递函数为

GK(s)4） 绘出近似的对数相频特性

100011(s1)(s1)(s1)10300

对于最小相位系统，对数频率特性的低频渐近线斜率为－20vdB/dec，相频特性()|→0=－90v°，均与积分环节的个数v有关；当 → 时，若n＞m，高频渐近线斜率为－20（n－m）dB/dec的斜线，()|→∞=－90（n－m）°。因此，本开环系统相频特性有，(0)=0°，(∞)=－270°。

最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L()的斜率减小（或增大），则()的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特性L()的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接求取几个典型频率处（如转折频率）的相位，以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点，则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。

()/（°） 1 10 100 300 0 ()/（°） 1 10 100 0 －90 －180 －270 / (rad·s－1) / (rad·s－1)

－90 －180 －270 (a) (b) 图5.14 题5.8系统开环对数相频特性

转折频率处相位为：(1)=－51.7°，(10)=－131°，(300)=－223°。 本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。 解：（b）

1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

低频段的斜率为－20dB/dec，该系统为I型系统，v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0，代入低频渐近线的表达式L()=20lgK－20lg，可以求出K=100。

2）确定串联的各典型环节

第一个转折频率1=1rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节

1； s11－

第二个转折频率2=100rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；

s1100－

3）综上所述，该系统的开环传递函数为

GK(s)4） 绘出近似的对数相频特性

100

1s(s1)(s1)100与题（a）的分析相同，本开环系统相频特性满足，(0)=－90°，(∞)=－270°。转折频率处相位为：(1)=－135°，(10)=－180°，(100)=－225°。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。

解：(c)

1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由20lgK20，求出K=10。 2）确定串联的各典型环节

第一个转折频率1=5rad·s1，且斜率减小40dB/dec，有一个二阶振荡环节，其时间常数为T1－

111，5由10.211，此振荡环节为2；

s2s512525－

第二个转折频率1=80rad·s1，且斜率增加40dB/dec，所以有一个二阶微分环节，其时间常数为

s2s11T21。 ，由20.1，此二阶微分为

280004001013）综上所述，该系统的开环传递函数为

10(GK(s)4） 绘出近似的对数相频特性

121ss1)00400 122ss12525同上，本开环系统相频特性满足，(0)=0°，(∞)= 0°，转折频率处相位为(5)=(80)=－91°。系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.15(c)。

()/（°） 0 5 80 ()/（°） / (rad·s－1)

90 45

－170 －180 0 1 10 (d)

100 / (rad·s－1) (c)

图5.15 题5.8系统开环对数相频特性

解：(d)

1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

由于低频段的斜率为+20dB/dec，该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L()=20lgK+20lg，将点L(10)=0代入，可求出K=0.1。

2）确定串联的各典型环节

转折频率=100rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节

－

1s1100。

3）综上所述，该系统的开环传递函数为

GK(s)4） 绘出近似的对数相频特性

0.1s

1s1100同上，本开环系统相频特性满足，(0)= 90°，(∞)=0°。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为

(100)=45°。本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。

5.9 系统开环传递函数如下，求系统的相角裕量，并判断闭环稳定性。 （1）GK(s)10 22s(ss1)(0.25s0.4s1)100

s(s1)(10s1)（2）GK(s)解：（1）

可知系统包含有放大、积分、两个二阶振荡环节，二阶振荡环节的参数为

1:T1,nT1,0.52ss1

1:T0.5,nT2,0.420.25s0.4s1因此，转折频率分别为1=1rad·s1、2=2 rad·s1。

绘制开环伯德图如图5.16所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(1)=20dB。经过转折频率1后斜率为－60dB/dec，经过转折频率2后最终斜率为－100dB/dec。

并有

L(2)= L(1)－60lg2=2dB

开环传递函数中两个振荡环节的阻尼比分别为ζ1=0.5，ζ2=0.4。由教材表5.7可知，对数幅频特性的修正值分别为0dB和2dB，误差很小，可不必修正，对分析闭环系统的稳定性与相对稳定性几乎没有影响。

系统的幅值穿越频率可以直接从半对数坐标系上读取，也可根据渐近线求取，方法如下：

L(c)L(2)100,lgclg2－

－

－

L(c)0

求得系统的幅值穿越频率c=2.2 rad·s1，代入系统的相频特性有

L()/(dB) 40 20 0.1 －40 [－20] [－60] ωc=2.2 0.8 1 2 －10 / (rad·s1)

[－100] －80 －120 ()/（°） g －90 －180 －270 1 2 10 －

/ (rad·s1)

－360 －450 图5.16 题5.9(1)控制系统的开环伯德图

GK(j)10 22j(1j)(10.25j0.4)()90arctan0.4arctan1210.252

180(c)1680直接求解三角函数()180，可以求出系统的相角穿越频率g，但计算十分复杂。实际上g也可以从半对数坐标系上读取，有g=0.8 rad·s1。将g代入低频渐近线表达式，可求得L(g)=20－20lgg =21.9dB，系统的幅值裕量为

Lh=－L(g)=－21.9dB<0

因此，闭环系统不稳定。 解：（2）

可知系统包含有放大、积分、两个惯性环节，转折频率分别为1=0.1 rad·s1、2=1 rad·s1。

绘制开环伯德图如图5.17所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(0.1)=20lgK－20lg0.1=60dB。经过转折频率1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2后最终斜率为－60dB/dec。

－

－

－

可以求得L(1)= L(0.1)－40lg1/0.1=20dB，并有

L(c)L(1)60,lgclg1L()/（dB） 80 60 40 [－40] 20 ωc=2.1 0.01 －20 －40 [－60] 0.1 1 10 [－20] L(c)0

/ (rad·s1)

－

()/（°） －90 0.01 0.1 g=0.32 1 10 －/ (rad·s1)

－180 －270 图5.17 题5.9(2)控制系统的开环伯德图

系统的幅值穿越频率c=2.1 rad·s1，代入系统的相频特性有

－

()90arctanarctan10

180(c)61.80相角穿越频率g=0.32（rad/s）。将g代入中频渐近线表达式，可求得

L(g)= L(0.1)－40lgg /0.1=40dB

系统的幅值裕量为

Lh=－L(g)=－40dB<0

因此，闭环系统不稳定。

5.10 已知系统的开环传递函数如下

GKsK

ss10.1s1（1）当K=1时，求系统的相位裕量； （2）当K=10时，求系统的相位裕量；

（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。 解：（1）当K=1时，求系统的相位裕量；

L()/（dB） 40 K=10 b [－20] 20 K=1 a 0.1 [－40] 3.16 ωca 1 ωcb 10 100 －

/ (rad·s1)

－20 －40 [－60] ()/（°） 0.01 －90 1 g 10 100 －/ (rad·s1)

－180 －270 图5.18 题5.10控制系统的开环伯德图

绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(a)所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(1)=20lgK－20lg1=0dB。经过转折频率1=1rad·s60dB/dec。

系统的幅值穿越频率c=1 rad·s1，代入系统的相频特性有

－－1

后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2=10rad·s

－1

后最终斜率为－

()90arctanarctan0.1

180(c)39.30相角穿越频率g=3.16 rad·s1，可求得系统的幅值裕量为

Lh=－L(g)=20dB>0

因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。

－

（2）当K=10时，求系统的相位裕量；

绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性(a)，开环传递系数增加10倍， L()曲线上升20dB，相频特性保持不变。

系统的幅值穿越频率c=3.16 rad·s1，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有

－

180(c)0

系统的幅值裕量为

Lh=－L(g)=－L(c)=0dB

因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。 （3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。

由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L()曲线上升，导致幅值穿越频率c右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。

L()/（dB） 40 20 [－20] ωc 0.1 －20 1 [－40] 10 100 －

/ (rad·s1)

－40 ()/（°） 0.01 －90 1 10 100 －/ (rad·s1)

－180 －270 图5.19 题5.11控制系统的开环伯德图

5.11 某延迟系统的开环传递函数为

esGK(s)

s(s1)试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间max。

解：

绘制最小相位系统

1－

的对数幅频特性，如图5.19所示，系统的幅值穿越频率c=1 rad·s1。

s(s1)延迟环节es不影响系统的对数幅频特性，但使相频特性随ω增加而滞后无限增加，延迟环节导致的相

位滞后对闭环系统的稳定性不利。

考虑到延迟环节es的滞后作用，系统在c=1 rad·s1处的相位裕量为

－

180(c)18090arctan当系统临界稳定时，有

1804557.3 3.144557.30

因此，系统稳定时所允许的最大延迟时间max为

max0.79s

注：在MATLAB中，可建立滞后系统的数学模型sys，并直接利用bode(sys)和nyquist(sys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。指令如下：

sys=tf(num,den,'inputdelay',a)

其中，num定义为系统连续部分的分子多项式，den为系统连续部分的分母多项式，a定义为延迟环节e的滞后时间。

也可建立系统的零极点模型：

sys=zpk(z,p,k, ’inputdelay’,a)

z、p、k分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。

5.12 某系统结构如图5.20所示，试按照开环频域指标γ和c之值估算闭环系统的时域指标σ%和ts。

as图5.20 题5.12图

解

系统开环传递函数为

GK(s)40(s1)

s(0.05s1)(8s1)绘制开环伯德图如图5.21所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(0.1)=52dB。经过转折频率1=0.125 rad·s

－1

后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2=1rad·s

－1

后斜率为－20dB/dec，经过转折频率3=20rad·s

－1

后

斜率为－40dB/dec。

L()/（dB） 60 52 40 [－20] 20 12 [－40] ωc=4 0.01 0.1 0.125 1 [－20] 10 20 －/ (rad·s1) －20 [－40] －40 图5.21 题5.12控制系统的开环伯德图

L(1)= L(0.1)－40lg1/0.1=12dB

并有

L(c)L(1)20,lgclg1－

L(c)0

可求得系统的幅值穿越频率c=4 rad·s1，代入系统的相频特性有

()arctan90arctan8arctan0.05

180(c)66.40高阶系统的开环频域指标（γ、c）与时域指标（σ%，ts）之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。

1）高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算：

%0.160.411100%19.8%

sin2）高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算

tsc21112.511.7s21.5sinsin5%

以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。通过MATLAB仿真可得，此系统准确的动态性能指标为：%12%，ts1.53s5%。可见，利用开环频域指标γ和c估算闭环高阶

系统的时域指标σ%和ts，是完全满足工程实际的。

5.13 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环频率特性，计算系统的谐振频率及谐振峰值，并估算闭环系统的时域指标σ%和ts。

（1） G(s)16

s(s2)60(0.5s1)

s(5s1)16

s(s2)（2） G(s)解：（1）G(s)方法一：可以先画出开环对数频率特性L()及()，再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。 方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。

1）系统的闭环传递函数为

16161s(s2)(s)2216 s2s16s11s1s(s2)168T0.25,nT4,0.25根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图5.22(1)。对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。如果在0.47~0.7范围内，误差不大；而当很小时，要有一个尖峰纠正。对于ζ=0.25，查教材表5.6修正表，可得转折频率T=4rad·s1处最大误差为6dB。在转折频率附近的修正曲线见图5.37虚线，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且ζ越小，谐振峰值Mr越大，谐振角频率ωr越接近于转折频率T（无阻尼自然振荡频率n）。

已知二阶系统谐振频率r和谐振峰值Mr(r)与系统特征量 之间的关系为

－

rn1223.74rad/s

Mr12122.07

20lgMr6dB2）闭环系统的时域指标σ%和ts计算如下

二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系，根据

12%e100%

或由教材图5.70二阶系统σ%、Mr、γ与ζ的关系曲线，可直接查得

%44%

ts3n3s5%

L()/（dB） 20 20lgM [0] 0.4 －20 20 L()/（dB） [0] [20] 2 20lgM 3.45 5 －/ (rad·s1) ωr 4 2 －/ (rad·s1) [－40] －20 [－20] －40 －40 ()/（°） 0.4 0 ψ() ()/（°） 4 0 / (rad·s)

－12 3.45 ψ() －/ (rad·s1) －180 －90 (1) (2)

图5.22 题5.11控制系统的开环伯德图

解：（2）G(s)60(0.5s1)

s(5s1)同理，由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。 系统的闭环传递函数为

60(0.5s1)60(0.5s1)0.5s1s(5s1)(s)2

60(0.5s1)5s31s600.083s20.517s11s(5s1) 一阶微分环节的转折频率1=2rad·s1处，渐近线斜率在此增加20dB/dec。

二阶振荡环节的参数为

－

T0.0830.29s1nT3.45rads1

T0.5170.2T根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，如图5.22(2)所示。对于振荡环节，由于=0.＞0.707，系统不产生谐振，并在转折频率2=3.45rad·s1处有约－5dB的修正量。 由教材图3.24，当=0.时，系统过渡时间约为

－

ts4T1.16s5%

=0.＞0.707，系统无振荡。但系统有闭环零点－z=－2，而闭环零点的作用将使系统响应加快，并有

超调，且闭环零点离闭环极点越近，影响就越大。本系统的闭环极点为s1,2=

3.11

j1.53，因此闭环零点

对系统响应的影响较大。通过MATLAB仿真，系统的单位阶跃响应的动态性能指标为：σ%=14%，ts=1.16s。

5.14 某单位负反馈的二阶Ⅰ型系统，其最大超调量为16.3%，峰值时间为114.6ms。试求其开环传递函数，并求出闭环谐振峰值Mr和谐振频率r。 解

二阶系统的开环传递函数为

2n GK(s)ss2n对于二阶系统，开环频域指标与时域指标之间有着准确的数学关系。 1）二阶系统γ与系统平稳性之间的关系 系统超调量σ%和系统阻尼比ζ之间的关系为

12%e100%

开环频域指标相位裕量γ与阻尼比ζ之间的对应关系为

γ=arctan

222441

将已知的最大超调量16.3%代入，可求得

0.5

52 也可由教材图5.70直接查曲线求得。 2）二阶系统c 、γ与系统快速性之间的关系

在时域分析中，已知二阶系统峰值时间ts为

tp因此，有

n120.1146s （误差Δ=5%）

n二阶系统的开环传递函数为

3.14tp1231.6

GK(s)3）谐振峰值Mr(r)与 之间的关系

1000

ss31.6已知二阶系统谐振频率r和谐振峰值Mr与系统特征量 之间的关系为

rn12222.3rads1

Mr121

21.15

MATLAB实验指导

M5.1 某系统开环传递函数为

GK(s)100(s4) 2s(s0.5)(s50)试绘制出系统的Bode图与nyquist图，并判断闭环系统的稳定性。

解：MATLAB程序如下 num=[100 400];

den=conv(conv(conv([1 0],[1 0.5]),[1 50]),[1 50]) %求分母（多项式相乘）

sys=tf(num,den); %建立开环系统传递函数模型 w=[0.1:0.2:10]; %定义频率范围 [mag,phase,w]=bode(sys); %求开环伯德图 [gm,pm,wcp,wcg]=margin(sys); %求系统的开环频域指标

figure(1) %将系统开环伯德图绘制在第一张图片上

margin(sys) %在图片上标注所求的开环频域指标 figure(2) %建立第二张图片

nyquist(sys) %在第二张图片上绘制开环奈氏图

所求得的系统Bode图与Nyquist图见图5.23。

Bode DiagramGm = 66.6 dB (at 46.4 rad/sec) , Pm = .1 deg (at 0.28 rad/sec)50Nyquist Diagram1086Magnitude (dB)0-504-100-150-90-135Imaginary Axis-220-2-4Phase (deg)-180-6-225-270-8-10123101010101010-10-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4Frequency (rad/sec)Real Axis

(a)开环Bode图 (b) 开环Nyquist图

图5.23 实验M5.1系统Bode图与Nyquist图 开环系统为最小相位系统，并由开环奈氏图可得：

v1，P0，N'0，z2N'P0

故闭环系统稳定。

M5.2 设控制系统的开环传递函数为

100(s5)2GK(s) 2(s1)(ss9)试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。

解：MATLAB程序如下

num=100*conv([1 5],[1 5]); %求分子（多项式相乘） den=conv([1 1],[1 -1 9]); %求分母（多项式相乘） sys=tf(num,den); nyquist(sys)

所求得的系统Bode图与Nyquist图见图5.24。

Nyquist Diagram400300200100Imaginary Axis0-100-200-300-400-150-100-50050100150200250300Real Axis

图5.24 实验M5.2系统开环Nyquist图

开环系统为非最小相位系统，并由开环奈氏图可得：

v0，P2，N'1，z2N'P0

故闭环系统稳定。

M5.3 单位负反馈系统开环传递函数为

GK(s)5(s2)

s(s1)(0.05s1)（1）试绘制系统开环对数频率特性，并求取相关频域指标ωc、ωg、γ、Lh； （2）求取闭环系统的单位阶跃响应曲线。 解：MATLAB程序如下 num=[5 10];

den=conv(conv([1 0],[1 1]),[0.05 1]); %求分母（多项式相乘） sys=tf(num,den); w=[0.1:0.2:10];

[mag,phase,w]=bode(sys); [gm,pm,wcp,wcg]=margin(sys) figure(1) margin(sys) figure(2)

step(feedback(sys,1)) %求闭环系统的阶跃响应 计算结果如下：

gm =

Inf %开环频域指标Lh pm =

65.3692 %开环频域指标γ wcp =

Inf %开环频域指标ωg wcg =

5.1060 %开环频域指标ωc

所求得的系统Bode图与阶跃响应图见图5.26。

Bode DiagramGm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 65.4 deg (at 5.11 rad/sec)100Step Response1.4Magnitude (dB)501.201-50-100-90Amplitude0.80.6Phase (deg)0.4-1350.2-18010-210-1100101102103000.20.40.60.81Time (sec)1.21.41.61.82Frequency (rad/sec)

(a) 开环Bode图 (b) 闭环系统阶跃响应曲线

图5.26 实验M5.3系统Bode图与阶跃响应图

M5.4 试绘制二阶振荡环节的Nichols图。

解：以典型的欠阻尼二阶振荡环节为例，T1,0.2,K1，传递函数为

G(s)MATLAB程序如下 num=[1]; den=[1 0.4 1] sys=tf(num,den); figure(1)

1

s20.4s1nichols(sys) %绘制二阶振荡环节的Nichols图

ngrid %添加Nichols图线

此典型二阶振荡环节的Nichols图见图5.27。

图5.27 实验M5.4二阶振荡环节的Nichols图

M5.5 设单位负反馈系统的开环传递函数为

GK(s)1

s(0.5s1)(s1)试应用Nichols图线求取系统的闭环Bode图。 解：MATLAB程序如下 num=[1];

den=conv(conv([1 0],[0.5 1]),[1 1]);

sys=tf(num,den); %建立开环传递函数模型 figure(1) nichols(sys) ngrid

sys1=feedback(sys,1) %建立闭环传递函数模型 figure(2)

bode(sys1) %绘制闭环伯德曲线 grid %在图片上添加比例栅格 hold on %在本张图片上继续绘制伯德曲线

bode(num,den) %绘制开环伯德曲线

系统Nichols图线与Bode图见图5.28。

Nichols Chart40 0.25 dB 0.5 dB 1 dB 3 dB 6 dB0Open-Loop Gain (dB)Bode Diagram 0 dB -1 dB -3 dB -6 dB -12 dB -20 dBMagnitude (dB)Phase (deg)50200-50-20-100-40 -40 dB-1500-60 -60 dB-90-80 -80 dB-100 -100 dB -120 dB-315-270-225-180-135-90-450Open-Loop Phase (deg)-180-120-360-27010-210-1100101102Frequency (rad/sec)

(a) Nichols图 (b) 开环Bode图与闭环Bode图

图5.28 实验M5.5系统Nichols图线与Bode图

M5.6 绘制惯性环节对数幅频特性误差修正曲线（可将转折频率取为1，频率范围设置为[0.1，10]，即转折频率1的左右十倍频程）

解：MATLAB程序如下

ww1=0.1:0.01:10; %确定频率范围 for i=1:length(ww1)

Lw=(-20)*log10(sqrt(1+ww1(i)^2)); %惯性环节对数幅频特性的准确值 if ww1(i)<=1 Lw1=0;

else Lw1=(-20)*log10(ww1(i)); %惯性环节对数幅频特性的渐近线 end

m(i)=Lw-Lw1; %惯性环节对数幅频特性的误差值 end

ab=semilogx(ww1,m,'b-'); %在半对数坐标系上绘制误差曲线 set(ab,'LineWidth',2); %定义误差曲线的颜色、粗细 grid;

xlabel('w/w1'), %标注横坐标 ylabel('误差/dB'); %标注纵坐标

惯性环节的对数幅频特性误差修正曲线见图5.29。

图5.29 实验M5.6惯性环节对数幅频特性误差修正曲线