江西省吉安一中2015届高三上学期第一次段考数学试卷(文科)

江西省吉安一中2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为（） A． ﹣

i

B．

i

C． ﹣

D．

2．（5分）将函数y=sinx+cosx的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的函数为偶函数，则m的最小值是（） A．

3．（5分）已知全集U=R，A={x|log2x＜0}，B={x|≤1}则（∁UA）∩B=（） A． （1，+∞） （﹣∞，﹣]

6．（5分）已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2）a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是（） A． a2014=﹣1，S2014=2 C． a2014=﹣3，S2014=2

B． a2014=﹣3，S2014=5 D． a2014=﹣1，S2014=5

B．

C．

B．

B． （﹣∞，]

C． （0，] D．

B．

C．

D．

7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间

8．（5分）若

为单位向量，且

的最大值为（）

=0，

D．

（0，2]

，则

A． ﹣1 B． 1 C． D．2

9．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（） A． 3f（ln2）＞2f（ln3） B． 3f（ln2）=2f（ln3） C． 3f（ln2）＜2f（ln3） D． 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定

10．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，D，E分别为边AB，AC上的点（不与△ABC的顶点重合）且DE∥BC，沿DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，得如图所示的四棱锥，设AD=x，则四棱锥A﹣BCED的体积V=f（x）的图象大致是（）

A． B． C．

D．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）在函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一个周期内，当x=值，当x=

时有最小值﹣，若φ∈（0，

），则函数解析式f（x）=．

时有最大

12．（5分）在实数的原有运算中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b．设函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈，则函数f（x）的值域为．

13．（5分）已知幂函数的值为．

14．（5分）已知函数f（x）=x，（x∈），g（x）=asin（2x+使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是．

15．（5分）已知函数f（x）=e+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题： ①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数； ②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值； ③对于任意a∈（0， +∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；

x2

2

2

在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m

）+3a，x∈），∀x1∈，总∂x0∈，

④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点． 其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）已知函数f（x）=2sinx•cos（1）求θ的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=1，b=求角C．

17．（12分）已知m∈R，设p：不等式|m﹣5m﹣3|≥3；q：函数f（x）=x+mx+（m+）x+6在（﹣∞，+∞）上有极值．求使p且q为真命题的m的取值范围．

18．（12分）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=1﹣（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记cn=anbn，求证cn+1≤cn．

19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥． （1）求角A的大小； （2）求y=2sinB+cos（

20．（13分）已知f（x）=x+bln（x+1）其中b∈R． （1）若对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值； （2）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围； （3）若b=﹣1，证明：对任意的正整数n，不等式

21．（14分）已知函数f（x）=e（x+ax+b）的图象在x=0处的切线方程为y=3，其中有e为自然对数的底数． （1）求a，b的值；

（2）当﹣2＜x＜t时，证明f（t）＞

；

x

2

2

2

2

2

3

2

2

+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．

，

﹣2B）的值域．

f（）＜1+++…+都成立．

（3）对于定义域为D的函数y=g（x）若存在区间⊆D时，使得x∈时，y=g（x）的值域是．则称是该函数y=g（x）的“保值区间”．设h（x）=f（x）+（x﹣2）e，x∈（1，+∞），问函数y=h（x）是否存在“保值区间”？若存在，求出一个“保值区间”，若不存在，说明理由．

x

江西省吉安一中2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为（） A． ﹣

考点： 专题： 分析： 解答： ∴Z=

i

B．

i

C． ﹣

D．

复数代数形式的乘除运算．

数系的扩充和复数．

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 解：∵复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，

=

．

=，

∴Z的虚部为﹣

故选：C．

点评： 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题． 2．（5分）将函数y=sinx+cosx的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的函数为偶函数，则m的最小值是（） A．

B．

C．

D．

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．

分析： 先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到

sin（x+m+）=sin（﹣x+m+），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的

性质可求得m的值，从而得到最小值． 解答： 解：y=sinx+cosx=y=

sin（x+m+

sin（x+

）然后向左平移m（m＞0）个单位后得到

）的图象为偶函数，关于y轴对称

∴sin（x+m+）=sin（﹣x+m+）

）+cosxsin（m

）

∴sinxcos（m∴sinxcos（m∴cos（m∴m

）+cosxsin（m+）=0 ）=0

，m=2kπ+．

）=﹣sinxcos（m

=2kπ+．k∈Z

∴m的最小值为

故选：A．

点评： 本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式．注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移．

3．（5分）已知全集U=R，A={x|log2x＜0}，B={x|≤1}则（∁UA）∩B=（）

A． （1，+∞） B．

分析： 解对数不等式log2x＜0，可以求出集合A，进而求出集合CuA，解分式不等式可以求出集合B，代入（CuA）∩B即可得到答案． 解答： 解：∵A={x|log2x＜0}=（0，1） ∴CuA=（﹣∞，0]∪ B． （﹣∞，]

C． （0，]

D．（﹣∞，﹣]

考点： 简单线性规划的应用． 专题： 计算题；数形结合．

分析： 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件

的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=kx﹣3k中，求

出y=kx﹣3k对应的k的端点值即可．

解答： 解：满足约束条件的平面区域如图示：

因为y=kx﹣3k过定点D（3，0）．

所以当y=kx﹣3k过点A（0，1）时，找到k=﹣ 当y=kx﹣3k过点B（1，0）时，对应k=0． 又因为直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点． 所以﹣≤k≤0．

故选A．

点评： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．

6．（5分）已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2）a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+…+an，则下列结论正确的是（） A． a2014=﹣1，S2014=2 B． a2014=﹣3，S2014=5 C． a2014=﹣3，S2014=2 D． a2014=﹣1，S2014=5

考点： 数列的求和．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： 根据数列的递推关系得到数列{an}是周期数列，即可得到结论． 解答： 解：∵an+1=an﹣an﹣1（n≥2）a1=1，a2=3，

∴a3=3﹣1=2，a4=2﹣3=﹣1，a5=﹣1﹣2=﹣3，a6=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，a7=﹣2﹣（﹣3）=1，a7=1﹣（﹣2）=3 …

即数列{an}是周期数列，周期是6， 则a2014=a335×6+4=a4=﹣1，

a1+a2+…+a6=1+3+…+（﹣2）=0，

则S2014=335×（a1+a2+…+a6）+a1+a2+a3+a4=1+3+2﹣1=5， 故选：D

点评： 本题主要考查数列的通项公式和前n项和，根据数列的递推关系得到数列{an}是周期数列是解决本题的关键．

7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间

D．

（0，2]

B．

C．

考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log2a|）≤f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴， ∴

可变为f（log2a）≤f（1），

即f（|log2a|）≤f（1），

又∵在区间，则函数f（x）的值域为．

考点： 函数的值域．

分析： 首先理解新定义，按x与1 的大小分类，将f（x）转化为我们熟悉的函数，再求其值域即可．

解答： 解：当﹣2≤x≤1时，1⊕x=1，2⊕x=2，所以f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x﹣2∈，

23

当1＜x≤2时，1⊕x=x，2⊕x=2，f（x）=x﹣2∈（﹣1，6]， 综上可得，函数f（x）的值域为 故答案为：

点评： 本题考查函数的值域问题、分类讨论问题，考查对问题的分析理解能力．

13．（5分）已知幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m

的值为3．

考点： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 利用幂函数的定义，及在区间（0，+∞）上单调递增，建立关系式，即可求实数m的值．

解答： 解：由题意，∵幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，

∴

∴m=3

故答案为：3

点评： 本题考查幂函数的定义与性质，考查计算能力，属于基础题．

14．（5分）已知函数f（x）=x，（x∈），g（x）=asin（2x+

2

2

）+3a，x∈），∀x1∈，总∂x0∈，

使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪，

成立得到函数

f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，建立不等关系即可． 解答： 解：∵x∈

∴sin（2x+则

）

的值域为

而f（x）=x，（x∈）的值域为 ∵∀x1∈，∴⊆

成立

2

则，解得a∈（﹣∞，﹣4]∪∪

不等式②的解为m≤﹣1或m≥6．

所以，当m≤﹣1或0≤m≤5或m≥6时，p为真命题． 对函数f（x）=f′（x）=3x+2mx+m+

令f′（x）=0，即3x+2mx+m+=0，

当且仅当△＞0时，函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值．

2

由△=4m﹣12m﹣16＞0得m＜﹣1或m＞4， 所以，当m＜﹣1或m＞4时，q为真命题．

综上所述，使p且q为真命题时，实数m的取值范围为 （﹣∞，﹣1）∪（4，5]∪

18．（12分）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=1﹣

2

2

2

求导得，

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）记cn=anbn，求证cn+1≤cn．

考点： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列递推式． 专题： 计算题；证明题．

2

分析： （1）根据a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，求得a3和a5，则公差可求，进而

求得数列{an}，的通项公式，代入Sn=1﹣

中根据

bn=Sn﹣Sn﹣1求得n≥2时的

判断出其为等比数列，公比为进而根据等比数列的通

项公式求得bn．

（2）把（1）中求得的an和bn代入cn=anbn，求得cn，进而可求得cn+1﹣cn求得结果小于等于0，原式得证．

解答： 解：（1）∵a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0，

2

∴a3=5，a5=9，公差∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1． 又当n=1时，有b1=S1=1﹣

当

∴数列{bn}是等比数列，∴

（2）由（Ⅰ）知，

∴

∴cn+1≤cn．

点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属基础题．

19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥． （1）求角A的大小； （2）求y=2sinB+cos（

2

﹣2B）的值域．

考点： 平面向量数量积坐标表示的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦定理的应用．

分析： （1）用向量的共线的充要条件及三角形中的正弦定理求得角A． （2）用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用正弦函数的图象求出范围．

解答： 解：（1）由∥得（2b﹣c）•cosA﹣acosC=0，

由正弦定理得2sinBcosA﹣sinCcosA﹣sinAcosC=0，2sinBcosA﹣sin（A+C）=0， ∴2sinBcosA﹣sinB=0， ∵（2）=

，

，∴，=

．

由（1）得∴

答：角A的大小；函数的值域为

∴

， ．

点评： 本题考查向量与三角函数相结合的综合问题，是2015届高考中常出现的形式．

20．（13分）已知f（x）=x+bln（x+1）其中b∈R． （1）若对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值； （2）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围； （3）若b=﹣1，证明：对任意的正整数n，不等式

f（）＜1+

+

+…+

都成立．

2

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题；导数的综合应用．

分析： （1）求f（x）=x+bln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），且f′（x）=2x+由题意可得f′（1）=2+=0，从而求b； （2）由题意可得f′（x）=2x+

3

2

2

，则

≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）恒成立，从而可解得，b

3

2

3

；

（3）令h（x）=f（x）﹣x=x﹣ln（x+1）﹣x，可证明x﹣ln（x+1）＜x，从而可证对任意的正整数n，不等式

f（）＜1+

2

++…+都成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+bln（x+1）的定义域为（﹣1，+∞）， f′（x）=2x+

，

又∵f（x）≥f（1）， ∴f′（1）=2+=0， 解得：b=﹣4； （2）∵f′（x）=2x+

，

若使函数f（x）在其定义域内是单调函数， ∴f′（x）=2x+解得，b

．

3

2

3

≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）恒成立，

（3）证明：令h（x）=f（x）﹣x=x﹣ln（x+1）﹣x， h′（x）=﹣3x﹣

2

+2x=

＜0，

∴h（x）在⊆D时，使得x∈时，y=g（x）的值域是．则称是该函数y=g（x）的“保值区间”．设h（x）=f（x）+（x﹣2）e，x∈（1，+∞），问函数y=h（x）是否存在“保值区间”？若存在，求出一个“保值区间”，若不存在，说明理由．

考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；导数的综合应用．

x

分析： （1）f（x）=e（x+ax+b），f（′x）=e（x+（a+2）x+b+a）；由题意得

x2x2

，

从而解a，b的值；

（2）求导确定函数的单调区间，从而求得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数，从而求f（x）在（﹣2，+∞）的取值范围；

（3））h（x）=f（x）+（x﹣2）e=e（x﹣2x+1），x∈（1，+∞），h′（x）=e（x﹣1）＞0，从而得方程x+﹣

﹣2=0在（1，+∞）存在两个根，构建d（x）=x+﹣

﹣2在（1，+∞）

x

x

2

x

2

存在两个零点．从而判断．

x2x2

解答： 解：（1）f（x）=e（x+ax+b），f′（x）=e（x+（a+2）x+b+a）；

，

解得，a=﹣3，b=3；

x2

（2）证明：f′（x）=e（x﹣x）＞0； 则x∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 故f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上是增函数， 在（0，1）上是减函数， 又∵f（﹣2）=

＜f（1）=e；

，

x

x

2

∴t＞﹣2时，f（t）＞

（3）由题意，h（x）=f（x）+（x﹣2）e=e（x﹣2x+1），x∈（1，+∞），

x2

h′（x）=e（x﹣1）＞0，

则h（x）在（1，+∞）单调递增， 设存在， 则

即方程x+﹣

﹣2=0在（1，+∞）存在两个根，

﹣2在（1，+∞）存在两个零点．

构建d（x）=x+﹣

又d′（x）=+＞0，

∴d（x）=x+﹣﹣2在（1，+∞）上单调递增，

又∵d（1）＜0，d（3）＞0；

∴存在（1，3）之内只有一个实数根， 因此不存在如题所述的“保值区间”．

点评： 本题考查了导数的综合应用及对新定义的接受能力，属于难题．