高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)
高三数学集体备课记录
课题:函数的单调性与导数 时间、地点 2016年9月26日 主持人 参与者 备 课 设 想 赵纯金 张泽成 黄翼 教材分析 本节的教学内容属导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。由于学生在高一已经掌握了单调性的定义,并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习,应使学生体验到,用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多,充分展示了导数解决问题的优越性。
学情分析 对于这这个知识板块学习已有一些基础,学生存在一些兴趣,但却容易无从下手,所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律,总结结论,熟练掌握。 教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间,能由导数信息绘制函数大致图象。2.培养学生的观察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识。3.通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结,引导学生养 重点难点 重点:探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 难点:利用导数信息绘制函
数的大致图象。 教学方法 探究式教学,分组讨论,讲练结合等 教学策略 1.先以具体问题引入,让学生意识到用定义法、图象法在处理一些单调性问题时难度较大,这样易激发学生的学习兴趣。2.本节课宜适当采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量,通过数形结合,使抽象的知识直观化,形象化,以促进学生的理解. 二.教学过程
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(一)复习回顾,知识梳理
1. 常见函数的导数公式:
C'0;(xn)'nxn1;(sinx)'cosx;(cosx)'sinx. 2.法则1 [u(x)v(x)]'u'(x)v'(x).
法则2 [u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x), [Cu(x)]Cu'(x).
uu'vuv'法则3 (v0). 2vv'3.复合函数的导数:设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x),函数
y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数,且y'xy'uu'x 或f′x( (x))=f′(u) ′(x).
4.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代.
115.对数函数的导数: (lnx)' (logax)'logae.
xx6.指数函数的导数:(ex)'ex; (ax)'axlna.
(二)讲解新课 y1. 函数的导数与函数的单调性的关系:
fx = x2-4x+3 我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数yx24x3的图像 可以看到:
y=f(x)=x2-切线的斜f′B4x+3 率 (x) xO123(2,+∞) 增函数 正 >0 A(-∞,2) 减函数 负 <0 在区间(2,)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即y/>0时,函数y=f(x) 在区间(2,)内为增函数;在区间(,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即y/0时,函数y=f(x) 在区间(,2)内为减函数
定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内y/>0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内y/<0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间。 ③令f′(x)<0解不等式,得x的范围,就是递减区间。
y(三)、讲解范例
例1确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。
解:f′(x)=(x2-2x+4)′=2x-2. 令2x-2>0,解得x>1.
2∴当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
fx = x2-2x+4令2x-2<0,解得x<1.
O1x∴当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
例2确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数
解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x>2或x<0 y∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
fx = 2x3-6x2+7当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
O12x
令6x2-12x<0,解得0<x<2.
∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 例3证明函数f(x)=
1在(0,+∞)上是减函数. x证法一:(用以前学的方法证) 证法二:(用导数方法证) ∵f′(x)=(
111)′=(-1)·x-2=-2,x>0,∴x2>0,∴-2<0. ∴xxx1在(0,+∞)上是减函数。 2xf′(x)<0,∴f(x)=
点评:比较一下两种方法,用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数,用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。
例4求函数y=x2(1-x)3的单调区间.
解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x)
令x(1-x)2(2-5x)>0,解得0<x<
2. ∴y=x2(1-x)3的单调增区间是(0,52) 5令x(1-x)2(2-5x)<0,解得x<0或x>
2且x≠1. 52,+∞) 5∵x1为拐点,∴y=x2(1-x)3的单调减区间是(-∞,0),(
yfx = x21-x3O252
1x
例5当x>0时,证明不等式:1+2x<ex.
分析:假设令f(x)=e2x-1-2x.∵f(0)=e0-1-0=0, 如果能够证明f(x)在(0,+∞)上是增函数,那么f(x)>0,则不等式就可以证明。
证明:令f(x)=e2x-1-2x. ∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1) ∵x>0,∴e2x>e0=1,∴2(e2x-1)>0, 即f′(x)>0 ∴f(x)=e2x-1-2x在(0,+∞)上是增函数。
∵f(0)=e0-1-0=0.∴当x>0时,f(x)>f(0)=0,即e2x-1-2x>0. ∴1+2x<e2x
点评:所以以后要证明不等式时,可以利用函数的单调性进行证明,把特殊点找出来使函数的值为0。
例6已知函数y=x+
1,试讨论出此函数的单调区间。 xy1x2解:y′=(x+
1)′ x-2
fx = x+x21(x1)(x1)=1-1·x= 2xx2令-1.
∴y=x+
-1O1x-2(x1)(x1)>0. 解得x>1或x<2x1的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x令
(x1)(x1)<0,解得-1<x<0或0<x<1.
x21的单调减区间是(-1,0)和(0,1). x∴y=x+
(四)课堂练习
1.确定下列函数的单调区间 (1)y=x3-9x2+24x (2)y=x-x3
2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的单调区间.
3.求下列函数的单调区间(1)y=
xx2 (2)y=2 (3)y=x+x
x9x(五)小结
f(x)在某区间内可导,可以根据f′(x)>0或f′(x)<0求函数的单调区间,或判断函数的单调性,或证明不等式.以及当f′(x)=0在某个区间上,那么f(x)在这个区间上是常数函数
(五).课后作业 步步高P285-286
三.教学反思:本节课通过观察分析、小组讨论,加
深了学生对函数单调性与导数关系的理解,但在
练习中发现部分学生对求导公式记忆不牢,运用时不熟练且易出错,所以接下来的学习中还要加强此方面的巩固练习。
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