高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)

高三数学集体备课记录

课题：函数的单调性与导数 时间、地点 2016年9月26日 主持人 参与者 备 课 设 想 赵纯金 张泽成 黄翼 教材分析 本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多，充分展示了导数解决问题的优越性。

学情分析 对于这这个知识板块学习已有一些基础，学生存在一些兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合再去发现规律，总结结论，熟练掌握。 教学目标 1.能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。2.培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。3.通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养 重点难点 重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 难点：利用导数信息绘制函

数的大致图象。 教学方法 探究式教学，分组讨论，讲练结合等 教学策略 1.先以具体问题引入，让学生意识到用定义法、图象法在处理一些单调性问题时难度较大，这样易激发学生的学习兴趣。2.本节课宜适当采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解. 二．教学过程

：

（一）复习回顾，知识梳理

1． 常见函数的导数公式：

C'0；(xn)'nxn1；(sinx)'cosx；(cosx)'sinx． 2．法则1 [u(x)v(x)]'u'(x)v'(x)．

法则2 [u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x), [Cu(x)]Cu'(x)．

uu'vuv'法则3 (v0)． 2vv'3．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数

y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且y'xy'uu'x 或f′x( (x))=f′(u) ′(x)．

4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

115．对数函数的导数： (lnx)' (logax)'logae．

xx6．指数函数的导数：(ex)'ex； (ax)'axlna．

（二）讲解新课 y1． 函数的导数与函数的单调性的关系：

fx = x2-4x+3 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数yx24x3的图像 可以看到：

y=f(x)=x2－切线的斜f′B4x+3 率 (x) xO123(2，+∞) 增函数 正 ＞0 A(－∞，2) 减函数 负 ＜0 在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即y/>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y/0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y/<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数

2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x)．

②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间。 ③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间。

y（三）、讲解范例

例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2． 令2x－2＞0，解得x＞1．

2∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

fx = x2-2x+4令2x－2＜0，解得x＜1．

O1x∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．

例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数

解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0 y∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

fx = 2x3-6x2+7当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

O12x

令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．

∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数． 例3证明函数f(x)=

1在(0，+∞)上是减函数． x证法一：（用以前学的方法证） 证法二：（用导数方法证） ∵f′(x)=(

111)′=(－1)·x－2=－2，x＞0，∴x2＞0，∴－2＜0． ∴xxx1在(0，+∞)上是减函数。 2xf′(x)＜0，∴f(x)=

点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。

例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．

解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1) =x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)

令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜

2． ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，52) 5令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞

2且x≠1． 52，+∞) 5∵x1为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(

yfx = x21-x3O252

1x

例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜ex．

分析：假设令f(x)=e2x－1－2x．∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明。

证明：令f(x)=e2x－1－2x． ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1) ∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0 ∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。

∵f(0)=e0－1－0=0．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0． ∴1+2x＜e2x

点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。

例6已知函数y=x+

1，试讨论出此函数的单调区间。 xy1x2解：y′=(x+

1)′ x－2

fx = x+x21(x1)(x1)=1－1·x= 2xx2令－1．

∴y=x+

-1O1x-2(x1)(x1)＞0． 解得x＞1或x＜2x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)． x令

(x1)(x1)＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1．

x21的单调减区间是(－1，0)和(0，1)． x∴y=x+

（四）课堂练习

1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3

2．讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间．

3．求下列函数的单调区间(1)y=

xx2 (2)y=2 (3)y=x+x

x9x（五）小结

f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数

（五）.课后作业 步步高P285-286

三．教学反思：本节课通过观察分析、小组讨论，加

深了学生对函数单调性与导数关系的理解，但在

练习中发现部分学生对求导公式记忆不牢，运用时不熟练且易出错，所以接下来的学习中还要加强此方面的巩固练习。

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