数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分） 1. 下列数据中，无理数是( )
A. 𝜋 B. −3 C. 0
D. 7
22
2. 若𝑏<0，则一次函数𝑦=−𝑥+𝑏的图象大致是( )
A.
1
B.
C.
D.
3.
81
的算术平方根是( )
1
A. 9
B. −9
1
C. ±9
1
D. 3
1
4. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一
个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为( )
A. 49 A. 1与2
4与5
B. 25 B. 2 与3
C. 12 C. 3与4
D. 1 D.
5. 估计√14的值在哪两个数之间( )
6. 把等腰直角三角板OAB按如图方式放置在平面直角坐标系中，点
A的坐标为(√2,√2)，则点B的坐标为
A. (0,2) B. (0,2√2) C. (2√2,0) D. (0,4)
7. 一次函数𝑦=𝑥−5的图象经过点( )
A. (−5,0) A. 三角形
B. (0,0) B. 四边形
C. (0,−5) C. 五边形
D. (0,5) D. 六边形
8. 下列图形具有稳定性的是( )
9. 若𝑦=𝑘𝑥−4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的( )
A. −4
B. −2 B. 2√2
1
C. 0 D. 3
10. 已知正方形ABCD的面积为8，则该正方形的对角线AC的长度为( )
A. 2 C. 4 D. 4√2
二、填空题（本大题共6小题，共12.0分） 11. 函数𝑦=𝑥的图象在第______象限． 12. 化简|2−𝜋|=______．
13. 已知点𝐴(−4,5)，𝐵(2,−3)，则线段AB的长是______ ．
14. 如图，已知圆柱的底面周长为10cm，高为12cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬
行觅食先从B点爬到C点，吃到食物后又从另一面爬回B点，则蚂蚁爬行的最短路线为______cm．
𝐵𝐶′交AD于点𝐸.若𝐴𝐵=4𝑐𝑚，𝐴𝐷=15. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，点C落在𝐶′处，
8𝑐𝑚，则△𝐵𝐷𝐸的面积等于______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点M是直线𝑦=−𝑥上的动点，过点M作𝑀𝑁⊥𝑥轴，交直线𝑦=𝑥
于点N，当𝑀𝑁≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为______________．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 17. 计算：(−2)2−√27+(√2−1)0．
四、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
18. 已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=15，𝐴𝐶=20，边BC上的高𝐴𝐷=12.求BC的长．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过点𝐴(−30,0)和点𝐵(0,15)，直线𝑦=𝑥+5与直
线𝑦=𝑘𝑥+𝑏相交于点P，与y轴交于点C．
(1)求直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏的解析式． (2)求△𝑃𝐵𝐶的面积．
20. 如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的顶点的坐标分别为𝐴(−2,3)，𝐵(−4,1)，𝐶(−𝑙,2)：
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于y轴的对称图形△𝐴1𝐵1𝐶1； (2)直接写出点𝐴1关于x轴的对称点的坐标______； (3)直接写出△𝐴𝐵𝐶的面积为______．
BC与DE交于点P，△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，∠𝐷𝐵𝐶=30°，点D在边AC上，已知∠𝐴𝐵𝐸=162°，21. 如图，
𝐴𝐷=𝐷𝐶=2.5，𝐵𝐶=4．
(1)求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
(2)求△𝐶𝐷𝑃与△𝐵𝐸𝑃的周长和．
22. 探究函数𝑦=2|𝑥−1|−2的图像和性质，小明根据学习函数的经验，对函数𝑦=2|𝑥−1|−2的
图像进行了研究，下面是小明的探究过程，请补充完成：
1
1
(1)化简函数解析式，当𝑥<1时，𝑦=_______，当𝑥≥1时，𝑦=_________； (2)根据(1)的结果，补全函数𝑦=2|𝑥−1|−2的图像；
(3)观察函数图像，请写出该函数的一条性质：________________________．
1
23. 19.(1)计算：√16+3√8；
(2)求x的值：(𝑥+3)2=16
24. 一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车
相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为𝑥(小时)，两车之间的距离为𝑦(千米)，图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)求线段AB所在直线的函数关系式和甲、乙两地的距离； (2)求两车的速度；
(3)求点C的坐标，并写出点C的实际意义．
∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=75°，在△𝐴𝐶𝐵中，点D是AB的中点．将△𝐴𝐶𝐷沿CD翻折得到△𝐴′𝐶𝐷，25. 如图，
连接𝐴′𝐵．
(1)求证：𝐶𝐷//𝐴′𝐵；
(2)若𝐴𝐵=4，求𝐴′𝐵2的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如𝜋，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式． 解：−3，0，7是有理数， 𝜋是无理数， 故选：A．
22
2.答案：D
解析：
本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经过的象限．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的解析式结合一次函数图象与系数的关系找出函数图象经过的象限是关键．根据一次函数系数的正负，可得出一次函数图象经过的象限，由此即可得出结论．
解：∵𝑘=−1<0，𝑏<0，
∴一次函数𝑦=𝑥+𝑏的图象经过第二、三、四象限． 故选D．
3.答案：A
解析：
本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据算术平方根的定答即可． 解：∵(9)2=81， ∴
的算术平方根是9． 81
1
1
1
1
故选A．
4.答案：C
解析：
本题主要考查了勾股定理，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．根据大正方形的面积即可求得𝑐2，利用勾股定理可以得到𝑎2+𝑏2=𝑐2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值． 解：如图，
∵大正方形的面积是25， ∴𝑐2=25，
∴𝑎2+𝑏2=𝑐2=25，
∵直角三角形的面积是(25−1)÷4=6， 又∵直角三角形的面积是2𝑎𝑏=6， ∴𝑎𝑏=12． 故选C．
1
5.答案：C
解析：解：∵9<14<16， ∴3<√14<4． 故选：C．
利用夹逼法求解即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．
6.答案：B
解析：
此题考查了等腰直角三角形性质，点的坐标的确定，过A作𝐴𝐷⊥𝑦轴于D，则D点坐标为(0,√2)，再根据等腰三角形性质得到𝐵(0,2√2).
解：过A作𝐴𝐷⊥𝑦轴于D，点A的坐标为(√2,√2)
∴𝐷点坐标为(0,√2)
∴𝐵𝑂=2𝑂𝐷 ∴𝐵(0,2√2)
故选B．
7.答案：C
解析：
本题主要考查了一次函数，关键是熟练掌握一次函数图象上点的特征.代入选项中点的坐标，满足左右两边相等的即可得出结论．
解：当𝑥=−5时，𝑦=−10，则经过点(−5,−10)； 当𝑥=0时，𝑦=−5，则经过点(0,−5)；
则(−5,0)，(0,0)，(0,5)都不在函数图象上，(0,−5)符合题意． 故选C．
8.答案：A
解析：解：具有稳定性的图形是三角形． 故选：A．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
9.答案：D
解析：
本题考查了一次函数的性质有关知识，
根据一次函数的性质，若y随x的增大而增大，则比例系数大于0． 解：∵𝑦=𝑘𝑥−4的函数值y随x的增大而增大， ∴𝑘>0，
而四个选项中，只有D符合题意， 故选D．
10.答案：C
解析：
本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，由正方形ABCD的面积为8，得其边长为√8=2√2，由勾股定理即可求解． 解：∵正方形ABCD的面积为8， ∴正方形ABCD的边长为√8=2√2，
∵正方形对角线与其两条边组成直角三角形， 由勾股定理得：𝐴𝐶=√(2√2)+(2√2)=4， 即方形的对角线AC的长度为4， 故选C．
2
2
11.答案：一、三
解析：解：因为𝑘=1>0， 所以根据正比例函数图象的性质， 得该直线过一、三象限， 故答案为：一、三
根据正比例函数图象的性质填空．
此题考查正比例函数的性质，了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当𝑘>0时，y随x的增大而增大；y随x的增大而减小． 图象经过一、三象限，当𝑘<0时，图象经过二、四象限，
12.答案：𝜋−2
解析：解：|2−𝜋|=𝜋−2． 故答案为：𝜋−2．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
本题考查了实数的性质，是基础题，主要利用了绝对值的性质．
13.答案：10
解析：解：线段AB的长=√(−4−2)2+(5+3)2=10． 故答案为10．
本题考查了两点间距离的求法：设有两点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，利用勾股定理可知这两点间的距离为𝐴𝐵=√(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1−𝑦2)2．
14.答案：26
解析：解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点B、C的最短距离为线段BC的
长．
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐶=12𝑐𝑚，AB为底面半圆弧长，𝐴𝐵=5𝑐𝑚， 所以𝐵𝐶=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=13𝑐𝑚，
∴从B点爬到C点，然后再沿另一面爬回B点，则小虫爬行的最短路程为2𝐵𝐶=26𝑐𝑚， 故答案为：26．
要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 本题考查了平面展开−最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
15.答案：10𝑐𝑚2
解析：解：设𝐴𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=𝐷𝐸=8−𝑥， 在直角△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵2+𝐴𝐸2=𝐵𝐸2， 即42+𝑥2=(8−𝑥)2， 解得：𝑥=3，
则𝐴𝐸=3𝑐𝑚，𝐷𝐸=8−3=5𝑐𝑚，
则𝑆△𝐵𝐷𝐸=2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸=2×4×(8−3)=10𝑐𝑚2． 故答案为10𝑐𝑚2
设𝐴𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=𝐷𝐸=8−𝑥，在直角△𝐴𝐵𝐸中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE的长是解决本题的关键．
1
1
16.答案：−4≤𝑚≤4
解析：
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据直线𝑦=−𝑥上的点的坐标特点得出M点的坐标，根据垂直于x轴直线上的点的坐标特征及直线𝑦=𝑥上的点的坐标特征得出N的坐标，从而求出MN的长，根据𝑀𝑁≤8，列不等式求解即可． 解：∵点M在直线𝑦=−𝑥上， ∴𝑀(𝑚,−𝑚)，
∵𝑀𝑁⊥𝑥轴，且点N在直线𝑦=𝑥上， ∴𝑁(𝑚,𝑚)，
∴𝑀𝑁=|−𝑚−𝑚|=|2𝑚|， ∵𝑀𝑁≤8， ∴|2𝑚|≤8， ∴−4≤𝑚≤4． 故答案为−4≤𝑚≤4．
17.答案：解：原式=4−3√3+1=5−3√3．
解析：
【分析】本题主要考查的是实数的运算，算术平方根，零指数幂，有理数的乘方的有关知识，先将给出的式子进行变形，然后再计算即可．
18.答案：解：(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=15，𝐴𝐶=20，BC边上高𝐴𝐷=12，
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中𝐴𝐵=15，𝐴𝐷=12， 由勾股定理得𝐵𝐷=√152−122=9， 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中𝐴𝐶=20，𝐴𝐷=12， 由勾股定理得𝐷𝐶=√202−122=16， BC的长为𝐵𝐷+𝐷𝐶=9+16=25．
如图2，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=15，𝐴𝐶=20，BC边上高𝐴𝐷=12， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中𝐴𝐵=15，𝐴𝐷=12， 由勾股定理得𝐵𝐷=√152−122=9， 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中𝐴𝐶=20，𝐴𝐷=12， 由勾股定理得𝐷𝐶=√202−122=16， 𝐵𝐶=𝐶𝐷−𝐵𝐷=7．
综上所述，BC的长为25或7．
解析：本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论．已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠𝐴𝐵𝐶是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．
19.答案：解：(1)将点𝐴(−30,0)、𝐵(0,15)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏，得：
𝑘=2−30𝑘+𝑏=0
{，解得：{， 𝑏=15𝑏=15∴直线的解析式为𝑦=2𝑥+15． (2)联立两直线解析式成方程组， 𝑦=2𝑥+15𝑥=20{，解得：{，
𝑦=25 𝑦=𝑥+5
∴点P的坐标为(20,25)． 当𝑥=0时，𝑦=𝑥+5=5， ∴点C的坐标为(0,5)， ∴𝐵𝐶=15−5=10，
∴𝑆△𝑃𝐵𝐶=𝐵𝐶·𝑥𝑃=×10×20=100．
2
2
1
1
1
1
1
解析：本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积．
(1)根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
(2)联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可得出点P的坐标，由一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而可得出线段BC的长度，再利用三角形的面积公式，即可求出△𝑃𝐵𝐶的面积．
20.答案：(1)如图所示：△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求作的图形；
(2)(2,−3)； (3)2．
解析：
(1)直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置即可得出答案； (2)直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；
(3)利用△𝐴𝐵𝐶所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 解：(1)见答案；
(2)点𝐴1关于x轴的对称点的坐标(2,−3)， 故答案为：(2,−3)；
(3)△𝐴𝐵𝐶的面积=2×3−2×1×1−2×2×2−2×1×3=2， 故答案为：2．
1
1
1
21.答案：解：(1)∵∠𝐴𝐵𝐸=162°，∠𝐷𝐵𝐶=30°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐶𝐵𝐸=132°， ∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐸=132°÷2=66°， 即∠𝐶𝐵𝐸的度数为66°； (2)∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐸，
∴𝐷𝐸=𝐴𝐶=𝐴𝐷+𝐷𝐶=5，𝐵𝐸=𝐵𝐶=4，
∴△𝐶𝐷𝑃与△𝐵𝐸𝑃的周长和=𝐷𝐶+𝐷𝑃+𝑃𝐶+𝐵𝑃+𝑃𝐸+𝐵𝐸=𝐷𝐶+𝐷𝐸+𝐵𝐶+𝐵𝐸=2.5+5+4+4=15.5．
解析：本题考查的是全等三角形的性质、角的和与差的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
(1)根据全等三角形的性质得到∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐵𝐸，计算即可；
(2)根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可．
22.答案：解：(1)−2𝑥−2；2𝑥−2
(2)当𝑥<1时，𝑦=−2𝑥−2过点(0,−2)，(−3,0)， 函数𝑦=2|𝑥−1|−2的图象如下图所示：
1
1
3
3
1315
(3)由图象可知，当𝑥<1时，y随x的增大而减小．
解析：
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
(1)根据题目中的函数解析式，可以分别写出𝑥≥1和𝑥<1时的函数解析式； (2)根据(1)中的结果，可以在坐标系中画出函数𝑦=2|𝑥−1|−2的图象；
(3)根据(1)中的函数图象，可以写出函数𝑦=2|𝑥−1|−2的一条性质，本题答案不唯一，只要符合题意即可；
解：(1)当𝑥<1时，𝑦=2|𝑥−1|−2=−2(𝑥−1)−2=−2𝑥−2， 当𝑥≥1时，𝑦=2|𝑥−1|−2=2(𝑥−1)−2=2𝑥−2， 故答案为：−2𝑥−2，2𝑥−2； (2)见答案； (3)见答案．
1
3
1
5
1
1
1
5
1
1
1
3
1
1
23.答案：(1)6；(2)𝑥=1，𝑥=−7．
解析：
(1)利用算术平方根以及立方根的性质化简得出答案； (2)利用平方根的定义化简得出答案． 【详解】 解：(1)√16+3√8 =4+2=6 ；
(2)(𝑥+3)2=16
解得：𝑥+3=±4 即：𝑥=1，𝑥=−7．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24.答案：解：(1)设直线AB的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，
由题意知直线AB过(2,150)和(3,0)， 150=2𝑘+𝑏𝑘=−150{，解得{． 0=3𝑘+𝑏𝑏=450
∴直线AB的函数关系式为𝑦=−150𝑥+450； 当𝑥=0时，𝑦=450， ∴甲乙两地的距离为450千米．
(2)设轿车和货车的速度分别为𝑉1千米/小时，𝑉2千米/小时．
根据题意得3𝑉1+3𝑉2=450，3𝑉1−3𝑉2=90.解得：𝑉1=90，𝑉2=60， 故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时． (3)轿车到达乙地的时间为450÷90=5小时， 此时两车间的距离为(90+60)×(5−3)=300千米，
故点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
解析：(1)设线段AB的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，将(2,150)和(3,0)代入，可求线段AB的解析式，根据线段AB的解析式求A点坐标，得出甲乙两地之间的距离；
(2)设两车相遇时，设轿车和货车的速度分别为𝑉1千米/小时，𝑉2千米/小时，根据相遇时：轿车路程+货车路程=甲乙两地距离，轿车路程−货车路程=90，列方程组求解即可．
(3)根据两车相遇后继续前行，轿车到达乙地时，两车之间的距离为𝑦(千米)，即可得出点C的实际意义．
本题考查了一次函数的运用．关键是通过图象，求出直线解析式，利用直线解析式求A点坐标，得出甲乙两地距离，再根据路程、速度、时间的关系解题．
25.答案：解：(1)∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，点D是AB的中点，
∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐶𝐷=2𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴=75°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=30°．
∵△𝐴′𝐶𝐷由△𝐴𝐶𝐷沿CD翻折得到， ∴△𝐴′𝐶𝐷≌△𝐴𝐶𝐷，
∴𝐴′𝐷=𝐴𝐷，∠𝐴′𝐷𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=30°， ∴𝐴𝐷=𝐴′𝐷=𝐷𝐵，∠𝐴𝐷𝐴′=60°， ∴∠𝐴′𝐷𝐵=120°， ∴∠𝐷𝐵𝐴′=∠𝐷𝐴′𝐵=30°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐷𝐵𝐴′， ∴𝐶𝐷//𝐴′𝐵． (2)连接𝐴𝐴′，
1
∵𝐴𝐷=𝐴′𝐷，∠𝐴𝐷𝐴′=60°， ∴△𝐴𝐷𝐴′是等边三角形，
∴𝐴𝐴′=𝐴𝐷=2𝐴𝐵，∠𝐷𝐴𝐴′=60°， ∴∠𝐴𝐴′𝐵=180°−∠𝐴′𝐴𝐵−∠𝐴𝐵𝐴′=90°． ∵𝐴𝐵=4， ∴𝐴𝐴′=2．
∴由勾股定理得：𝐴′𝐵2=𝐴𝐵2−𝐴𝐴′2=42−22=12．
1
解析：(1)依据直角三角形斜边上中线的性质可知𝐶𝐷=𝐴𝐷=𝐵𝐷，然后依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠𝐴𝐷𝐶=30°，由翻折的性质可知∠𝐶𝐷𝐴′=30°，从而可求得∠𝐴′𝐷𝐵的度数，然后依据𝐷𝐴′=𝐷𝐵可求得∠𝐷𝐵𝐴′=30°，从而可证明𝐶𝐷//𝐴′𝐵；
(2)连接𝐴𝐴′，先证明△𝐴𝐷𝐴′为等边三角形，从而可得到∠𝐷𝐴𝐴′=60°，然后可求得∠𝐴𝐴′𝐵=90°，最后依据勾股定理求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
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