2015年全国新课标2卷高考文科数学答案

第一卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。 （1）已知集合A=x1x2,Bx0x3,则AB A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) 1、选A (2)若a实数，且

2ai3i,则a 1i A.-4 B. -3 C. 3 D. 4

2、解：因为2ai(3i)(1i)24i,所以a4.故选D

(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是

2700260025002400230022002100200019002004200520062007200820092010201120122013(年)

A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；

D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 3、选D

（4）已知向量a(0,1),b(1,2),则（2ab）•a A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4、选B

的前n项和，(5)设Sn是等差数列an若a1a3a53,则S5

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

5、解：在等差数列中，因为

a1a3a53,所以a31,S5(a1a5)55a35,故选A.

2(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

- 1 -

A.

1111 B. C. D. 87656、解：如图所示，选D.

0),B(0，3)，C(2，3),则ABC外接圆的(7)已知三点A(1，圆心到原点的距离为

A.

5 B. 3212 C. D. 3337、解：根据题意，三角形ABC是等边三角形，设外接圆的圆心为D，则D（1，

23）所以， 3OD143721.故选B. 33(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执

行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为 开始 输入a,b a>b 是 a  b 否 输出a 是 否 结束 a=a-b b=b-a

A. 0 B. 2 C. 4 D.14 8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,

4-2=2,所以a=b=2，故选B.

1,a3a54(a41),则a2C 411A. 2 B. 1 C. D.

2819、解：因为an满足a1,a3a54(a41),所以，

4(9)已知等比数列an满足a1a44(a41),解得a42,又a4a1q3，所以q2,所以a2a1q

- 2 -

2112.故选C. 42

AOB90,C为该球面上动点，（10）已知A,B是球O的球面上两点，若三棱锥O-ABC

体积的最大值为36，则球O的表面积为

A. 36π B. π C. 144π D.256π

10、解：因为A,B都在球面上，又

DxAOPCAOB90,C为该球面上动点，所以

三棱锥的体积的最大值为所以球的表面积为

S=4πR2144π，故选C.

(11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，记

1121RRR336，所以R=6，326BDPCBOPx,将动点P到A,B两点距离之和表示为函数f(x),则f(x)的图像大致为x

YYAOBYY2222Oπ4Aπ3ππ24XOππ3ππ424BXOππ3ππ244CXOππ3ππ424DX

11、解：如图，当点P在BC上时，

BOPx,PBtanx,PA4tan2x,PAPBtanx4tanx,当x2

4时取得最大值15，

以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB<15. 又函数f(x)不是一次函数，故选B.

1,则使得f(x)f(2x1)成立的x的范围是 1x2111111A. (,1) B. (,)(1,) C. (,) D. (,)(,)

333333（12）设函数f(x)ln(1x)

- 3 -

1,是偶函数，x[0,)时函数是增函数 1x21f(x)f(2x1)x2x1,x2(2x1)2,解得x1.故选A.

312、解：因为函数f(x)ln(1x)第二卷

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分

（13）已知函数f(x)ax2x的图像过点（-1,4），则a 。 13、答：a=-2

3xy50,（14）若x,y满足约束条件2xy10,则z2xy的最大值为 。

x2y10,14、解：当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8. （15）已知双曲线过点，且渐近线方程为y（4，,3） 。

15、解：设双曲线的方程为x24y2k(k0),点（4，,3）代入方程，解得k4.

1x，则该双曲线的标准方程为 2x2双曲线的标准方程为y21

4（16）已知曲线yxlnx在点（1,1）处的切线与曲线yax(a2)x1相切，则a 。 16、解：y'121,切线的斜率为2，切线方程为y2x1. x将y2x1与yax2(a2)x1联立得ax2ax20,由a28a0,解得a8或a0.a0时曲线为y2x1与切线平行，不符。 所以a8.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC,BD2DC.

sinB; （Ⅱ）若BAC60,求B.

sinCsinBAC, 17、解：（Ⅰ）由正弦定理得

sinCABACDC1sinB1，. 再由三角形内角平分线定理得

ABBD2sinC2（Ⅰ）求

（Ⅱ）BAC60,BC120

- 4 -

由（1）得sinB1.sinC2sinB,sin(120B)2sinB,展开得sinC2

3tanB,B30.318. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A, B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表. 频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005A地区用户满意度评分的频率分布直方图O405060708090100满意度评分 [90,100] 6 B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频 数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10

（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）

频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005B地区用户满意度评分的频率分布直方图O5060708090100满意度评分

（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 18、解：（1）B地区频率分布直方图如图所示

- 5 -

频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005B地区用户满意度评分的频率分布直方图O5060708090100满意度评分

比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：

A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分 B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分 A地区用户评价意见较分散，B地区用户评价意见相对集中。 （2）A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6， B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，

所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。

19. （本小题满分12分）如图,长方体ABCDA1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA18,点E,F分别在A1B1,D1C1 上,A1ED1F4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

D1A1EDAFC1B1CB

（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 19、解：（I）在AB上取点M,在DC上取点N，使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF，即平面α。

（II）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即

D1A1EDAFC1B1CBV1SAMEA14107. V2SEMBB16129

20. （本小题满分12分）

- 6 -

x2y22已知椭圆C:221ab0 的离心率为,点2,2在C上.

2ab（I）求C的方程；

（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

c2, 20、解、（I）如图所示，由题设得a2YBMOAXC(2,2)42又点的坐标满足椭圆的方程，所以221，

ab联立解得：

x2y222a8,b4,所以切线C的方程为：1.

84（II）设A,B两点的坐标为

（x1,y1），（x2,y2）,点M的坐标为（m,n）,kom则x12y18,x22y28,

上面两个式子相减得：

2222n. m2(y2y1)(x2x1)0.变形得2222y2y11x1x212mm.

x2x12y1y222n2nklkom

y2y1nmn1().（定值）

x2x1m2nm221. （本小题满分12分）已知fxlnxa1x. （I）讨论fx的单调性；

（II）当fx有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围. 21、解：已知fxlnxa1x.

1a.x 当a0时，函数f(x)在（0，）上是增函数；11当a0时，函数f(x)在（0,)上是增函数，在(,)上是减函数.aa(1)f'(x)（II）由（1）知，当a0时，函数f(x)在x11时取得最大值f()a1lna. aa - 7 -

由a1lna2a2,整理得lnaa10.

1,a0x0,g'(x)0,g(x)在（0，）是增x函数。又g(1)0,上述不等式即g(a)g(1),0a1,即a(0,1）.设g(x)lnxx1,则g（'x）1

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图O是等腰三角形ABC内一点, ⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. （I）证明EF∥BC.

（II）若AG等于⊙O的半径,且AEMN23 ,求四边形EDCF的面积.

22、（I）证明：由切线的性质得AE=AF，所以△AEF是等腰三角形，又AB=AC, 所以

AGEOBMDNCFAEAF,AEFABC,EF∥BC. ABAC（II）解：

连接OE,则OEAE,AGOEOGR, OA2R,4R2R2(23)2，R2，OM2

1AD10MN3,OD1AD2R15,AB. 2cos303OEAB,BAD30，BAC60ABC,AEF都是等边三角形.MDS四边形EBCF

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

21101163sin6023sin60. 22332 - 8 -

在直角坐标系xOy中,曲线C1:xtcos, （t为参数,且

ytsin,AGEOF,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的t0 ）

极坐标系中,曲线C2:2sin,C3:23cos. （I）求C2与C3交点的直角坐标；

（II）若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值

23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:BMDNCxtcos, （t为参数,且t0 ）,其中0,

ytsin,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin,C3:23cos. （I）求C2与C3交点的直角坐标；

（II）若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值. 解：（I）曲线C2:2sin,C3:23cos. 的直角坐标方程是

C1:x2y2y0;C2:x2y223x0.

3x,33x0,2C1,C2交点的直角坐标为（0,0）联立解得、（，）. 3y0.22y.20）. （II）曲线C1的极坐标方程为（R，0，因此点A的极坐标为（2sin,）,点B的极坐标为（23cos,）,所以AB2sin23cos4sin(当

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设a,b,c,d 均为正数,且abcd.证明：

3).

5时，AB取得最大值，最大值为4.6 - 9 -

（I）若abcd ,则ab（II）abcd；

cd是abcd的充要条件.

224、证明：（I）因为（ab）ab2ab,cd2cd2cd,

由题设知abcd,abcd.ab（II）（必要性）

cd.

若abcd,则(ab)2(cd)2,变形得(ab)24ab(cd)24cd.

abcd,abcd,由（1）得abcd.

（充分性）若abcd,则ab2cd

2ab2abcd2cd,abcd,abcd.ab2ab24abcd24abcd24cdcd2.

abcd. 所以，abcd是abcd成立的充要条件。

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