中考数学经典题

1、在ABC中，AB=BC，将ABC绕点A沿顺时针方向旋转得A1B1C1，使点Cl落在 直线BC上(点Cl与点C不重合)，

(1)如图9一①，当C>60°时，写出边ABl与边CB的位置关系，并加以证明； (2)当C=60°时，写出边ABl与边CB的位置关系(不要求证明)；

(3)当C<60°时，请你在图9一②中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹， 不写作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立?并说明理由．

2、如图：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1。 （1）连续D1D，求证：∠ADD1 = 90°；

（2）连结CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；

（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断。

13、如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8， PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB ，则 点P与点P' 之间的距离为_______，∠APB＝______°． 3、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

例如，求1＋2＋3＋4＋„＋n的值，其中n是正整数．

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋„＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，„，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋„＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

n（n1）n（n1），即1＋2＋3＋4＋„＋n＝． 22

（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋„＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋„＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图7)，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图8)，若AB＝4，BC＝3，则图7和图8中点B点的坐标为 了 点C的坐标 。

正方形网格中，小格的顶点叫做格点。小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形。小华在左边的正方形网格中作出了Rt⊿ABC。请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。

C

A

B

三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内， 若∠1＝20°，则∠2的度数为______．

已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．

（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是 三角形；

（2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答： ．．问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论； 问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论. 我选择问题 ，结论： . 证明：

如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在 A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处

将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1 = ________________________度。

18、一青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶

点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为5，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到

点A，则所构成的封闭图形的面积的最大值是________。

已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）； （2）若P，A两点在抛物线y=－

42

x+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上； 3（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP

的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

25、如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。 （1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短； （2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短；

（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。

如图12－1、12－2、12－3中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE＝CD，DB延长线交AE于F。

（1）求图12－1中，∠AFB的度数； （2）图12－2中，∠AFB的度数为__________，图12－3中，∠AFB的度数为___________； （3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况。若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。 A

N

A M A

A M

F F

C C B E E B F C D D E B D 图12－3 图12－2

图12－1

26．如图15，Rt△ABC中AB＝AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD＝EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F。 试判断△DEF的形状，并加以证明。 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分。 ① 画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形； ② 点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图16）。

附加题：如图17，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由。

E A A A D

D

M K E M E C N B N C B M F B N C 图16 D

图15 图17

y

B

x

O A

如上图，边长为2的等边三角形OAB的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。将△OAB绕点O顺时针旋转30°后，恰好点A落在双曲线yk(x＞0)上。（1）求双曲x线yk(x＞0)的解析式；（2）等边三角形OAB继续按顺时针旋转多少度后，A点再次x

落在双曲线上？

我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA、OC。显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”。

（1）试说明直线AE是“好线”的理由； （2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)。 D D

F A A O E B

C B C E

如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ） 1nA．cm2 B．cm2

441n12

C．cmD．()n cm2

44A2 A1 A3 A4 （第18题）

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分． ①ANNC（如图②）； ②DM//AC（如图③）．

附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．

29.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10.

⑴如图⑴，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点

的坐标；

B＇ D＇

D A＇ A B

E＇ E T

G 第29题图C＇ （2）FC 第29题图（1）

⑵如图⑵，在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′

⑶在⑵的条件下，设T（x，y）①探求：y与x之间的函数关系式.②指出变量x的取值范围.

⑷如图⑶，如果将矩形OABC变为平行四边形OA＂B＂C＂，使O C＂=10，O C＂边上的高等于6,其它条件均不变,探求：这时T（x，y）的坐标y与x之间是否仍然满足⑶中所得的函数关系,若满足,请说明理由；若不满足,写出你认为正确的函数关系式.

A＂ D＂ B＂

E＂ T＇ G＇ F＂ C＂ 第29题图（3）

如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则

A．S=2 B．S=2.4 C．S=4 D．S与BE长度有关

已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合. (1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，AF2，求DE的长； 3 (2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切， 求折痕FG的长．

如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE相交于点F（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比。

（2）如图2、当点E运动到CE：ED＝2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比。

(第25题)

（3）当点E运动到CE：ED＝3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED＝n：1时，（n是正整数）猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写过程）

]在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB=2，AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在边DC上，设A’是点A落在边DC上的对应点。

1⑴当矩形ABCD沿直线yxb折叠时（如图13－1），求点A’的坐标和b的值；

2⑵当矩形ABCD沿直线ykxb折叠时，

①求点A’的坐标（用k表示），并求出k和b之间的关系式； ②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图13－2， 13－3，13－4三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值 范围。（将答案直接填在每种情形下的横线上）

图13－1

图13－2

k的取值范围是 ；k的取值范围是 ；k的取值范围是 ；

4、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB与在同一条直线上，则∠CBD的度数

A. 大于90° B.等于90° C. 小于90° D.不能确定

C

A

D

图13－3

图13－4

A

E E

B