维普资讯 http://www.cqvip.com 第１５卷第１期 光学精密工程 ＶｏＩ＿１５ Ｎｏ．１ ２００７年１月 Ｏｐｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｊａｎ．２００７ 文章编号１００４—９２４Ｘ（２００７）０１—００５７—０６ 多尺度小波降噪的数字散斑相关搜索 李新忠ｈ。，岱 钦 ，王希军 。，Ｊ．Ｗ．Ｓｅｏ。 （１．中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春１３００３３； ２．中国科学院研究生院，北京１０００３９；３．韩国宏益大学电子工程系，首尔韩国１２１—７９１） 摘要：提出了一种基于多尺度小波降噪的数字散斑相关搜索方法。选用ｓｙｍｌｅｔｓ小波，对分别存在高斯白噪声、椒盐噪声 及泊松噪声的散斑位移图像进行多级小波分解，采用不同的降噪策略处理后再进行相关搜索。计算结果表明，多尺度小 波降噪的数字散斑相关搜索方法与传统空域相关搜索方法相比，其测量精度提高了一个数量级，相对误差可以控制在 １ 以内；同时，其计算效率提高了１倍。 关键词：散斑相关；小波变换；多尺度｝图像处理 中图分类号：ＴＰ３９１．４；０３４８ 文献标识码：Ａ Ｄｉｇｉｔａｌ ｓｐｅｃｋｌｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｕｌｔｉ－ｓｃａｌｅ ｗａｖｅｌｅｔ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ＬＩ Ｘｉｎ—ｚｈｏｎｇ ，ＤＡＩ Ｑｉｎ ，ＷＡＮＧ Ｘｉ—ｊｕｎ ，Ｊ．Ｗ．Ｓｅｏ。 （１．Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｏｐｔｉｃｓ，Ｆｉｎｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００３１，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｇｒａｄｕａｔｅ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００３９，Ｃｈｉｎａ； ３．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｏｎｇｉｋ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ７２—１ Ｓａｎｇｓｕ－ｄｏｎｇ，Ｍａｐｏ－ｇｕ，Ｓｅｏｕｌ １２１—７９１，Ｓｏｕｔｈ Ｋｏｒｅａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｏｖｅｌ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｓｐｅｃｋｌｅ Ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ（ＤＳＣＭ）ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｕｌｔｉ—ｓｃａｌｅ ｗａｖｅｌｅｔ ｎｏｉｓｅ ｒｅ— ｄｕｃｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｓｐｅｃｋｌｅ ｐａｔｔｅｒｎｓ ｗｉｔｈ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｗｈｉｔｅ ｎｏｉｓｅ ｏｒ Ｓａｌｔ＆ｐｅｐｐｅｒ ｎｏｉｓｅ ｏｒ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｎｏｉｓｅ ａｒｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｕｓｉｎｇ ｓｙｍｌｅｔｓ ｗａｖｅｌｅｔ ｆａｍｉｌｙ ａｎｄ ｐｒｏｃｅｓｓｅｄ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｓｔｒａｔｅ ｇｉｅｓ．Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ＤＳＣＭ，ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｉｓ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｄｒａｍａｔｉｃａｌｌｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ ｉＳ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １ ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｃｏｎｓｕｍｉｎｇ ｔｉｍｅ ｉＳ ｄｅｃｒｅａｓｅｄ ｔｏ ｈａｌｆ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ＤＳＣＭ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｐｅｃｋｌｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ；ｗａｖｅｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｍｕｌｔｉ—ｓｃａｌｅ；ｉｍａｇｅ ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ 收稿日期：２００６—０７—０６；修订日期：２００６—１０—２１． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（Ｎｏ．６０４７８０２６）｝国家自然基金委中韩合作研究资助项目（Ｎｏ．６０６１１１４０４００） 维普资讯 http://www.cqvip.com ５８ 光学精密工程 第１５卷 引 言 数字散斑相关搜索方法（ＤＳＣＭ）是在上世纪 ８Ｏ年代由日本的１．Ｙａｍａｇｕｃｈｉ和美国的Ｗ．Ｈ． Ｐｅｔｅｒｓ及Ｗ．Ｆ．Ｒａｎｓｏｎ提出的一种无损测量方 法［１］，由于其具有快速简便、对测试环境要求低等 优点，近年来得到了广泛的应用。在对获得的散 斑图像进行相关搜索时，仅能得到整像素位移，为 了提高测量精度需要进行亚像素搜索。然而，亚 像素搜索存在两个问题：一是计算效率低；二是噪 声使得源图像和目标图像的相关尖峰相对平滑， 这就降低了搜索精度，有时甚至导致搜索失败。 小波分析方法能够通过小波母函数的伸缩和 平移实现对图像信号的多尺度分解，通过降噪处 理可以有效地消除噪声的干扰，近年来在图像处 理中得到了广泛的应用［２ ］。 本文提出的基于多尺度小波降噪的数字散斑 相关搜索方法，是将小波变换的多尺度分析方法 应用于数字散斑相关测量中，采用不同的降噪策 略，对含噪声散斑图进行小波分解降噪处理后，再 进行相关搜索。计算结果表明，与传统的空域相 关搜索方法相比，在噪声散斑图像处理中，小波变 换方法具有明显的优越性。 ２ 测量原理 ２．１散斑相关测量 在数字散斑相关测量中，物体变形前后拍得 两幅散斑图，在变形前的散斑图中以待测点Ｐ为 中心取ｍ×ｍ的子区Ａ，当被测物体形变后，子区 Ａ移至子区Ｂ的位置。由统计学知，Ａ与Ｂ这两 个样本空间的相关系数最大。因此可以根据相关 系数的最大值来确定子区Ｂ的位置，从而得到Ｐ 点的位移。概率统计理论中的相关公式为： ∑∑［ｆ（ｘｉ，Ｙ１）一刀［ｇ（ ， ）一 Ｃ －＾７＝ ＝ｉｍ＝ｌ＝ｊ＝ｌＹ／ ，卅∑∑［ ，（ ＝ ＝＝了＝一１ Ｊ一１ Ｙ ）一７］ｚ＾Ｖ ｆ／Ｊ ∑∑Ｅｍ ＝＝卅 １』一１ ｇ（：ｘ＝＝一ｇ，Ｙｉ ）一 其中，ｚ ＝ｚｆ＋．￡￡，Ｙｉ 一Ｙｌ＋ ，ｆ（ｘ ，Ｙｊ）为子区Ａ 中（ｚ ， ）点处的灰度值，ｇ（ｘ ＋ ，ＹＪ＋ ）为子区 Ｂ中（∞＋ ， ，＋ ）点处的灰度值；７和 分别为 子区Ａ和Ｂ的平均灰度。通过搜索相关系数Ｃ 的峰值可以确定待测点ｚ、Ｙ方向的整像索位移 （．￡￡， ） 上式能够较好地消除背景光强，保证相关系 数分布具有良好的单峰性。 获得整像素位移后，为了提高测量精度需要 进行亚像素位移测量。综合考虑计算精度和效 率，文中采用的是五点插值法。 ２．２二维正交小波变换 Ｍａｌｌａｔ等人于１９８９年提出了多分辨率图像 分解的小波表示 ］。提出尺度函数乒可以生成 一个多分辨分析，通过尺度函数可以构造出小波 函数族 ，构造出的尺度函数和小波函数分别 为： ｊ． （ ）＝２一』／ （２一 Ｘ一是）‘ｊ， ∈Ｒ ｆ，＾（ ）一２ Ｊ／ （２一』ｚ－ｋ）（Ｊ． ∈Ｒ 图像信号可以表示为一个Ｌ （Ｒ。）空间的函 数ｆ（ｘ， ），其在二维正交小波基下可以分解为四 部分，其展开式为： ｒｒ——一一 Ａ ２Ｊ厂一ｌ－ ｌ 一 ｆ（ｘ， ） ， （ｚ） ． （ｙ）ｄｘｄｙ ——一 Ｈ２，ｆ—ＩＩ ｆ（ｘ，Ｙ） ． （ ） ． （ ）ｄｘｄｙ 一—— ２ 厂一ＪＪ Ｒ２厂（ｚ， ） ．ｍ（ ） ． （ ）ｄｘｄｙ ＤＦｆ一 ｆ（ ，ｙ）—ｇｔｊ（ｘ）—ｇｔｊ（ｙ）ｄｘｄ ．ｍ．．这四部分的意义分别为：近似概貌Ａ ｆ，水 平细节Ｈ 厂、垂直细节Ｖ ｆ和对角细节Ｄｅｆ， 图像的二维离散正交小波分解过程如图１所示： ［ ２Ｄ－ＤｏＷＴ 图１ 图像的二维离散正交小波分解 Ｆｉｇ．１ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｉｍａｇｅ ２Ｄ－ＤＯＷＴ 在小波变换中，小波函数的选择直接影响到 图像处理的精度和成败。选取小波函数有三个标 准：自相似性强、最优化原则及合适的支集长度。 选择对称性好的ｓｙｍｌｅｔｓ小波族 ］，可以减 少图像重构时的相移。具体选择哪个ｓｙｍｌｅｔｓ小 波，需要通过计算确定。下面以ｓｙｍ８为例，其尺 度函数和小波函数图形如图２： 维普资讯 http://www.cqvip.com 第１期 李新忠，等：多尺度小波降噪的数字散斑相关搜索 ５９ （ａ）尺度函数图形 （ａ）Ｓｃａｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （ｂ）小波函数图形 （ｂ）Ｗａｖｅｌｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 图２ ｓｙｍ８生成的尺度函数图形及其对应的小波函 数图形 Ｆｉｇ．２ Ｓｃａｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｗａｖｅ— ｌｅｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｓｙｍｌｅｔｓ（Ｎ一８） ３ 小波降噪方法在数字散斑相关搜 索中的应用 在散斑图像处理中，采用不同的小波降噪策 略，可以有多种搜索方法。文中拟采用四种不同 的算法进行相关测量。算法０为传统的空域数字 散斑相关搜索方法。算法１、２、３为基于小波降噪 的散斑相关搜索方法，其计算流程图如图３所示。 流程图中，Ｓ，０分别表示源图像和目标图 像，Ａ表示小波分解后的概貌部分，Ｄ代表三个细 节部分，１，以，ｉ为分解或重建的层数，带撇号的表 示降噪后重建的部分。算法１、２和３的定义详见 下面的说明。 算法１：在散斑图像中，噪声一般属于高频 项，用小波进行一级分解后，噪声主要存在于三个 细节部分中。因此，可以直接对一级小波分解后 的近似系数进行相关搜索。 图３基于多尺度小波降噪的数字散斑相关测量方 法的计算流程图 Ｆｉｇ．３ Ｆｌｏｗ ｃｈａｒｔ ｏｆ ＤＳＣＭ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ 算法２：算法１实际上等价于对散斑图像进 行粗滤波，为了较精确地消除噪声影响，对图像进 行多级小波分解，选择不同的降噪策略处理后，重 构原图像，然后进行传统的空域相关搜索。 算法３：在对散斑图像多级小波分解，根据对 噪声特性的分析选择合适的降噪策略处理，然后 对重建至某一层的近似系数进行相关搜索。 从本质而言，算法１，２和３都是对含噪声的 散斑图像小波分解降噪，然后进行相关搜索，只是 选择的降噪策略不同。 ４结果与讨论 为了检验这几种小波相关搜索方法的测量 精度和效率，对四幅散斑图Ｉ。、Ｉ。、Ｉ。、Ｉ。进行了处 理。其中，Ｉ。为源图像，图像质量较高基本不含噪 声，Ｉ 、ｌ 、Ｉ。分别为Ｉ。沿ｚ轴正方向移动３．７３８、 ５．５５５、７．２９３ ｐｉｘｅｌ后加入高斯白噪声的图像。 图像大小为５１２ ｐｉｘｅｌ×５１２ ｐｉｘｅｌ。 首先，进行传统空域相关搜索计算，搜索窗口 为４１ ｐｉｘｅｌ×４１ ｐｉｘｅｌ。 然后，利用ｓｙｍｌｅｔｓ小波对散斑图进行一级 分解，利用分解后的近似系数直接进行相关搜索。 在本文的计算中，均采用ｓｙｍ８小波进行处理。 由于一级分解后，分解图像为原图像的１／４，坐标 维普资讯 http://www.cqvip.com ６０ 光学精密工程 第１５卷 减半，搜索窗口变为２１ ｐｉｘｅｌ×２１ ｐｉｘｅｌ，搜索结果 小波分解。 乘２后方为图像的移动结果。 为了较直观的了解小波分解过程，图４和图 在算法２和算法３中，采用相同的降噪策略， ５给出了噪声散斑图Ｉ 的一级和二级ｓｙｍ８小波 首先估计噪声强度，选择合适的降噪阈值，然后采 分解图。可以看出，一级小波分解后，概貌图像中 用精度高的分层阈值法进行处理，最后重构。算 的噪声大为减少。二级概貌图像中基本没有噪 法２采用二级小波分解，算法３采用二级和三级 声，但图像边缘开始变得模糊。 ２５０ ２ｏｏ ｌ５Ｏ ｌｏｏ ５０ 图４散斑图Ｉ 的一级ｓｙｍ８小波分解图 图５散斑图Ｉ 的二级ｓｙｍ８小波分解图 Ｆｉｇ．４ １ ｏｒｄｅｒ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍａｇｅ Ｊｌ ｕｓｉｎｇ Ｆｉｇ．５ ２ ｏｒｄｅｒ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍａｇｅ Ｉ１ ｕｓｉｎｇ ｓｙｍ８ ｗａｖｅｌｅｔ ｓｙｍ８ ｗａｖｅｌｅｔ 表１几种不同搜索方法的计算结果 Ｔａｂ．１ Ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ 图像 算法分解层数 慧 时相 差 ■ ３．９５３ ４．３９１ ５．７５２ —— ３．７１０ ２．７０３ ０．７４９ —— ３．７２９ ５．Ｏ１５ ０．２４１ —— １ ３．８３８ ４．６８７ ２．６７５ ３ １ ３．８３８ ４．９５３ ２．６７５ ２ ３＋９２０ ４．８１２ ４．８６９ ５．８６１ ３．９８５ ５．５０９ ５．５３６ ２．７３４ ０．３４２ ５．５１６ ４．７１９ ０．７０２ ５．４２４ ４．６５７ ２．３５８ ３ ５．４２４ ４．８７５ ２．３５８ ５．２７２ ４．７１９ ５．Ｏ９５ Ｏ ７．６７４ ６．１１０ ５．２２４ １ ７．２４６ ２．７５０ ０．６４４ ２ ７．２５８ ４．６７１ ０．４８０ ２ ７．５００ ４．６２５ ２．８３８ ７．５００ ４．７８１ ２＋８３８ ７．７０５ ４．７０３ ５．６４９ 四种搜索方法的计算结果列于表１。对表１ 从表１中的相对误差可以看出，算法０和算 中的数据进行分析可知，算法１和算法２的测量 法３中重构到二级概貌进行相关搜索的误差较 精度最高，其次是算法３重构到第一层近似系数 大，一般在５ 以上。由于采用了相同的降噪策 的方法；最后是算法０和算法３重构到第二层近 略，算法３中进行二级和三级小波分解降噪后重 似系数的方法。 构到一级概貌相关搜索的测量精度是相同的，在 维普资讯 http://www.cqvip.com ，Ｊ８ ＾ｌ葛第１期 李新忠，等：多尺度小波降噪的数字散斑相关搜索 ２％～３ 之间。综合考虑效率，可以仅采用二级 分解降噪重构到一级近似概貌的方法。 算法１和算法２的测量精度都在１ ９，６以内， 且与传统的空域相关搜索方法相比，搜索精度提 高了一个数量级。若考虑计算效率，应首先选用 算法１，它的计算时间仅为传统空域相关的一半 左右。 究其原因，在对存在噪声的散斑图进行一级 小波分解后，大部分噪声都被分解到细节部分中； 继续进行二级和三级小波分解后，虽然细节部分 Ｄｉｓｐｌａｃｃｍｅｎｆｆｐｉｘｅｌ 基本不存在噪声，但也丢失了图像的部分细节信 息。而采用合适的降噪策略处理后重构原图像， ，】ｏＪ矗 ＾ｌ 一 Ｈ 则损失的细节信息较少，测量精度较高 （ｂ）泊松噪声 （ｂ）Ｐｏｉｓｓｏｎ ｎｏｉｓｅ 在实际散斑图像处理中，虽然散斑图存在的 主要噪声为高斯白噪声，但也可能存在椒盐噪声 或泊松噪声。为研究这两种噪声存在情况下多尺 图６散斑图的计算结果 Ｆｉｇ．６ Ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｐｅｃｋｌｅ ｐａｔｔｅｒｎｓ 表示小波分解后重构近似系数的层数。如Ｍ。。。 表示采用方法３进行３级小波分解后重构至第１ 层近似系数，然后进行相关搜索运算。 由图６可以看出，传统空域数字散斑相关搜 度小波的降噪效果，将上述实验中散斑图Ｉ。、Ｉ 、Ｉ。 添加的高斯自噪声分别替换为椒盐噪声和泊松噪 声，然后利用上述四种相关搜索方法进行了处理。 计算结果的相对误差如图６所示。其中，（ａ） 为含有椒盐噪声的图像，（ｂ）为含有泊松噪声的 图像。 索方法（即Ｍ。）的计算误差随噪声的不同变化较 大，其余几种小波降噪散斑相关搜索方法对不同 噪声的计算误差仅略有变化，这说明多尺度小波 降噪的数字散斑相关搜索方法具有较好的鲁棒 性。此外，ＣＰＵ耗时主要由算法结构决定，所以 图６中Ｍ后第一个数字表示第几种计算方 法，第二个数字表示小波分解的层数，第三个数字 含椒盐噪声或泊松噪声散斑图的计算时间与含高 斯白噪声散斑图的计算时间基本相同。 ５ 结 论 通过对含有几种不同噪声的散斑图进行多 尺度ｓｙｍｌｅｔｓ小波分解，选择合适的降噪策略后， 采用四种不同的算法进行了对比研究。计算结果 表明，基于多尺度小波降噪的相关搜索方法与传 Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｑｐｉｘｅｌ 统的空域相关搜索方法相比，测量精度提高了一 （ａ）椒盐噪声 （ａ）Ｓａｌｔ＆ｐｅｐｐｅｒ ｎｏｉｓｅ 个数量级，其相对误差低于１％；同时，计算效率 提高了一倍。 参考文献： ［１］ＲＡＮＳＯＮ Ｗ Ｆ，ＰＥＴＥＲＳ Ｗ Ｈ．Ｄｉｇｉｔａｌ ｉｍａｇｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｓｔｒｅｓｓ ａｎａｌｙｓｉｓＦＪ］．Ｏｐｔ．Ｅｎｇ．，１９８２，２１ （５）：４２７ ４３ｌＩ Ｅ２３李会芳，俞卞章．基于小波的多重分形图像去噪新算法［Ｊ］．光学精密工程，２００４，１２（３）；３０５—３１０． ＬＩ Ｈ Ｗ。ＹＵ Ｂ Ｚ．Ｎｅｗ ｗａｖｅｌｅｔ－ｂａｓｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｏｆ ｍｕｌｔｉｆｒａｃｔａｌ ｉｍａｇｅｓ［Ｊ］．Ｏｐｔ．Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｅｎｇ．， 维普资讯 http://www.cqvip.com ６２ ２００４，１２（３）：３０５—３１０．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） 光学精密工程 第１５卷 ［３３林晓梅，李琳娜，牛刚，等．基于小波边缘检测的图像去噪方法ＥＪ－］．光学精密工程，２００４，１２（１）；８８－９３． ＬＩＮ Ｘ Ｍ，ＬＩ Ｌ Ｎ，ＮＩＵ Ｇ，ｅｔ ａ１．．Ｉｍａｇｅ ｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｗａｖｅｌｅｔ ｅｄｇｅ ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ［Ｊ－］．Ｏｐｔ．Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｅｎｇ．， ２００４，１２（１）：８８—９３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［４］ＭＡＬＬＡＴ Ｓ＋Ａ ｔｈｅｏｒｙ ｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｉｇｎａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ：ｔｈｅ ｗａｖｅｌｅｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ口］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｐａｔｔｅｒｎ Ａｎａ１．Ｍａｃｈｉｎｅ Ｉｎｔｅｌ１．，１９８９，１１（７）：６７４—６９３＋ ［５－ｉ ＭＡＬＬＡＴ Ｓ．Ｍｕｈｉｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃｈａｎｎｅｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｉｍａｇｅｓ ａｎｄ ｗａｖｅｌｅｔ ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ａｃｏｕｓｔ．， Ｓｐｅｅｃｈ，Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅ５．，１９８９，３７（１２）：２０９１：２１１０． ［６］ ＤＡＵＢＥＣＨＩＥｓ Ｉ．Ｔ ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ ｗａｖｅｌｅｔｓ［Ｍ］．ＣＢＭＳＮＳＦ Ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈ．Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ．ｓＩＡＭ，Ｐｕｂｌ， １９９２． ［７］ ＤＡＵＢＥＣＨＩＥｓ Ｉ．Ｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌ ｂａｓｅｓ ｏｆ ｃｏｍｐａｃｔｌｙ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｗａｖｅｌｅｔｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎ．Ｐ埘 Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．，１９９８， ｘＬＩ：９０９—９９６． 作者简介：李新忠（１９７９一），男，山东邹平人，博士研究生，主要从事激光测量及图像处理技术的研究。 Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｉｘｉｎｚｈｏｎｇ７９２２＠１６３．ｃｏｍ （本栏目编辑严寒）
