４ 福建中学数学 ２００９年第６期 ４．知识内容创新 知识内容创新指的是试题在知识网络的交汇点 设计的创新． 纵观全卷。试卷中的创新亮点频现．尤其值得 提及的是，这些创新点新而不怪，解决问题的思路 均来源于数学最基础、最本质的思想方法，因而可 以认为，这对中学教学给出了明确的启示： （１）课标课程的教学要更新理念，在把握《课 标》不随意增减知识点的同时，更加注重基础知识 的内在联系，注重数学概念、法则、结论的形成过 程。重视知识的产生过程，深化对数学本质的理解． （２）教学中，应努力为考生创设自主学习的空 间，切实开展研究性学学习，倡导自主探究、动手 例４（理１６）从集合｛ｌ，２，３，４，５｝的所有非 空子集中，等可能地取出一个． （Ｉ）记性质ｒ：集合中的所有元素之和为１０。 求所取出的非空子集满足性质ｒ的概率； （ＩＩ）记所取出的非空子集的元素个数为 。 求 的分布列和数学期望 ． 解析略． 评析本题将古典概率和集合知识相结合，体现 了知识联系的创新．这种联系并非牵强地将两个知 识点连结。而是从本质上将这两个知识点进行梳理、 实践、合作交流、阅读自学等学习方式．鼓励考生 在学习过程中，养成思考、积极探索的精神， 发展考生的思维，提高刨新意识． （３）复习应考中，应避免机械化、程序化的题 综合后合理地设置试题，强调了高考命题的能力立 意，体现了数学学科的系统性和严密性，使对数学 基础知识的考查达到了一定的深度． 海训练，使考生突破思维定势。做好应对创新题的 心理和行动上的准备． ２００９年福建省高考数学试卷评析（三） 化归与转化思想的考查分析 洪扬婷 ～ 陈清华 １福建师范大学数学与计算机科学学院（３５０００７） 化归与转化思想是指在解决数学问题时，采用 ２福建省南安市南星中学（３６２３４２） 面ＡＭＮ？若存在。求线段ＡＳ的长；若不存在，请 说明理由． 某种手段将问题进行转化，使问题得到解决的一种 解题策略． 事实上，数学试题中的条件与条件，条件与结 论之间存在着差异，差异即矛盾．解题过程就是有 目的地不断转化矛盾，最终解决矛盾． 化归与转化思想作为一种重要的数学思想方 法．在高考试题的分析与解答过程中扮演着重要的 角色，其解决方法一般遵循熟悉化，简单化、标准 化、直观化、统一化等原则． １．熟悉化原则 例１（理１７）如图，四 边形ＡＢＣＤ是边长为１的 正方形，ＭＤ Ｊ＿平面 解析（方法１）建立空间直角坐标系，借助空 间向量将立体几何中的夹角、垂直问题转化为向量 的坐标运算． （方法２）根据已知条件，将原图形补形为正 方体ＡＢＣＤ—Ａ ＮＣ＇Ｍ， 如图（１）所示．（Ｉ） Ｃ 取ＡＤ的中点Ｆ，则异 面直线ＮＥ与ＡＭ所成 角转化为直线 ’Ｆ与 ＡＭ所成的角；（ＩＩ）若 存在 ｊ＿平面 ， Ｃ 则ＥＳ Ｊ＿ＡＮ ， 因为 ＡＥ＝ＥＮ。所以ｓ应为 Ａ Ｃ ＡＢＣＤ，Ⅳ８ｊ＿平面 ＡＢＣＤ．且ＭＤ＝ＮＢ＝１， Ｅ为ＢＣ的中点． （Ｉ）求异面直线ＮＥ Ⅳ的中点． 评注本题考查立体几何中异面直线所成的角 及直线与平面的位置关系．借助向量工具解答该题 是众多考生会选择的方法，但将不规则的空间图形 补形成熟悉的正方体进行解答也不失为一种有效的 与 Ｍ所成角的余弦值； （１Ｉ）在线段ＡＮ上是否存在点Ｓ，使得ＥＳ上平 ２００９年第６期 途径． 福建中学数学 ５ ２．简单化原则 ’例２（理１２）某校开展“爱我海西、爱我家乡” 摄影比赛，９位评委为参赛作品Ａ给出的分数如茎 ［，（ ）】 ＋矿（ｘ）＋ ＝ｏ的解集都不可能是（ ） Ａ．｛１，２） Ｂ．｛１，４｝ Ｃ．｛１，２，３，４）Ｄ．｛１，４，１６，６４｝ 叶图所示．计分员在 去掉一个最高分和 一个最低分后，算得 平均分为９１．复核 员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的Ｘ）无 法看清．若记分员计算无误，则数字 应该 是 解析当ｘ≥４时， 一１—１＋２＋３＋２＋ｌ＋４＝１０≠７． ’ 不合题意，舍去； 当０ ＜４时。 一ｌ一１＋２＋３＋Ｘ＋２＋ｌ＝７． ＝１． 故该题答案为１． 评注本题考查统计中的茎叶图及特征数据知 识．求解时，若善于观察，把９０作为各个数据的公 共部分相消掉。则可简化计算． ３．标准化原则 例３（理１）函数ｌ厂（ ）＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ的最小值是 （ ） Ａ．一１ Ａ．一１ Ｂ．一 Ｂ．一二 ｃ．一Ｃ．一 １ Ｄ．． １ ２ ２ ＇ 解析（方法１）。．。／（ ）＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝－ ￣ｓｉｎ２ｘ， １ ～１≤ｓｉｎ２ｘ ｌ，．’．，（ ） ｉ ＝．一÷． （方法２）・．・ｌ：ｓｉｎ ＋ＣＯＳ ｘ≥２ｌ ｓｉｎｘｃｏｓｘＩ， ．一 ．．≤ｓｉｎ ｃｏｓ ． ２ ２ 评注利用正弦、余弦的诱导公式及和与差的三 角函数公式把函数表达式化为标准形式 ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ｃｏｘ＋ ）＋ｂ，再借助『ｓｉｎ（ｏ）ｘ＋ ｌ＜ｌ， 求出原函数的值域，是求有关三角函数最值问题的 常用方法之一．方法１利用正弦的倍角公式，把函 数表达式化为标准类型，使问题从未知转化为已 知．方法２则套用了利用平均值不等式求最值的模 式． ４．直观化原则 例４（理１０）函数ｆ（ｘ）： ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的 图象关于直线 ＝一． 对称．据此ｐ－Ｉ推测，对任意的 ａ 非零实数ａ。ｂ，Ｃ， ． ，Ｐ，关于 的方程 ， Ｊ ｝ ｛ ， 一 Ｉ、 ，１ ’ｆ ‘ ／１一 ｆ ’ ／１ 严ｙ一 一 ／ 一 Ｉ●Ｘ２ 、 Ａ‘ 图２ 图３ ． 解析 如图（２）所示。 当函数 ｆ（ｘ）＝ ＋ ＋ｃ ≠０）的对称轴为 ＝一． 时， 对于同一个函数值Ｙｏ（Ｙｏ≠一 ）．自变量ｘ 、 满 足： １（ ＋ｘ２）＝一 ． 令ｆ＝厂（ ）。则方程 ／（ ］ ＋矿（力＋Ｐ＝０（ ）可化为 ， ＋ｎｔ＋Ｐ＝０ （料ｌ方程（ ）不同实根个数。对应ｆ（ｘ）不同的 取值个数．当ｆ（ｘ）有两个不同取值Ｙ。、 且 Ｙ 、 ≠一 ０时，关于ｘ的方程（ ）有４个不相等 “ 实根 ＝ ，Ｘ２，ｘ３，Ｘ４，满足： １（ ＋‘）＝去（ ＋ ） Ｌ ‘ ０＝一－＝＿－，如图（３）所示．选项Ａ、Ｂ属于／（ ）有一 个取值且该取值不为函数ｆ（ｘ）的最值的情况；选项 Ｃ、Ｄ属于ｆ（ｘ）有两个取值且均不为函数ｆ（ｘ）的最 值的情况．选项Ｃ中 ： ，选项Ｄ中 １＋６４≠ ，故答案为Ｄ． 评注本题以函数图象的对称性为素材，考查方 程根的分布特征．进行以下两个转化是本题顺利解 答的关键．其一，通过整体代换．把关于 的方程 （・）转化为二次方程（¨），使问题简单化、熟悉 化；其二。把函数的性质与图象结合起来。并在图 象的基础上，进一步分析函数对称性的直观解释， 使问题直观化． 例５（理５）下列函数ｆ（ｘ）中，满足“对任意 Ｘｌ，Ｘ２∈（０，＋ｏ。），当ｘｌ＜Ｘ２时，都有ｆ（ｘ１）＞Ｙ（ｘ２）” 的是（ ） ６ 福建中学数学 ２００９年第６期 ２．．・．ａ：一ａ，：ｄ＝２。故选Ｃ． ＝３ｑ＋３ｄ：６， 二 ＝Ａ．ｆ（ｘ）： Ｘ Ｂ．ｆ（ｘ）＝（Ｘ一１） ． ． Ｃ．， ）： Ｄ．ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１） 方法２）・．・Ｓ３＝３ａ ＋． 解析根据条件可知，函数ｆ（ｘ）在区间（Ｏ，＋ ） 上是减函数，则函数ｆ（ｘ）的图象自左向右看呈下降 即ａ１＋ｄ＝２，口１＝口１＋２ｄ＝４， ‘．．ｄ＝２。选ｃ． 趋势．根据选项Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ中函数的图象的变化 趋势，故答案为Ａ． 评注本题考查函数的单调性，看似平淡，却极 富创意，对数学符号语言的理解与转化都有较高的 要求．熟练掌握基本类型函数图象及其简单变换， 将选项中的代数的数量关系转化为图形信息，从直 观的角度解答该题可以提高解题速度． 评注本题考查等差数列基本量的求解，题目简 洁明了，却能有效检验考生对等差数列基本公式的 掌握情况．对等差数列的基本公式： ： ２ ： ＋ ‘ ２ ｄ， ： ａ ２ （ 为奇数）．ａ， ＝ａ１＋（ 一１） ， 的熟练掌握。能灵 ＋ｍ＝Ｐ＋９时．ａｎ＋ａｍ＝口 ５．统一化原则 例６（理３）等差数列｛ａ ｝的前 项和为 ， 且 ＝６，ａ ＝４，则公差ｄ等于（ ） Ａ．１ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．３ 活地进行量与量之间的转化，使问题得以解决． 基于以上分析，可以认为，重视知识形成过程 与数学思想方法的教学、加强计算能力培养、深化 概念与公式理解应该是帮生自觉而又熟练运用 化归与转化思想的有效途径． ：３ ：６， 解析（方法１）．．． ： ２００９年福建省高考数学试卷评析（四） 数形结合思想的考查分析 潘灿丽 陈清华 １福建师范大学数学与计算机科学学院（３５０００７） ２福建省南安国光中学（３６２３２１） 数形结合思想是指“在问题解决中，将数量关系 同起点的任意三个非零向量，且满足ａ与ｂ不共线。 的精确刻画和空间形式的形象直观密切结合，调用 代数和几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达 到解题的目的”．它是一种极富数学特点的信息转换， ａ上ｃ，ｌａｌ：Ｉ ｃｌ。则１ｂ－ｃｌ的值一定等于（ ） Ａ．以ｎ．ｂ为两边的三角形面积 Ｂ．以ｂ．ｃ为两边的三角形面积 能使抽象思维和形象思维相互作用，“数”与“形”的相 互结合、转化也是解题的重要方法和策略． 数形结合思想在高考中占有重要的地位．在高 Ｃ．以ａ。ｂ为邻边的平行四边形的面积 Ｄ．以ｂ，Ｃ为邻边的平行四边形的面积 解析（方法一）作出满足条件的图象（如图）， 考试题中体现数与形的结合，是对数学知识在更高 层次的抽象和概括的考查，反映了考生对思想方法 ｌｂ・ｃ【＝Ｉｂ［．１ ｃ１． １ｃｏｓ０ｌ＝ ・Ｉａ１．＿ｓｉｎ Ｉ， 即Ｊｂ．ｃｊ的值为以口。ｂ为邻边的平行四边形的 面积．选Ｃ． 事实上，随着ｂ位置 的掌握程度．而考生借助数形结合思想解题。往往 可以达到化繁为简、化难为易、化隐为显，化抽象 为具体的目的，深刻揭示数学问题的本质。有效提 升思维品质． 的改变，ｂ，ｃ的夹角 与ａ， ｂ的夹角 总是 １．试题评析 １．１以形助数 例ｌ（理９）设ａ．ｂ，ｃ为同一平面内具有相 满足１ ｃｏｓ０ｌ＝Ｉ ｓｉｎ Ｉ．
