一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（ ） A．150° B．120° C．60° D．30°
2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6） 3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ） A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m∩β，则α⊥β 4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（ ） A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣1
5．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（ ）
A．0° B．45° C．60° D．90°
6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（ ） A．6π B． C．3π D．12π
7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（ ）
222222
A．（x﹣4）+（y+1）=1 B．（x+4）+（y+1）=1 C．（x+2）+（y+4）=1 D．（x﹣22
2）+（y+1）=1
8．已知实数x，y满足（x+5）+（y﹣12）=25，那么
2
2
的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．13 D．18
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2
2
10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=5上，则使∠APB=90°
的点P的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图 中的正视图和俯视图如图所示，若 该几何体的表面积为64+80π，则 r=（ ）
1
A．1 B．2 C．4 D．8
222
12．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x+y=r内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（ ）
A．m∥n且n与圆O相离 B．m∥n且n与圆O相交 C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离
二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上） 13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是 ． 14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为 ．
15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是 ． 16．若直线x+y=k与曲线y=
恰有一个公共点，则k的取值范围是 ．
17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 ．
18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165° 其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号）
三、解答题：（本大题共5题，满分60分）
19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）． （1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标
（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程； （3）求△ACD的面积．
2
20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
AD，设E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ） 求证：面PAB⊥平面PDC； （Ⅲ） 求二面角B﹣PD﹣C的正切值．
21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；
（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）
22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x+y=16和圆C2：（x﹣7）+（y﹣4）=4， （1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；
（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．
2222
3
2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（ ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【考点】直线的倾斜角．
【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率等于直线倾斜角的正切值求得答案． 【解答】解：化直线方程y﹣3=（x﹣4）为， 可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 则tan， ∴α=60°． 故选：C．
2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6） C．（﹣1，﹣3，6） D．（1，﹣3，﹣6） 【考点】空间两点间的距离公式． 【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标． 【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z）， 则x=1，y=﹣3，z=﹣6，
所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）． 故选：C．
3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ） A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，m∩β，则α⊥β
【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，m与n平行或异面；在C中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；
在B中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；
在C中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确； 在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确． 故选：B．
4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（ ） A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣1 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
4
【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣2=0，x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．
当m≠0时，∵l1⊥l2，∴﹣m×
=﹣1，解得m=1．
综上可得：m=0，或m=1． 故选：C．
5．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（ ）
A．0° B．45° C．60° D．90° 【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为 E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．
【解答】解：取A′A的中点为 E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角，
由题意得 B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°， 故选 D．
6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（ ） A．6π B． C．3π D．12π 【考点】球的体积和表面积．
【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出体积 【解答】解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径， 设球的半径为r， 所以2r=
=
，
=
π
所以这个球的体积积：
故选：B．
22
7．圆（x﹣1）+（y﹣2）=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（ ） A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=1
【考点】关于点、直线对称的圆的方程． 【分析】求出圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标，可得要求的对称圆的方程． 【解答】解：由于圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为（4，﹣1），半径为1，
故圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2=1， 故选：A．
8．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么A．5
的最小值为（ ）
B．8 C．13 D．18
5
【考点】圆的标准方程． 【分析】由题意画出图形，利用
的几何意义结合图象得答案．
【解答】解：如图，
22
圆（x+5）+（y﹣12）=25的圆心M（﹣5，12）， |MO|=
，
的几何意义为圆（x+5）2+（y﹣12）2=25上的点到原点的距离，
则最小值为|OM|﹣5=13﹣5=8． 故选：B．
9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略）， 则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1） ∴
=（﹣2，0，1），
，
＞═
=（﹣2，2，0），
=
．
且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos＜
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．
6
10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】点与圆的位置关系． 【分析】设P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．
【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为
，
而圆上的所有点到AB中点距离范围为[
]，即[
，3
]，
，
所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点； 故选B
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图 中的正视图和俯视图如图所示，若 该几何体的表面积为64+80π，则 r=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体为半圆柱与半球的组合体．
【解答】解：由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体，半圆柱与半球的半径均为r，半圆柱的高为2r， ∴几何体的表面积为为
+
+
+πr×2r+2r×
2r=5πr2+4r2=64+80π． 解得r=4． 故选：C．
12．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（ ）
A．m∥n且n与圆O相离 B．m∥n且n与圆O相交 C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离 【考点】直线与圆的位置关系．
7
【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离． 【解答】解：直线m是以P为中点的弦所在的直线 ∴直线m⊥PO， ∴m的斜率为﹣， ∵直线n的斜率为﹣ ∴n∥m
圆心到直线n的距离为∵P在圆内， 222
∴a+b＜r， ∴
＞r
∴直线n与圆相离 故选A
二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上） 13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是 （2，3） ． 【考点】恒过定点的直线．
【分析】把所给的直线分离参数，再令参数的系数等于零，即可求得定点的坐标．
【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0，即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x+2y﹣4）=0，
一定经过直线2x﹣y﹣1=0 和直线﹣x+2y﹣4=0的交点（2，3）， 故答案为：（2，3）．
14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为 ．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角C1﹣BD﹣C的正切值．
【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a， 则
，CD=BC=CC1=a，
取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，
8
∵CO==，
∴tan∠COC1=故答案为：
．
=．
2222
15．点P（4，﹣2）与圆x+y=4上任一点连线的中点轨迹方程是 （x﹣2）+（y+1）=1 ． 【考点】轨迹方程；圆的标准方程．
【分析】设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．
【解答】解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），
则，∴
代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1． 故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=1
16．若直线x+y=k与曲线y=k= ．
【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】曲线y=
表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=
恰有一个公共点，则k的取值范围是 ﹣1≤k＜1或
﹣x+k与半圆只有一个交点；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线位于此两条直线之间时满足题意．当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，也满足条件． 【解答】解：曲线y=
表示一个半圆，如图所示．
当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点，此时k=﹣1； 当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1； 当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，k=． 因此当﹣1≤k＜1时，或k=故答案为﹣1≤k＜1，或k=
，直线x+y=k与曲线y=．
恰有一个公共点．
9
17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于
．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AB1的长度，在直角三角形AEB1中，即可求得结论．
【解答】解：由题意不妨令棱长为2，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，故DA=
，
=
，
由勾股定理得A1D=
过B1作B1E⊥平面ABC，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角，且B1E=如图作A1S⊥AB于中点S，∴A1S=∴AB1==
，
∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．
故答案为：
10
18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2斜角可以是
①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165° 其中正确答案的序号是 ④或⑥ ．（写出所有正确答案的序号） 【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】由两平行线间的距离
=
，则m的倾
，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平
行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值． 【解答】解：由两平行线间的距离为
=
，直线m被平行线截得线段的长为2
，
可得直线m和两平行线的夹角为30°．
由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°， 故答案为：④或⑥．
三、解答题：（本大题共5题，满分60分）
19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）． （1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标
（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程； （3）求△ACD的面积．
【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．
【分析】（1）设AC的中点为M，则由M为AC的中点求得M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，求得D的坐标．
（2）求得直线CD的斜率KCD，可得CD边上的高线所在直线的斜率为求得CD边上的高线所在直线的方程0． （3）求得
，用两点式求得直线CD的方程，利用点到直
，从而在△ACD中，
线的距离公式求得点A到直线CD的距离，可得△ACD的面积． 【解答】解：（1）由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）， 设AC的中点为M，则M（，），
设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有，解得，所以，
D（3，8）．
11
（2）∵直线CD的斜率KCD==5，所以CD边上的高线所在直线的斜率为，
故△ACD中，CD边上的高线所在直线的方程为（3）∵C（2，3），D（3，8），∴
，即为x+5y﹣19=0．
，
由C，D两点得直线CD的方程为：5x﹣y﹣7=0，∴点A到直线CD的距离为=∴
，
．
20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
AD，设E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ） 求证：面PAB⊥平面PDC； （Ⅲ） 求二面角B﹣PD﹣C的正切值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；
（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；
（Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值； 【解答】（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形， 连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，
∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， ∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形， ∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA， 又
，
12
所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，
CD∩PD=D，且CD、PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC， 又PA⊂面PAB， ∴面PAB⊥面PDC；
（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，
由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，
Rt△FEM中，，，，
故所求二面角的正切值为；
21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；
（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）
【考点】圆方程的综合应用． 【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；
（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少． 【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴， 过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）． 又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．… 因为|CD|=|CB|，所以
，解得b=﹣12．…
13
所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…
（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，… 距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，
所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…
22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；
（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积． 【解答】（Ⅰ）证明：如图，
取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B． 因为CA=CB，所以OC⊥AB． 由于AB=AA1，
，故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB．
因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C． 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；
（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形， 所以又
，则
．
，故OA1⊥OC．
因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高． 又△ABC的面积
，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积
．
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2222
23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x+y=16和圆C2：（x﹣7）+（y﹣4）=4， （1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；
（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标． 【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出k，即可求过点（4，6）的圆C1的切线方程；
（2）设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2，可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标． 【解答】解：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为y﹣6=k（x﹣4）， 则圆心C1到切线的距离
，解得
，
所以切线的方程为：5x﹣12y+52=0；
若切线的斜率不存在，则切线方程为x=4，符合题意．
综上所述，过P点的圆C1的切线方程为5x﹣12y+52=0或x=4． …
（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为：y﹣b=k（x﹣a）（k≠0）， 即kx﹣y+b﹣ak=0（k≠0）， 则直线l2的方程为：
，即x+ky﹣bk﹣a=0．
因为圆C1的半径是圆C2的半径的2倍，
及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，
所以圆C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍， 即
…
整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+（2b﹣8）k|
从而ak﹣b=2a﹣14+（2b﹣8）k或b﹣ak=2a﹣14+（2b﹣8）k， 即（a﹣2b+8）k=2a+b﹣14或（a+2b﹣8）k=﹣2a+b+14， 因为k的取值有无穷多个，所以
或
，…
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解得或，这样点P只可能是点P1（4，6）或点．
经检验点P1和点P2满足题目条件．…
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