2021年九年级数学中考复习分类专题练习：等边三角形的判定与性质(三)

等边三角形的判定与性质（三）

一．选择题

1．如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，下列结论： ①若AD＝AE，则△ADE是等边三角形； ②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形， 其中正确的有（ ）

A．① B．② C．①② D．都不对

2．如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状最准确的是（ ）

A．等腰三角形 C．等边三角形

B．直角三角形 D．不等边三角形

3．设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM＝BN＝CP，则△MNP是（ ） A．等边三角形 C．直角三角形

B．等腰三角形 D．不等边三角形

4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点

P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（ ）

1 / 20

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是（ ）

A．30° B．45° C．120° D．15°

6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）

A．25° B．30° C．45° D．60°

7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

8．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有（ ）

2 / 20

A．5条 B．6条 C．7条 D．

9．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（ ）

A．5 B．7 C．8 D．9

10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）

A．△BPQ是等边三角形 C．∠APB＝150° 二．填空题

B．△PCQ是直角三角形 D．∠APC＝135°

11．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝ ．

3 / 20

12．在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠B＝60°，则BC＝ cm．

13．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF．则△DEF的形状是 ．

14．两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点．如图，∠A＝30°，AC＝8，则此时两直角顶点C，

C′间的距离是 ．

15．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B＝30°，点P是BA延长线上一点，点

O是线段AD上一点且OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角

形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP．其中正确的为 ．（填序号）

16．如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动三角板ABC，使其直角顶点

C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上，当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C1的

距离是 ．

4 / 20

三．解答题

17．如图，已知：边长相等的等边△ABC和等边△DEF重叠部分的周长是6．

（1）求证：△FGH和△CHL和△LEK和△KBJ和△JDI和△IAG都是等边三角形．（或证明∠AGF＝∠FHC＝∠CLE＝∠EKB＝∠BJI＝∠DIA＝120°） （2）求等边△ABC的边长．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝8cm． （1）求∠D的度数；

（2）若BC＝10cm，求ED的长．

19．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内一点，且∠AOB＝120°，∠BOC＝120°． 求证：由线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形． 证明过程如下，请仔细阅读并将证明继续下去：

证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、

OO′、CO′，

∴AO＝AO′，∠OAO′＝60° ∴△AOO′是一个等边三角形

5 / 20

∴AO＝OO′ 又∵OB＝O′C

∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′ 请继续：

20．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、

CA上运动，连结DE、EF、DF．

（1）证明：△DEF是等边三角形；

（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求

的值．

21．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情况，探索结论】

如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．

（2）【特例启发，解答题目】

如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△

ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．

6 / 20

7 / 20

参

一．选择题

1．解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵AD＝AE，

∴△ADE是等边三角形；所以①正确； ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C＝∠B＝60°， ∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°， ∴△ADE是等边三角形，所以②正确． 故选：C．

2．解：∵三角形ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，

∵BD＝CE，∠1＝∠2， 在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 故选：C．

3．解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵AM＝BN＝CP， ∴BM＝CN＝AP，

在△AMP，△BNM和△CPN中，

8 / 20

，

∴△AMP≌△BNM≌△CPN（SAS）， ∴PM＝MN＝NP， ∴△MNP是等边三角形．

4．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE，故选项①正确；

∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD， ∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确； 由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD， ∵∠ACB是△ACD的外角，

∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°， 又∠APM是△PBD的外角，

∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确； 在△ACN和△BCM中，

，

∴△ACN≌△BCM， ∴AN＝BM，故选项④正确； ∴CM＝CN，

∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°， ∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；

9 / 20

故选：D． 5．解：设∠B＝x ∵BD＝AD

则∠B＝∠BAD＝x，∠ADE＝2x， ∵AD＝AE

∴∠AED＝∠ADE＝2x， ∵AE＝EC，∠AED＝∠EAC+∠C ∴∠EAC＝∠C＝x

又BD＝DE＝AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE＝90°， 则∠B+∠AED＝x+2x＝90° 得x＝30°

∴∠BAC＝180°﹣2x＝120° 故选：C．

6．解：△ABC沿CD折叠B与E重合， 则BC＝CE，

∵E为AB中点，△ABC是直角三角形， ∴CE＝BE＝AE， ∴△BEC是等边三角形． ∴∠B＝60°， ∴∠A＝30°， 故选：B．

7．解：∵D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点， ∴AD＝BD＝BE＝EC＝CF＝FA＝DF＝DE＝EF＝AB＝AC＝

∴等边三角形有：△ABC、△ADF、△BDE、△CEF、△DEF共5个， 故选：D．

8．解：如图，连接EF．

∵等边△ABC中，AD是BC边上的高， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵∠BDE＝∠CDF＝60°，

10 / 20

∴∠ADE＝∠ADF＝30°，

△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形， ∴∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD， 即图中与BD相等的线段有7条． 故选：C．

9．解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE， ∵∠ABC＝120°，

∴∠ABE＝180﹣∠ABC＝60°， ∵BE＝AB，

∴△ABE为等边三角形， ∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠DAC＝BAE，

∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE， ∴∠BAD＝∠EAC， ∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠E， 在△ABD和△AEC中，

，

∴△ABD≌△AEC（ASA）， ∴BD＝CE，

∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5， ∴BD＝5，

11 / 20

故选：A．

10．解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵△BQC≌△BPA，

∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ＝BP＝4，

∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25， ∴PQ2+QC2＝PC2，

∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形， ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，

∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，

∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PQ≠QC， ∴∠QPC≠45°， 即∠APC≠135°，

∴选项A、B、C正确，选项D错误． 故选：D．

二．填空题（共6小题） 11．解：如图，连OQ，

∵点P关于直线OB的对称点是Q， ∴OB垂直平分PQ，

12 / 20

，

∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ， ∴∠POQ＝60°， ∴△POQ为等边三角形， ∴PQ＝PO＝2． 故答案为2．

12．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝8cm． 故答案为：8．

13．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE， ∴AF＝BD，∠A＝∠B＝60°， ∴在△ADF与△BED中，

，

∴△ADF≌△BED（SAS）． 同理证得△ADF≌△CFE（SAS）， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）， ∴DF＝ED＝EF，

∴△DEF是一个等边三角形． 故答案是：等边三角形． 14．解：如图，连接CC'，

13 / 20

∵点M是AC中点， ∴AM＝CM＝AC＝4， ∵旋转，

∴CM＝C'M，AM＝A'M ∴A'M＝MC＝C'M＝4， ∴∠A'＝∠A'CM＝30°

∴∠CMC'＝∠A'+∠MCA'＝60°，且CM＝C'M ∴△CMC'是等边三角形 ∴C'C＝CM＝4 故答案为：4

15．解：①连接OB，如图1，

∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线， ∴AB＝AC，BD＝CD， ∴OB＝OC＝OP，

∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， ∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；

②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP， △BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，

∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB， ∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB， ∴∠POC＝2∠ABD＝60°， ∵PO＝OC，

∴△OPC是等边三角形，故②正确；

14 / 20

③如图2，在AC上截取AE＝PA， ∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°， ∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE，

∴AC＝AE+CE＝AO+AP； 故③正确；

④如图3，作CH⊥BP， ∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°， ∴∠PCH＝∠OCD， 在△CDO和△CHP中，

，

∴△CDO≌△CHP（AAS）， ∴S△OCD＝S△CHP ∴CH＝CD， ∵CD＝BD， ∴BD＝CH，

在Rt△ABD和Rt△ACH中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），

15 / 20

∴S△ABD＝S△AHC，

∵四边形OAPC面积＝S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC＝S△AOC+S△ABD+S△OCD ∴四边形OAPC面积＝S△ABC．故④正确． 故答案为：①②③④．

16．解：如图，连接CC1，

∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M， ∴M是AC、A1C1的中点，AC＝A1C1， ∴CM＝A1M＝C1M＝AC＝5， ∵∠A＝30°，

∴∠A1＝∠A1CM＝30°， ∴∠CMC1＝60°， ∴△CMC1为等边三角形， ∴CC1＝CM＝5， ∴CC1长为5． 故答案为5．

16 / 20

三．解答题（共5小题）

17．解：（1）∵△ABC和△DEF都是等边三角形， ∴∠F＝60°，FG＝FH，FD＝BC， ∴△FGH是等边三角形，

同理△CHL、△LEK、△KBJ、△JDI、△TAG都是等边三角形； （2）∵△FGH是等边三角形， ∴GH＝FG．

同理，IJ＝ID，HL＝CL，JK＝KB， ∴重叠部分的周长为：FD+BC＝6， ∴FD＝BC＝3，

即等边△ABC的边长是 3．

18．解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，如图． ∵∠EBC＝∠E＝60°， ∴△BEF是等边三角形，

∴EF＝BF＝BE＝8，∠EFB＝60°． ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AH⊥BC，即∠AHC＝90°， ∴∠HDF＝30°， ∴∠ADE＝∠HDF＝30°；

（2）∵BC＝10，

17 / 20

∴FC＝2．

∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BH＝CH＝BC＝5， ∴HF＝5﹣2＝3． 在Rt△DHF中， ∵∠HDF＝30°， ∴DF＝2HF＝6， ∴DE＝8﹣6＝2． ∴ED的长为2cm．

19．证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、

OO′、CO′，

∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°， ∴△AOO′是一个等边三角形， ∴AO＝OO′， 又∵OB＝O′C，

∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′， ∵∠AOB＝120°，∠BOC＝120°． ∴∠AOC＝120°，∠AO′C＝120° ∵△AOO′是一个等边三角形， ∴∠AOO′＝∠AO′O＝60°， ∴∠O′OC＝∠OO′C＝60°， ∴△OCO′是等边三角形，

∴线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形． 20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

18 / 20

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA， ∵AD＝BE＝CF， ∴BD＝EC＝AF，

在△ADF、△BED和△CFE中

∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴DE＝EF＝FD， ∴△DEF是等边三角形；

（2）解：∵△ABC和△DEF是等边三角形， ∴△DEF∽△ABC， ∵DE⊥BC， ∴∠BDE＝30°，

∴BE＝BD，即BE＝BC，CE＝BC， ∵EF＝EC•sin60°＝BC•

＝

BC，

∴＝（

）2＝（）2＝．

21．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；

（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF，BE＝CF， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD，

∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD， ∴∠DEB＝∠ECF， 在△DBE和△EFC中，

19 / 20

，

∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴DB＝EF， 则AE＝DB；

（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC， ∴DB＝EF＝2，BC＝1， 则CD＝BC+DB＝3．

故答案为：（1）＝；（2）＝

20 / 20