全等三角形几何证明-常用辅助线-精选.pdf

(一)中线倍长法:

例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤分析：要证明AD ﹤

12

12

(AB+AC)

(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线

段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。在△ADB和△EDC中，

AD=DE∠ADB=∠EDCBD=DC

A

∴△ADB≌△EDC(SAS) ∴AB=CE

又在△ACE中，AC+CE＞AE

∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤

12

B

E

(AB+AC)

D

C

小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:

ABC中，AD是

BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC

A

B

C

D

例2:

中线一倍辅助线作法

A

A

△ABC中AD是BC边中线

B

D

C

方式1：延长AD到E，

使DE=AD，连接BE

方式2：间接倍长

B

D

C

E

A

A

作CF⊥AD于F，

延长MD到N，使DN=MD，

D

N

连接CD C

作BE⊥AD的延长线于E M

连接BE

B

F

B

E

D

C

例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

A

DB

CE

F

课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长

A

F

E

BE交AC于F，求证：AF=EF

B

D

C

例5：已知：如图，在交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分

ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA

A

BAC

F

B

E

D

C

第 1 题图

课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

A

B

ED

C

作业：1、在四边形

ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线

AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

A

相交于点F。试探究线段

D

B

E

F

C

2、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC

于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.

A

D

ET

C

M

B

3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

E

A

F

B

D

C

4：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

A

B

ED

C

5、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线

AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

A

相交于点F。试探究线段

D

B

E

F

C

（二）截长补短法例1.

已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.

A

求证：∠BAD+∠BCD=180°. 分析：因为平角等于

180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转

.

⊥BC于点F，如图E，作DF

A

B

D

化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现

图1-1

E

C

证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点1-2

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，在Rt△ADE与Rt△CDF中，

D

B

DEAD

DFCD

图1-2

F

C

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF. 又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°例2.

如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB. 求证：CD=AD+BC.

D

A

E

C

B

图2-1

例3.

已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°.

例4. 已知：如图4-1求证：AB=AC+CD.

ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. A

N

P

1

2B

D

C

图3-1

A12

B

D

C

图4-1

，在△作业：

1、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

AD

F

B

E

C

2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

A

B

E

C

D

（三）其它几种常见的形式：

1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。

例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,

求证：BE＋CF＞EF。

A

N

E

F

1

B

234D

C

图1

2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全

等三角形。

例：：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF

A

EF

1

B

23D

4

C

图2

M

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF＝2AD。

E

AB边、AC边为直角边各

A

F

B

DC

图4

3、延长已知边构造三角形：

例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC

E

A

B

O

D

图6

C

4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图7：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。

A

1

3

2

D

4

B

图7

C

5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE

。6连接已知点，构造全等三角形

例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

A

D

O

BC

图101

九、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

A

N

D

B

M

C

图10