双曲线知识点总结例题

与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使

考点2、求双曲线的方程

求双曲线标准方程的方法

1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程． 2．待定系数法

(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法

x2y2x2y2

①与双曲线a2－b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2－b2＝t(t≠0)；

②若双曲线的渐近线方程是y＝±ax，则双曲线的方程可表示为a2－b2＝t(t≠0)；③与双曲线a2－b2＝1共焦点的方程可表示为a2－k－b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m＋n＝1(mn＜0)；

⑤与椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2－λ＋b2－λ＝1(b2＜λ＜a2)．

例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．

(1)与双曲线9－16＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)； (2)与双曲线16－4＝1有公共焦点，且过点(3，2)．

1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.

页 3

x2

y2x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

bx2y2

2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，以避免分类讨论．

考点3、双曲线的几何性质

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程

x2y2

例5、(12分)双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，APPQ

若C上存在一点P，使→·→＝0，求此双曲线离心率的取值范围．

x2y2

例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)

的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．

【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支

上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ）

A.e>

B.1C.1D.e>

【例8】设两个焦点，若

为双曲线

，则

C.

上的一点，是该双曲线的

的面积为（ ）A． D．

B．

页 4

【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前 不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.

将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处. 渐近线——双曲线与直线相约天涯

对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.

双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.

【例9】过点（1，3）且渐近线为

的双曲线方程是

【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可

以简洁地设待求双曲线为

，而无须考虑其实、虚轴的位置.

共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄

将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相

共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.

【例10】两共轭双曲线的离心率分别为

设而不求——与借舟弃舟同理

，证明：=1.

减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例11】双曲线

的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）

页 5

A. B. C. D.

“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.

但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：

【例12】在双曲线

线方程；如不存在，请说明理由.

上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直

如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：

练习

1．(2011安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2

B．2 C．4 D．4

x2y2

2．(2011山东高考)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2

－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )

x2y2x2y2x2y2x2y2A.5－4＝1 B.4－5＝1 C.3－6＝1 D.6－3＝1

x2

3.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线4－y2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )

111

A．(0,1) B．(0，8) C．(0，4) D．(0，2)

4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点Bx2y2sin B

在双曲线16－9＝1上，则|sin A－sin C|为( )

32A.2 B.3 C.4 D.5

x2y2

5．P为双曲线9－16＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2

页 6

＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )

A．6 B．7 C．8

D．9

6．(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )

A.＋1 B.＋1 C．2

D．2

x2y2

7．方程2－m＋|m|－3＝1表示双曲线．那么m的取值范围是________．

8．(2012大连测试)在双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|·|OB|＝15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．

x2y2b2＋1

9．双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则3a的最小值是________．

10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(－3,0)，一条渐近线的方程是 x－2y＝0.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的81

垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k的取值范围．

11．(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C的方程；

(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

页 7

12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=

的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)

动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论

13．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为

线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

14已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）

，那么A、B、C、

求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且

D四点是否共圆？为什么？

页 8

（二）双曲线知识点及巩固复习 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点) （2） 焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 页 9 离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点) 3. 等轴双曲线：③离心率为 4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线 特点①有共同的渐近线②四焦点共圆 双曲线6.双曲线系 （3） 共焦点的双曲线的方程为(0又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.

根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是：2－14＝1(x≥)．

x2

y2

【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，

F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）

A. B. C. D.

【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为

，故选A.

【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.

【例2】已知双曲线

有一点P，使

与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上最小，则P点的坐标为

【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的

倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.

【解析】双曲线的右焦点F（6，0），离心率

页 11

右准线为.作于N，交双曲线右支于P，

连FP，则.此时

为最小.

在的坐标为

.

中，令，得取.所求P点

考点2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法

1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程． 2．待定系数法

(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法

①与双曲线a2－b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2－b2＝t(t≠0)； ②若双曲线的渐近线方程是y＝±ax，则双曲线的方程可表示为a2－b2＝t(t≠0)；③与双曲线a2－b2＝1共焦点的方程可表示为a2－k－b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)；

x2y2

④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m＋n＝1(mn＜0)；

x2y2x2y2

⑤与椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2－λ＋b2－λ

x2

y2

x2

y2

b

x2

y2

x2

y2

x2

y2

＝1(b2＜λ＜a2)．

例2、求下列条件下的双曲线的标准方程．

(1)与双曲线9－16＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)； (2)与双曲线16－4＝1有公共焦点，且过点(3，2)．

【自主解答】(1)解法一：经检验知双曲线焦点在x轴上，故设双曲线的方

x2y292

程为a2－b2＝1，由题意，得＝1，解得a＝4，b2＝4，

9y2

所以双曲线的方程为4－4＝1.

x2

y2x2

y2

(2)解法一：设双曲线方程为a2－b2＝1，由题意易求c＝2，又双曲线过点(3，

x2y2

页 12

24x2y222222

2)，∴a2－b2＝1.又∵a＋b＝(2)，∴a＝12，b＝8. 12－8＝1.

x2y 21

解法二：设所求双曲线方程为9－16＝λ(λ≠0)，将点(－3,2)代入得λ＝4. x2y219y2

所以双曲线方程为9－16＝4，即4－4＝1.

解法二：设双曲线方程为16－k－4＋k＝1，且16－k＞0,4＋k＞0. 将点(3，2)代入得k＝4，且满足上面的不等式，所以双曲线方程为12－8＝1.

1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.

2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，以避免分类讨论．

考点3、双曲线的几何性质

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程

x2y2

例3、(12分)双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，

x2

y2

x2y2

若C上存在一点P，使→·→＝0，求此双曲线离心率的取值范围．

【规范解答】设P点坐标为(x，y)，

APPQ

则由→·→＝0，得AP⊥PQ，

APPQ

即P点在以AQ为直径的圆上，

∴(x－2)2＋y2＝(2)2.①又P点在双曲线上，得a2－b2＝1.② (a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0. 即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.6分

2a3－ab2

当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去当x＝a2＋b2时，满足题意的2a3－ab2c62222

P点存在，需x＝a2＋b2＞a，化简得a＞2b，即3a＞2c，a＜2.10分∴离心

3a

a

x2

y2

率e＝a∈(1，2).12分

例4、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的

页 13

x2

y2

c6

离心率e的取值范围是________．

|PF1|＝3|PF2|

解析：依题意得|PF1|－|PF2|＝2a，

由此解得|PF2|＝a≥c－a，即c≤2a，e＝a≤2， 即该双曲线的离心率不超过2. 又双曲线的离心率大于1，

因此该双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]．

c

【例5】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支

上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ）

A.e>

B.1C.1D.e>

【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.

【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线 的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线与双曲线的两

个交点分别在左右两支上.由

.

∵双曲线中

，故取e>

.选D.

【例6】设为双曲线，则

上的一点，

的面积为（ ） C.

是该双曲线的两个焦点，若

A． B． D．

【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；

页 14

于

是

，

故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°.

∴选B.

【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前

不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.

将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能力，这正是命题人的高明之处. 渐近线——双曲线与直线相约天涯

对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.

双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.

.

【例7】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为

点（1，3）代入：.代入（1）：

即为所求.

【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可

以简洁地设待求双曲线为

，而无须考虑其实、虚轴的位置.

共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄

将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相

页 15

共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.

【例8】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.

【证明】双曲线的离心率；

双曲线的离心率.

∴

考点5、直线与双曲线位置关系

设而不求——与借舟弃舟同理

.

减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例9】双曲线A.

的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）

B.

C.

D.

【解析】设弦的两端分别为.则有：

.

∵弦中点为（2，1），∴则所求直线方程为：

.故直线的斜率

，故选C.

.

“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.

但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：

【例10】在双曲线

线方程；如不存在，请说明理由.

上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直

如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：

【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：

页 16

.

∵M（1，1）为弦AB的中点，

∴

故存在符合条件的直线AB，其方程为：

这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：

.

其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线

的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所

求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.

问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

这里

，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.

说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.

结论；不存在符合题设条件的直线.

练习

1．(2011安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ) A．2 C．4

B．2 D．4

x2y2

化为标准形式：4－8＝1，∴a2＝4.∴a＝2.∴实轴长2a＝4.

解析：2x2－y2＝8

x2y2

2．(2011山东高考)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2

－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )

页 17

x2y2x2y2x2y2x2y2A.5－4＝1 B.4－5＝1 C.3－6＝1 D.6－3＝1 x2y2b

解析：由题意得，a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±ax，

即bx±ay＝0，又圆C的标准方程为：(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)．

|3b|

∴a2＋b2＝32＝9，且a2＋b2＝2，解得a2＝5，b2＝4.∴该双曲线x2y2

的方程为5－4＝1.

x2

3.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线4－y2＝1右支(在第一象限

内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )

111

A．(0,1) B．(0，8) C．(0，4) D．(0，2)

y1y3y

解析：设P(x，y)，则x∈(0，2)，且x2－4＝4y2(x＞0，y＞0)，∴k1k2k3＝x(x2－4＝4x∈(0，18)．

4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点Bx2y2sin B

在双曲线16－9＝1上，则|sin A－sin C|为( )

32A.2 B.3 C.4 D.5

解析：由题意得a＝4，b＝3，c＝5. A、C为双曲线的焦点，∴||BC|－|BA||＝8，|AC|＝10.

sin B|AC|105

由正弦定理得|sin A－sin C|＝||BC|－|BA||＝8＝4.

x2y2

5．P为双曲线9－16＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2

＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )

A．6 B．7 C．8

D．9

解析：易知两圆圆心为F1(－5,0)，F2(5,0)．由双曲线方程知a＝3，b＝4，则c＝5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点．

|PM|－|PN|的最大值为如图所示的情况，

即|PM|－|PN|≤|PF1|＋|F1M|－(|PF2|－|NF2|)＝|PF1|＋2－|PF2|＋1＝2a＋3＝2×3＋3＝9. 6．(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )

A.＋1 B.＋1

页 18

C．2 D．2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a.

∵△PF1F2是等腰直角三角形，

∴只能是∠PF2F1＝90°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，∴(2a＋2c)2＝2·(2c)2，

即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0.∵e＞1，∴e＝＋1.

x2y2

7．方程2－m＋|m|－3＝1表示双曲线．那么m的取值范围是________．

2－m＞0，

解析：注意分两种情况．一是实轴在x轴上，二是实轴在y轴上．依题意有|m|－3＜0，2－m＜0，

或|m|－3＞0，得m＞3或－3＜m＜2.

8．(2012大连测试)在双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|·|OB|＝15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．

解析：双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线方程为2x±y＝0，设A(m,2m)，B(n，－2n)，AB2m－2n，

中点M(x，y)，则，即y＝m－n，所以4x2－y2＝4mn.

由|OA|·|OB|＝×＝|m|×|n|＝15，得|mn|＝3，

x2y2

所以AB中点的轨迹方程是4x2－y2＝±12，即3－12＝±1.

x2y2b2＋1

9．双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则3a的最小值是________． cc2b2＋13a2＋1113

22222

解析：a＝2⇒a2＝4⇒a＋b＝4a⇒3a＝b，则3a＝3a＝a＋3a≥23＝3， 133当a＝3a，即a＝3时取最小值3.

10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(－3,0)，一条渐近线的方程是 x－2y＝0.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的81

垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k的取值范围．

x2y2a2＝4，

解：(1)设双曲线C的方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，由题设得5解得b2＝5.

所以双曲线C的方程为：

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x2y2

(2)设直线l的方程为：4－5＝1. y＝kx＋m(k≠0)，

y2x2(kx＋m

则点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组＝1， ②得4－5＝1， 整理得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝0.此方程有两个不等实根，于是5－4k2≠0， 且Δ＝(－8km)2＋4(5－4k2)(4m2＋20)＞0，整理得m2＋5－4k2＞0.③

x1＋x24km

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足x0＝2＝5－4k2，y0＝kx0

5m5m14km

＋m＝5－4k2，从而线段MN的垂直平分线的方程为y－5－4k2＝－k(x－5－4k2)．

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为

9km9m19km9m81(5－4k2，0)，(0，5－4k2)，由题设可得2|5－4k2|·|5－4k2|＝2， (5－4k2(5－4k2

整理得m2＝|k|，k≠0.将上式代入③式得|k|＋5－4k2＞0， 55

整理得(4k2－5)(4k2－|k|－5)＞0，k≠0，解得0＜|k|＜2或|k|＞4. 5555

所以k的取值范围是(－∞，－4)∪(－2，0)∪(0，2)∪(4，＋∞)． 10．(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C的方程；

(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

x2y2

解：(1)设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2. x2

又a2＋b2＝c2，得b2＝1.故双曲线C的方程为3－y2＝1. x2

(2)联立－y2＝1整理得，(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. 1－3k2≠0，

∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴Δ＝12(m2＋1－3k2

1

可得m2＞3k2－1且k2≠3.①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)， 6kmx1＋x23kmm

则x1＋x2＝1－3k2，x0＝2＝1－3k2，y0＝kx0＋m＝1－3k2. 3km1

由题意，AB⊥MN，∵kAB＝1－3k2＝－k(k≠0，m≠0)．

整理得3k2＝4m＋1.②将②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4.

11

又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－4.∴m的取值范围是(－4，0)∪(4，＋∞)．

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11已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=

的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)

动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论

解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得

,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为

=1

(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2） 假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有

，∴kl=∴l的方程为

y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不

存在

12．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为

线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

错解 设符合题意的直线存在，并设、

则 （1）得

因为A（1，1）为线段PQ的中点， 所以 将

(4)、(5)代入（3）得

若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方

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程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推

出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。 应在上述解题的基础上，再由

得 根据,说明所求直线不存在。

13已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）

，那么A、B、C、

求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且

D四点是否共圆？为什么？

解：（1）设直线AB：

（＊）

代入得

令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 且

∵ ∴

∴ N是AB的中点 ∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1

或

由

（2）将k = 1代入方程（＊）得

∴

CD中点

，即

则

∵

得，

∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为

令

， ∴

，

，

及

代入双曲线方程整理得

，

|CD| =，

到M距离相等

∴ A、B、C、D四点共圆

，即A、B、C、D

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