高三数学复习平面向量(知识点加练习题)

2013高三数学复习平面向量

【考纲知识梳理】

一、平面向量的概念及其线性运算 1、向量的有关概念及表示方法 （1）向量的有关概念 名称 向量 定义 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或模） 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 （2）向量的表示方法

①字母表示法，如：a,AB等；

②几何表示法：用一条有向线段表示向量。 2、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 平行向量双叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 记作0 备注 0与任一向量平行或共线 0的相反向量为0 （1）交换律： abba。 加法 求两个向量和的运算 （2）结合律： (ab)ca(bc)

求a与b的相反向量减法 b的和的运算叫做a与b的差 求实数λ与向量a的积的运算 （1）aa. （2）当λ>0时，a与a的方向相同；当λ<0时, a与a的方向相反；当λ=0时, a=0 (a)()a; ()aaa; 数乘 (ab)ab 3、向量a(a0)与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数，使ba.

AC，然后证明AB=AC，即AB与AC共线注：用向量法证明三点A、B、C共线时，首先求出AB、即可。

二、平面向量的基本定理及坐标表示 1、两个向量的夹角 （1）定义

已知两个非零向量a和b，作OAa,OAb，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角。 注：在ΔABC中，设ABa,BCb，则向量a与b的夹角为∠ABC是否正确？ （2）范围

向量夹角θ的范围是0≤θ≤180，a与b同向时，夹角θ=0；a与b反向时，夹角θ=180。

0

0

0

0

（3）向量垂直

如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作a⊥b。

0

3、平面向量的坐标运算 （1）加法、减法、数乘运算 （2）向量坐标的求法 （3）平面向量共线的坐标表示

设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b≠0，则a与b共线a=λb x1y2x2y10。

三、平面向量的数量积及其应用举例 （一）主要知识：

1．平面向量数量积的概念；

2|a|a、2．平面向量数量积的性质：

2cosa,bab|a||b|；

3．向量垂直的充要条件：abab0．

【热点难点精析】

一、平面向量的概念及其线性运算 （一）向量的有关概念

1、着重理解向量以下几个方面：

（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。 2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况： （1）零向量的方向及与其他向量的关系； （2）单位向量的长度及方向。

【例1】下列结论中，不正确的是 （ ） （A） 向量AB，CD共线与向量AB//CD同义； （B） 若向量AB//CD，则向量AB与DC共线； （C） 若向量AB=CD，则向量BA=DC； （D） 只要向量a，b满足|a|=|b|，就有a=b。 【例2】给出下列命题：

①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②若ABDC,则ABCD为平行四边形； ③若a//b,b//c,则ac； ④若a//b,b//c,则a//c。

其中正确命题的个数是 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （二）向量的线性运算

（1）用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法、数乘向量外，

还应充分利用平面几何的一些定理；

（2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。

【例3】如图，在ABC中，ADAB,BC3BD,

AD1,则ACAD .

（三）向量的共线问题

〖例〗设两个非零向量a与b不共线，

（1） 若ABab,BC2a8b,CD3(ab).求证：A、B、D三点共线； （2） 试确定实数k，使kab和akb共线 二、平面向量的基本定理及坐标表示

1、向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用；

2、利用向量的坐标运算解题。主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；

3、利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数；

4、向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算。

平面向量共线的坐标表示

1、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件；

2、向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法。解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题。

〖例〗已知a(1,2),b(3,2),当k为何值时，kab与a3b平行；平行时它们是同向还是反向？ （四）向量与其他知识的综合

〖例〗已知向量u(x,y)现向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示。设a(1,1),b(1,0)，

求向量f(a)与f(b)的坐标；

三、平面向量的数量积及平面向量应用举例 （一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题

1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式ab|a||b|cos来计算，二是利用

abx1x2y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。

2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

(1)|a|2aaa;(2)|ab|2(ab)2a2abb; (3)若a(x,y),则|a|x2y2.〖例〗已知|a|3,|b|4,，a与b的夹角为（二）平面向量的垂直问题

1、非零向量abab0x1x2y1y20

2、当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示。 注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。 （三）平面向量的夹角问题

1、当a与b是非坐标形式时，求a与b的夹角。需求得ab及a,b或得出它们的关系。 2、若已知a与b的坐标，则可直接利用公式cos2223，求：（1）(3a2b)(a2b)；（2）|ab|。 4x1x2y1y2xy2121xy2222.

注：平面向量a、b的夹角

〖例〗已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角θ。

【考点精题精练】

1．若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（ ） A．(ab)ca(bc)

C．m(ab)mamb

B．(ab)cacbc D．(ab)ca(bc)

2．已知a(1,2),b(x,1)，且a2b与2ab平行，则x（ ）

（A）1

（B）2

（C）

1 3（D）

1 23．已知|a|2,|b|1,a与b的夹角为60，又，cma3b,d2amb,且cb，则实数m的值为

（A）0

（B）6或－6

（C）1或－6

（D）－1或6

4.向量a(1,2)、b(x,x2)满足ab(R)，则实数 ．

→＋CD→＋EF→＝( )．

5.如图，正六边形ABCDEF中，BA

A．0

→ C.AD→ B.BE

→ D.CF

→等于( )．

6.D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→＋1BA→ A．－BC

2→－1BA→ C、BC

2

→－1BA→ B．－BC

2→＋1BA→ D.BC

2

→＋DC→－2DA→)·→－AC→)＝0，则△ABC的形状

7.平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(DB(AB是( )．

A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定

BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若ABAF2，8.如图，在矩形ABCD中，AB2，则AEBF的值是 ．

→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·→＝________.

9.在边长为1的正三角形ABC中，设BCBE

→|＝1，AP→＝2PM→，则P→→＋PC→)＝_______ 10.在△ABC中，M是BC的中点，|AMA·(PB

11.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为

12．点P在△ABC内一点，且AP=

．

A N B 2 AB+tAC则t的取值范围是 3M C．

O C

A．02 3B．01 312A．

1 2

11AB +AC，则SPBC：SABC= 。 23111B． C． D．

361214．已知圆C的半径为3，直径AB上一点D使AB3AD,E,F为另一直径的两个端点，则

DEDF( )

A．3

B．4

C．8

D．9

15.若两个非零向量a,b满足abab2a，则向量ab与ab的夹角是 ．

16.若非零向量a，b满足abb，则（ ） Ａ．2aab Ｃ．2bab

Ｂ．2a2ab Ｄ． 2ba2b