三角函数图像及性质习题及

§

三角函数的图象与性质

(时间： 45 分钟

满分： 100 分 )

一、选择题

(每题 7 分，共

35 分)

1．设函数 f(x)＝ sin

π， x∈R ，则2x－ 2f(x)是 ( )

A ．最小正周期为 π的奇函数 B．最小正周期为

π的偶函数

π

C．最小正周期为 2的奇函数

π

D．最小正周期为 2的偶函数

2． y＝ sin x－π

的图象的一个对称中心是

(

)

4

－3π A ． (－ π， 0)

B. 4，

0

3π ， 0，

π

0

C. 2

D. 2

.

3． (2010 江·西 )函数 y＝sin2x＋ sin x－ 1 的值域为 (

)

A.[－1，1]

B. －

5

，－1

4 5

C. －

5

，1

D. －1，

4

4

4．若是函数 y＝ 3cos(2x＋ φ)的图象关于点4π，

0

中心对称，那么 |φ|的最小值为 ()

3

π π π

π

A. 6

B.． “ x＝ ”是“函数π4

C.3

D. 2

5 y＝ sin 2x

获取最大值”的 (

)

4

A ．充分不用要条件 B ．必要不充分条件

C．充要条件

D ．既不充分也不用要条件

二、填空题 (每题 6 分，共 24 分 )

6．若函数 f(x)＝ 2sin ωx(ω>0)在2π， 2π

－ 上单调递加，则 ω的最大值为 ________．

3 3 7．函数 y＝lg(sin x)＋ cos x－1

的定义域为 ________________ ．

2

π

8． (2010 江·苏 )设定义在区间 (0，2) 上的函数 y＝6cos x 的图象与 y＝ 5tan x 的图象交于点1 / 4

P，

三角函数图像及性质习题及

过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P P 的长为 ________．

1 2

P1，直线 PP1 与函数 y＝ sin x 的图象交于点

P2，则线段

9．给出以下命题：

2

π

①函数 y＝ cos 3x＋2 是奇函数；

3

②存在实数 α，使得 sin α＋ cos α＝ ；

③若 α、 β是第一象限角且 α<β，则 tan α④ x＝ 是函数 y＝ sin

π 8

5π

的一条对称轴；

2x＋ 4 π

π

⑤函数 y＝ sin 2x＋ 3 的图象关于点 12， 0 成中心对称图形． 其中正确的序号为 ________． (填所有正确的序号 )

三、解答题 (共 41 分 )

π

10． (13 分 )已知 f(x)＝ sin x＋ sin 2 －x .

1

(1)若 α∈ [0， π]，且 sin 2α＝ 3，求 f(α)的值；

(2)若 x∈ [0， π]，求 f(x)的单调递加区间．

π

11． (14 分)设函数 f(x)＝sin (2x＋ φ) (－ π<φ<0)， y＝ f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝ 8.

(1) 求 φ；

(2) 求函数 y＝ f(x)的单调增区间．

ππ时，－ 5≤ f( x)≤1. 12． (14 分 )已知 a>0，函数 f(x)＝－ 2asin 2x＋＋ 2a＋ b，当 x∈ 0，

6 2

(1)求常数 a，b 的值；

π

(2) 设 g(x)＝f x＋且 lg g(x)>0，求 g( x)的单调区间．

2

答案

3

6. 4 10. 解

π

＋ 2kπ (k∈ Z)

8.

2

7. 2kπ， 3 3 9.①④

(1)由题设知 f( α)＝ sin α＋ cos α.

1

∵ sin 2α＝ 3＝ 2sin α·cos α>0， α∈[0， π]，

π

∴ α∈ 0，2 ， sin α＋cos α>0.

4

由 (sin α＋ cos α)2＝ 1＋ 2sin α·cos α＝ 3，

2 / 4

三角函数图像及性质习题及

2

2

得 sin α＋ cos α＝ 3 3， ∴ f(α)＝ 3 3.

π

(2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin x＋4 ，又 0≤ x≤ π，

π

∴ f(x)的单调递加区间为

0，4 .

谈论 求解三角函数的单调区间时必然要注意定义域与周期对其单调性的影响．

π

π

解 (1) 令 2× 8＋ φ＝ kπ＋ 2，k∈ Z ，

π

∴ φ＝kπ＋

51

4，又－ π<φ<0 ，则－ 3π4∴ k＝－ 1，则 φ＝－.

4

3π

(2)由 (1) 得： f(x)＝ sin 2x－ 4 ，

π 令－ ＋ 2kπ≤ 2x－ 3π π

≤

＋ 2kπ，

2

4 2 π

5π

可解得 8＋ kπ≤ x≤ 8 ＋ kπ， k∈ Z ，

π

5π

因此 y＝f(x)的单调增区间为 8＋ kπ， 8 ＋kπ， k∈ Z.

π

x＝ 8求出 φ时，易忽略条件－ π<φ<0，因此本题在求谈论 在依照对称轴 个

易错点．

解 (1)∵ x∈ 0，π π π 7π

， ∴ 2x＋ ∈

，

.

2

6

6

6

π

1

∴ sin 2x＋ 6 ∈ － 2， 1 ，

π

∴ － 2asin 2x＋6 ∈ [ － 2a， a] ．

∴ f(x)∈[ b,3a＋ b]，又 ∵－ 5≤ f(x) ≤1， ∴ b＝－ 5,3a＋ b＝ 1，因此 a＝ 2，b＝－ 5. (2)由 (1) 得 a＝ 2， b＝－ 5，

π

∴ f(x)＝－ 4sin 2x＋ 6 － 1，

π 7π

g(x)＝ f x＋ 2 ＝－ 4sin 2x＋ 6 － 1

3 / 4

时，是一

11.

φ12.

三角函数图像及性质习题及

π

＝ 4sin 2x＋6 － 1，

π

又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1，∴ 4sin 2x＋ 6 － 1>1，

π 1

∴ sin 2x＋ 6 >2，

π

π

5π

∴ 2kπ＋ 6<2x＋ 6<2kπ＋ 6 ， k∈ Z ，

π π π π

其中当 2kπ＋ <2x＋ ≤ 2kπ＋ ， k∈ Z 时， g(x)单调递加，即 kπ6 6 2 6

π ∴ g(x)的单调增区间为 kπ， kπ＋ 6 ，k∈ Z .

5π π π

π π

又 ∵ 当 2kπ＋ 2<2x＋ 6<2kπ＋ 6 ，k∈ Z 时， g(x)单调递减，即 kπ＋6∴ g(x)的单调减区间为

kπ＋ 6， kπ＋3 ， k∈ Z . 谈论 注意．

注意到 a>0 使本题防备了谈论．本题的计算量较大是易错点，解题时要多加

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