【走向高考】2020年高考数学总复习 1-4 函数的奇偶性与周期性课后作业 新人教A版

课后作业 新人教A版 \"

1.(文)(2020·北京西城区抽检)下列各函数中，( )是R上的偶函数( ) A．y＝x－2x C．y＝cos2x [答案] C

[解析] A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C. (理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A．f(x)＝sinx 1x－xC．f(x)＝(a＋a)

2[答案] D

[解析] y＝sinx与y＝ln

2－x1x－x为奇函数，而y＝(a＋a)为偶函数，y＝－|x＋1|是2＋x2

B．f(x)＝－|x＋1| D．f(x)＝ln

2－x 2＋x2

B．y＝2 D．y＝

1

|x|－1

x非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选D.

2．已知g(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f(x)的零点共有( )

A．1005个 C．2020个 [答案] D

[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g(x)在(0，＋∞)上与x轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f(0)＝0，∴共有零点2020个．

3．(文)(2020·全国理)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，5

则f(－)＝( )

2

1

A．－

21C. 4[答案] A

5111

[解析] f(－)＝f(－)＝－f()＝－.

2222

(理)(2020·兰州诊断)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)＝( )

1

1

B．－

41D. 2B．1006个 D．2020个

fx，

A．4.5 C．0.5 [答案] D

[解析] ∵f(x＋2)＝－

1

B．－4.5 D．－0.5

fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－

f1x＋2

＝f(x)，∴

f(x)周期为4，∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5.

4．(2020·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )

A．3 C．－1 [答案] D

[解析] 由条件知f(0)＝0，∴b＝－1， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2×1－1)＝－3. 5．函数y＝log2

2－x的图象( ) 2＋x1

xB．1 D．－3

A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 [答案] A [解析] 首先由log2

2－x2－x>0得，－2fx－f－x<0

x的解集为( )

A．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] D

[解析] ∵f(x)为奇函数， ∴不等式B．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)

fx－f－x<0化为xf(x)<0，

x∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0， ∴当01时，f(x)>0， 又f(x)为奇函数，∴当－10，

当x<－1时，f(x)<0.

∴不等式xf(x)<0的解集为07．(2020·深圳中学)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式________．

fx<0的解集是

gx

[答案] －

ππ

，0∪，π 33

[解析] 依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、

g(x)的图象，

∵

fx<0fx<0，∴

gxgx>0

，或

fgx>0x<0

，观察两函数的图象，其中一个在xππ

轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－33

x－1 x>0

8．(文)函数f(x)＝a x＝0

x＋b x<0

[答案] 1

是奇函数，则a＋b＝________.

[解析] ∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.

a－ex(理)若函数f(x)＝ x(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．

1＋ae

[答案] 1或－1

a－e－xaex－1

[解析] f(－x)＝ －x＝x1＋aee＋af(x)＋f(－x)

＝

a－exa＋ex＋1＋aexx1＋aeex＋aaex－1

a2－e2x＋a2e2x－1

＝＝0恒成立， x1＋aeex＋a所以a＝1或－1.

1.f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝2－1，则f(log1 6)＝( ) 2

1

A. 21

C. 6[答案] B

[解析] ∵log1 6＝－log26<0，

2且f(x)为奇函数，

∴f(log1 6)＝－f(log26)．

2又∵f(x＋2)＝f(x)，

3

∴f(log26)＝f(log26－2)＝f(log2)，

23

而log2∈(0,1)．

2

3 331log

∴f(log2)＝222 －1＝－1＝.

2221

∴f(log1 6)＝－.

2

2

2．(2020·开封调研)已知f(x)(x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则

1

B．－

2D．6

xf(3)等于( )

1A. 23C. 2[答案] C

[分析] 为求f(3)先求f(1)，为求f(1)先在f(x＋2)＝f(x)＋f(2)中，令x＝－1，利

B．1 D．2

用f(x)为奇函数，可解出f(1)．

[解析] 令x＝－1得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)， 113

∴f(1)＝f(2)＝，∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝. 222

[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：

3若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则f等于( )

2

A．0 1

C. 2[答案] C

333[解析] 在f(x＋3)＝f(x)＋f(3)中取x＝－得，f＝f－＋f(3)，∴f(x)是奇函222数，且f(3)＝1，

B．1 1D．－

2

31∴f＝. 22

3．(2020·泰安模拟)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程

f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )

A．1 C．3 [答案] B

[解析] 由f(2)＝0，得f(5)＝0， ∴f(－2)＝0，f(－5)＝0. ∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，

B．4 D．2

f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0，

故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,个．

4．(文)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若

g(1)＝2，则f(2020)的值为( )

A．2 C．－2 [答案] A

[解析] 由已知：g(－x)＝f(－x－1)， 又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，

∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，

B．0 D．±2

即f(x)的周期T＝4，

∴f(2020)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A. (理)已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝A．2 1

C．－

2[答案] C

11

[解析] 由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)

23＝f(x) (x∈N)．

∴f(x)的周期为4， 1

故f(2020)＝f(3)＝－.

2[点评] 严格推证如下：

*

1＋f1－fx，则f(2020)等于( ) xB．－3 1D. 3

f(x＋2)＝

1＋f1－fx＋11

＝－，

x＋1fx∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为4. 故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N，k∈N)，

1

5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋

2

*

*

f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.

[答案] 0

1

[解析] ∵f(x)的图象关于直线x＝对称，

2

11∴f＋x＝f－x，对任意x∈R都成立， 22

∴f(x)＝f(1－x)，又f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x) ＝f(－1－x)＝f(2＋x)，

∴周期T＝2 ∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0 1

又f(1)与f(0)关于x＝对称

2∴f(1)＝0 ∴f(3)＝f(5)＝0. 6．已知函数f(x)＝x|x－a|＋2x－3.

(1)若a＝4，求当x∈[2,5]时函数f(x)的最大值； (2)若函数f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．

[解析] (1)当a＝4时，f(x)＝x|x－4|＋2x－3. 若2≤x<4，则f(x)＝－x＋6x－3＝－(x－3)＋6， ∴当x＝3时，f(x)有最大值是f(3)＝6. 若4≤x≤5，则f(x)＝x－2x－3＝(x－1)－4， ∴当x＝5时，f(x)有最大值f(5)＝12. 故当x∈[2,5)时，f(x)的最大值是12.

x－a－2x－3 x≥a(2)由于f(x)＝2

－x＋a＋2x－3 x2

2

2

2

2

a－2

2≤a依题意，f(x)是R上的增函数⇒a＋2

2≥a－2≤a≤2.

⇒－2≤a≤2，∴实数a的取值范围是

7．(文)(2020·泉州模拟)已知函数f(x)＝loga(1)求m的值；

1－mx(a>0且a≠1)是奇函数． x－1

(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；

(3)当a>1，x∈(1，3)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a的值．

[解析] (1)∵f(x)是奇函数，x＝1不在f(x)的定义域内，∴x＝－1也不在函数定义域内，

令1－m·(－1)＝0得m＝－1. (也可以由f(－x)＝－f(x)恒成立求m) (2)由(1)得f(x)＝logax＋1

(a>0且a≠1)， x－1

任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x＋1x1＋1x2＋1

，则t(x1)＝，t(x2)＝， x－1x1－1x2－1

x1＋1x2－12x2－x1

－＝， x1－1x2－1x1－1x2－1

∴t(x1)－t(x2)＝

∵x1>1，x2>1，x10，x2－1>0，x2－x1>0. ∴t(x1)>t(x2)，即∴当a>1时，logax1＋1x2＋1

>， x1－1x2－1

x1＋1x2＋1

>loga， x1－1x2－1

即f(x1)>f(x2)；

当0即f(x1)∴当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，当0(3)∵a>1，∴f(x)在(1，3)上是减函数， ∴当x∈(1，3)时，f(x)>f(3)＝loga(2＋3)， 由条件知，loga(2＋3)＝1，∴a＝2＋3. (理)已知函数f(x)＝－x＋8x，g(x)＝6lnx＋m. (1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

[解析] (1)f(x)＝－x＋8x＝－(x－4)＋16， 当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，

2

2

2

h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)

＝－t＋6t＋7；

当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16； 当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，

2

h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.

－t＋6t＋7，t<3

综上，h(t)＝16 3≤t≤4

－t2＋8t， t>4

2

.

(2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝

g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．

∵φ(x)＝x－8x＋6lnx＋m， 62x－8x＋6

∴φ′(x)＝2x－8＋＝

2

2

xx＝

2x－1

xx－3

(x>0)．

当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，φ′(x)<0，φ(x)是减函数； 当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)是增函数； 当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0. ∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，

φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.

∵当x充分接近0时，φ(x)<0； 当x充分大时，φ(x)>0.

∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需

φφxx极大值极小值

＝m－7>0＝m＋6ln3－15<0

，即7所以存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15－6ln3)．

1．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( ) A．f(x)是偶函数 C．f(x)＝f(x＋2) [答案] D

[解析] 由于f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(1,0)，∴f(1＋x)＝－f(1－x)，即f(x)＝－f(2－x)．又f(x－1)是奇函数，则函数f(x)的对称中心为(－1,0)，

∴f(－1＋x)＝－f(－x－1)，即f(x)＝－f(－2－x)，

∴f(2－x)＝f(－2－x)，∴f(4－x)＝f(x)．可知4为函数f(x)的周期，则f(x＋3)是奇函数，故选D.

2．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝

B．f(x)是奇函数 D．f(x＋3)是奇函数

f(log47)，b＝f(log1 3)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是( )

2

A．c[解析] 由题意知f(x)＝f(|x|)．

∵log47＝log27>1，|log1 3|＝log23>log27，0<0.2<1，

2∴|log1 3|>|log47|>|0.2|.

2

又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数， ∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数． ∴b3．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞]时，f(x)＝x－1，则不等式f(x－1)<0的解

0.6

0.6

B．b集是( )

A．{x|－1[解析] ∵f(x)为偶函数，x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，∴当x∈(－∞，0]时，f(x)＝f(－x)＝－x－1，

x－1≥0，

∴f(x－1)<0⇒

x－1－1<0

B．{x|x<0或1x－1<0，

或

－x－1

－1<0，

解之得04．若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e，则有( ) A．f(2)[解析] 由已知，f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)＝e，∴f(x)＋g(x)＝e，又f(x)－g(x)＝e，

故f(x)＝

x－x－xxB．g(0)ex－e－x22

，g(x)＝－

ex＋e－x2

.

∵f ′(x)＝

ex＋e－x>0，故f(x)单调递增， >0>g(0)，故选D.

∴f(3)>f(2)＝

e2－e－2

2

5．给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝

fx＋fy.下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )

1－fxfyA．f(x)＝3 C．f(x)＝log2x [答案] B

[解析] 选项A，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)； 选项C满足f(xy)＝f(x)＋f(y)； 选项D，满足f(x＋y)＝

1－fxB．f(x)＝sinx D．f(x)＝tanx

fx＋fy.

xfy2

2

6．定义两种运算：a⊗b＝a－b，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝A．是偶函数 B．是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

2⊗x( )

x⊕2－2

D．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B

4－x[解析] f(x)＝，

|x－2|－2∵x≤4，∴－2≤x≤2，

又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．

4－x则f(x)＝，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.

－x7.函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)．定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，则函数g(x)的最大值为( )

2

2

2

A．0 C．1 [答案] C

2x 0≤x≤1

[解析] 由图象可知f(x)＝

－x＋3 1所以g(x)＝

－x＋3

B．2 D．4

，

0≤x≤1

x－1 1，

当x∈[0,1]时，g(x)的最大值为g(0)＝g(1)＝0；当x∈(1,3]时，g(x)的最大值为g(2)＝1.综上可知，函数g(x)的最大值为1.

8．对于函数f(x)定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)， ①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③

fx1－fx2

x1－x2

>0；④

x1＋x22

当f(x)＝2时，上述结论中正确结论的序号是______． [答案] ①③④

[解析] 由于21＋2＝21·22，所以①正确；由于f(x)在R上为增函数，即当x1xxxxxfx1－fx2xf(x1)0，因此③正确；又f(x)＝2的图象向下凸出，所以

x1－x2

④正确．而2

0×1

≠2＋2，所以②不正确，故填①③④.

01

1

9．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f()＝0，则满足f(log1 x)<0

2

4的集合为________．

1

[答案] (0，)∪(2，＋∞)

2

11

[解析] 由题意知f(x)<0的解为x>或x<－，

2211

∴由f(log1 x)<0得log1 x>或log1 x<－，

22

4441

∴02.

2