2018高考数学考点突破——函数与导数、定积分：函数的单调性与最值 Word版含解析

函数的单调性与最值

【考点梳理】

1．增函数、减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：

(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)； (2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)． 2．单调性、单调区间的定义

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M是y＝f(x)的最大值 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M是y＝f(x)的最小值 条件 结论 【考点突破】 考点一、函数单调性的判断

【例1】(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________． k

(2)试讨论函数f(x)＝x＋x(k＞0)的单调性． [答案] (1)(－∞，－1)

[解析] (1) 由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，

t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．

(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)

kk

内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝x2＋x－x1＋x＝(x2－x1)＋

21x1x2－k11kx－x＝(x2－x1)xx. 2112

因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0. 故当x1，x2∈(k，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)， 即函数在(k，＋∞)上单调递增. 当x1，x2∈(0，k)时，f(x1)＞f(x2)， 即函数在(0，k)上单调递减．

k

考虑到函数f(x)＝x＋x(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k)上单调递增，在(－k，0)上单调递减．

综上，函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减.

k

法二：f′(x)＝1－x2.

令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞).

令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－k，0)和(0，k).

故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上单调递增，在(－k，0)和(0，k)上单调递减. 【类题通法】

1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．

2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． 【对点训练】

1．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A．y＝x3 1

C．y＝x [答案] C

[解析] 选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义11x1－x2

域内为单调递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝x－x＝xx，

211211

因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，x－x＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，

2

1

B．y＝x 1D．y＝2x



111－＞0，所以函数y＝x2x1x在定义域上不是单调函数，故选C.

2．函数f(x)＝log1(x2－4)的单调递增区间是( )

2

A．(0，＋∞) C．(2，＋∞) [答案] D

B．(－∞，0) D．(－∞，－2)

[解析] 由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y＝log1t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，

2

即求函数t＝x2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．

考点二、利用函数的单调性求最值

x2＋2x＋a

【例2】已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1. x1

(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

111

[解析] (1)当a＝2时，f(x)＝x＋2x＋2，f′(x)＝1－2x2＞0，x∈[1，＋∞)， 17

即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋2×＋2＝

12. a

(2)f(x)＝x＋x＋2，x∈[1，＋∞)．

法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数． f(x)min＝f(1)＝a＋3.

要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0， ∴－3＜a≤0.

②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数， f(x)min＝f(1)＝a＋3，

∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.

综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，1]. a

法二：f(x)＝x＋x＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，

∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为(－3，1]. 【类题通法】

利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． 【对点训练】

函数f(x)＝[答案] 2

[解析] 法一：∵f′(x)＝

－1x－12

，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，

x

(x≥2)的最大值为________． x－1

∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2. 法二：∵f(x)＝

xx－1

＝x－1＋1x－1

＝1＋

1x－1

，

1

∴f(x)的图象是将y＝x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到1

的．∵y＝x在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.

1

法三：由题意可得f(x)＝1＋. x－1∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜

1

1x－1

≤1，

∴1＜1＋

x

≤2，即1＜≤2. x－1x－1

故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.

考点三、函数单调性的应用

【例3】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．a[解析] 因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，b【例4】已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调1递增，则不等式f(2x－1)＜f3的x的解集是________．

12[答案] 2，3



B．a2x－1≥0，

[解析] 由题意知1

2x－1＜3，

实数a的取值范围是( )

1

A.－4，＋∞ 1C.－4，0 

1

x≥2，即2

x＜3，

12

所以2≤x＜3. 【例5】(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则

1B.－4，＋∞ 1D.－4，0 

a－2x－1，x≤1，

(2)已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，logax，x＞1，则实数a的取值范围为________．

[答案] (1)D (2)(2，3]

[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

1当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－a， 因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 11

所以a＜0，且－a≥4，解得－4≤a＜0. 1

综上所述，实数a的取值范围是－4，0.

(2)要使函数f(x)在R上单调递增， a＞1，

则有a－2＞0，

f1≤0，解得2＜a≤3，

即实数a的取值范围是(2，3]．

a＞1，

即a＞2，a－2－1≤0，

【类题通法】

1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． 【对点训练】

1．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则( )

132231A．f3213321C．f3[答案] B

[解析] 由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而1111123

x＝1为对称轴，∴f2＝f1＋2＝f1－2＝f2，又3<2<3<1，



112132

∴f3＞f2>f3，即f3>f2>f3. 

12．已知函数f(x)为R上的减函数，若m＜n，则f(m)________f(n)；若fx

＜f(1)，则实数x的取值范围是________．

[答案] ＞ (－1,0)∪(0,1)

1

[解析] 由题意知f(m)＞f(n)；x＞1，

即|x|＜1，且x≠0.故－1＜x＜1且x≠0.

3．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是( ) A．(－∞，1] C．[－1，＋∞) [答案] A

[解析] 因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1. a－2x，x≥2，4．已知函数f(x)＝1x

－1，x<22

B．(－∞，－1] D．[1，＋∞)

满足对任意的实数x1≠x2，都有

fx1－fx2

<0成立，则实数a的取值范围为( )

x1－x2

A．(－∞，2) C．(－∞，2] [答案] B

[解析] 由题意可知，函数f(x)是R上的减函数，

13

B．－∞，8

13D．8，2



a－2<0，

于是有12

－1，a－2×2≤2

13

由此解得a≤8，

13

即实数a的取值范围是－∞，8 .

