参数估计

第一节 参数估计的基本原理

1.估计量：用来估计总体参数的统计量的名称。用表示。估计值：用来估计参数时计算出来的估计量的具体数值。

2.参数估计的方法有点估计和区间估计两种。点估计就是用样本估计量直接作为总体参数的估计值。区间估计是指区间估计是在点估计的基础上估计出总体参数一个可能的范围，同时还给出总体参数以多大的概率落在这个范围之内。 3.设为总体x 的未知参数，X1，X2，X3，Xn 为来自总体的容量为n的简单随机样本，对于预先给定的一个充分小的正数，我们构造两个统计量：

；

。

（1，2）使得P(12)=1-，则称区间为总体参数的区间估计或者置信

区间。1-称为置信区间的置信度，也称置信概率、置信系数或 置信水平。1称为置信上限，2称为置信下限。

4.评价估计量的标准：（1）无偏性；（2）有效性；（3）一致性。

第二节 一个总体参数的区间估计

5.总体均值的区间估计：（1）重复抽样时，当总体服从正态分布且2已知时，或者总体不是正态分布但为大样本时，样本均值x的抽样分布均为正态分布，即

zx/n~N(0，1），总体均值在（1-）置信水平下的置信区间为xz2n；

（2）不重复抽样时，当总体服从正态分布且2已知时,总体均值在（1-）置信水平下的置信区间为xz2Nnn. N1（3）重复抽样时，若总体方差2未知，在大样本条件下，总体均值在（1-）

置信水平下的置信区间为xz2sn。

（4）不重复抽样时，总体服从正态分布，总体方差2未知，在大样本条件下，总体均值在（1-）置信水平下的置信区间为xz2sNn。 nN1（5）重复抽样时，总体方差2未知，在小样本条件下，总体均值在（1-）置信水平下的置信区间为xt(n1)2sn。

（6）不重复抽样时，总体方差2未知，在小样本条件下，总体均值在（1-）置信水平下的置信区间为xt(n1)2sNn。 nN16.总体均值μ的区间估计（置信度为1-)（简单随机抽样和等距抽样） 总体 分布 样本 容量 σ已知重复抽样 σ已知不重复抽样 小样本 (<30) 正态 分布 大样本 (>=30) xz2n xz2Nnn N1xz2n xz2Nnn N1小样本 (<30) 非正态分布 大样本 (>=30) —— —— xz2n xz2n 总体 分布 样本 容量 σ未知重复抽样 σ未知不重复抽样 小样本 (<30) 正态 分布 大样本 (>=30) xt(n1)2sn sNn xt(n1)nN12xz2sn xz2sNn nN1小样本 (<30) 非正态分布 大样本 (>=30)

—— —— xz2sn xz2sNn nN1总体比率的区间估计：样本比率p的抽样分布：z=

p(1)n~N(0，1）

总体比率p在（1-）置信水平下的置信区间pz2p(1p)。 n7.总体方差的区间估计：正态总体方差2在(1-)置信水平的置信区间为

22（n1)s（n1)s ，22122第三节 两个总体的区间估计

8.两个总体均值之差的区间估计：两个样本均值之差经标准化后服从标准正态分

（xx2）(12)2布，即1~N（0，1）。（1）当两个总体的方差12，2都已知

22n1n2时，两个总体均值之差在（1-）置信水平下的置信区间为

(x1x2)z212n122n2；

2（2）当两个总体的方差12，2都已知时，两个总体均值之差在（1-）置信水

2s12s2。 n1n2平下的置信区间为(x1x2)z29.两个总体比率之差的区间估计：两个样本的比率之差标准化后服从标准正态分布，即z=

（p1p2)(12)1(11)n12(12)n2~N(0，1），两个总体比率之差在1-）置信

水平下的置信区间为(p1-p2)z2p1(1p1)p2(1p2). n1n210.两个总体方差比的区间估计：两个总体方差比在（1-）置信水平下的置信区

2222s1/s2s1/s2，间为。 FF122注意看课本137页至128页的表格。

2z10.估计总体均值时样本量的确定：n=22。 ，其中EzEn2z2(1)(1)，其中E=。 zE2n22211.估计总体比率时样本量的确定：n=当的值无法知道时，通常取0.5.

第五章 假设检验

第一节 假设检验的基本原理

1.假设检验是指根据样本信息对所提出的假设做出判断。 2.假设检验的基本原理：小概率事件在一次随机试验当中不可能发生。(小概率原理）

3.原假设通常是研究者想搜集予以反对的假设，也称零假设，用H0表示。 4.备择假设通常是研究者想搜集证据予以支持的假设，也称研究假设，用H0或Ha表示。

5.假设检验的基本形式。 单侧检验 假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验 原假设 H0=  H0 H0 备择假设 H1≠ H1<  H1>  6.两类错误：（1）当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误称为第Ⅰ类错误，又称弃真错误，犯第一类错误的概率记为；（2）当原假设为假时，没有拒绝原假设，所犯的错误称为第Ⅱ类错误，又称取伪错误，犯第二类错误的概率通常记为。

7.假设检验中犯第Ⅰ类错误的概率通常称为显著性水平，记作。 8.的特点：（1）是一个概率值；

（2）是原假设为真时，拒绝原假设的概率； （3）常取的值有，0.01，0.05，0.10；

（4）由研究者事先确定； （5）和不能同时控制。

9.P值法作为了解内容。

10.假设检验得步骤：（1）根据实际问题的需要，提出H0和H1； （2）从所研究的总体中抽取一个随机样本； （3）选择适当的检验统计量，并确定其分布； （4）选择显著性水平，确定拒绝域；

（5）作出结论。根据样本观测值，确定拒绝还是不拒绝原假设。

第二节 一个总体参数的检验

11.总体均值的检验：（1)大样本，总体方差已知时，总体均值的检验统计量

zx0/n~N(0，1）；

（2）小样本，总体方差已知时，总体均值的检验统计量：zx0/n~N(0，1）；

（3）大样本，总体方差未知时，总体均值的检验统计量zx0s/nx0s/n~N（0，1）；

（4）小样本，总体方差未知时，总体均值的检验统计量z12.注意看157页上下两个图表。 13.总体比率的检验：统计量z=

~t(n-1)。

p00(10)n。

14.总体方差的检验：总体方差的检验统计量为

(n-1）s2022~（n1)。

第三节 两个总体参数的检验

2s12s215.两个总体方差比的检验：检验统计量为F2或F2

s2s1

第六章 方差分析

第一节 方差分析引论

1.方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计方法，它通过检验各总体的均值

是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。

2.因素（因子）：检验的对象。水平：因素的不同表现或状态。观察值：在每个因素水平下得到的样本数据。

3.方差分析的基本假设：（1）每个总体服从正态分布； （2）每个总体的方差应该相同； （3）观察值是的。

4.问题的一般提法：H0:12k H1：1，2k不全相等。

第二节 单因素方差分析

5.分析步骤：（1）提出假设。H0:12k H1：1，2k不全相等。

nix（2）计算各水平（总体）下的均值。xij1ijni，（i=1,2,……k)xi为第i个总

体的样本均值，ni为第i个总体的样本观测值的个数，xij为第i个总体，第j个观测值。

x（3）计算总的均值。xi1j1kniijn。

kni2（4）计算水平项误差平方和。SSA。 （xix）i1j1k（5）计算误差项误差平方和。SSE=(xijxi)2。

i1j1kSSA。 n1SSE（7）计算MSE。MSE=。

nkMSA（8）计算检验值F=.

MSE（6）计算MSA。MSA=

（9）作结论：若F>F(k1,nk)，就拒绝原假设。

第三节 双因素方差分析

6.无交互作用的双因素方差分析步骤：（1）提出假设。对行因素提出的假设为 不全相等 i表示行因H0:12ik H1：i(i1，2，，k）素的第i个水平的均值；对列因素提出的假设为H0:12jr 不全相等。j为列因素的第j个水平的均值。 H1：i(j1，2，，r）2（2）计算SSR。SSR=。 （xix）I1j1rkr（3）计算SSC.SSC(xjx)2。

i1j1krk（4）计算SSE。SSE=(xijxixjx)2

i1j1SSR。 k1SSC（6）计算MSC。MSC=。

r1（5）计算MSR。MSR=

（7）计算MSE。MSE=

SSE。

(k1)(r1)（8）为检验行变量对因变量的影响是否显著，采用下面的统计量

MSRFR~Fk-1，（k-1）(r1)。

MSE（9）为检验列变量对因变量的影响是否显著，采用下面的统计量

MSCFC~F r-1，（k-1）(r1)。

MSE（10）作决策。若FRF，则拒绝原假设H0，所检验的行因素对观测值有显著影响。若FCF，则拒绝原假设H0，所检验的列因素对观测值有显著影响。 有交互作用的双因素方差分析不做要求。

第七章 相关与回归分析

第一节 相关分析

1.变量之间的关系：（1）函数关系—确定性关系。反映变量间存在的严格的依存关系，并且可以用一个数学表达式表示。

（2）相关关系—不确定性关系。变量之间确实存在的，但是关系数值不固定的相互依存关系。

2.相关关系的种类：（1）根据相关关系涉及变量的多少，相关分析可以分为单相关和负相关。