基本不等式练习

第一课时

（1）教学目标

(a)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释

(b)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质

(c)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力 （2）教学重点、难点

教学重点：两个不等式的证明和区别

教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 （3）学法与教学用具 先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案

直角板、圆规、投影仪（多媒体教室） （4）教学设想

1、设置情境 (投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?

提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：a2b2，ab

22提问2：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab

提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，ab2ab。什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH变成一个点，这时有

22a2b22ab

2、新课讲授

22（1）（板书）一般地，对于任意实数 a、b，我们有ab2ab，当且仅当ab时，

等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书)

证明: ab2ab(ab),当ab时，(ab)0,当ab时,(ab)0,

22222 1

所以 ab2ab

22注意强调 当且仅当ab时, ab2ab

22(2)特别地,如果a0,b0,用a和b分别代替a、b,可得ab2ab,也可写成

abab(a0,b0),引导学生利用不等式的性质推导 2(板书,请学生上台板演):

abab(a0,b0) ① 2即证 ab ② 要证②,只要证 ab 0 ③

要证:

要证③,只要证 ( - ) 0 ④ 显然, ④是成立的,当且仅当ab时, ④的等号成立 (3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释 (4)变式练习：

已知x、y都是正数，求证：

① 如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p ② 如果和xy是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S

21423、 课堂练习 课本第113页练习第1题 4、 归纳总结 比较两个重要不等式的联系和区别 （5）评价设计

1、 课本第113页习题3.4第1题

2、思考题：若x0,求x1的最大值 x基本不等式课本习题之变脸

基本不等式ab值是多少？(P114)

对这个课本练习学生不难得到当x=1时x+

ab1一节配有如下练习：x>0，当x取什么值时，x+的值最小？最小2x1的最小值为2. x其实对此题学生、教师若变变其脸，可得到不少解题启示。 变式题1：若x> -1则x取什么值时x+

1的值最小？最小值是多少？ x1 2

11= x+1+-1 （*） x1x1 x>-1  x+1>0

解：由x+

（*）式2(x1) x=0时x+

1 -1=1 当且仅当x+1=1即x=0时取最小值。 x11取最小值为1。 x111x21x2x1仔细推敲上两题可发现，x+ =，x+=那么若碰到

xx1xx1x21

变式题2：x>0时的最小值为多少？何时取到？

x1x21

只需将变回到x+便迎刃而解。

xx

bx2c甚至可归结出如下一类问题：x取何正值时，（a,b,c>0）的值最小？最小值是多少？

axbx2cbxc解：=+ (**)

aaxax a,b,c,x>0  (**)式2bxcbxc2bcc=,当且仅当=即x=时取最小值。

aaxaaaxb变式题3：x>0，当x为何值时，yx取到最大值？最大值是多少？

x22x=

x22解：由上题得启示  x>0，y1x2x122=

2， 4当且仅当x

22即x=2时取最大值。 x4x2x1变式题4：x>-1，当x为何值时，的值最小？最小值是多少？

x11x2x1(x1)2(x1)11211 解： x>-1 ==x1x1x1x1当且仅当x=0时取最小值1。

3

同理大家可自己归纳类似变式题2的统一结论（结论略）。大家不妨练习：

x2x1当x>-2时y的值域。（答案：y[255,)）

x2

4