均值不等式应用专题

a2b21.（1）若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”）

2ab*2. (1)若a,bR*，则） ab (2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”

222ab (当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab） 2*23.若x0，则x112 (当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”） xx若x0，则x12，即x12或x1-2 (当且仅当ab时取“=”） xxx4.若ab0，则ab2 (当且仅当ab时取“=”） ba若ab0，则

ababab） 2，即2或-2 (当且仅当ab时取“=”

bababaab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”） )22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的

积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值

例1、求下列函数的值域

11

（1）y＝3x 2＋ 2 （2）y＝x＋

2xx解题技巧：

技巧一：凑项 1、已知x5，求函数y4x21的最大值。 44x5技巧二： 分离、换元 x27x10(x1)的值域。 2、求yx1x27x10(x1)的值域。 3、求yx1技巧三：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x4、求函数ya的单调性。 xx25x42的值域。

练习：求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

11x23x1,x(0,) ,x3 (3)y2sinx,(x0) （2）y2x1、（1）ysinxx3x

1

ab2、若实数满足ab2，则33的最小值是 . 113、求的最小值.并求x ,y值

xy技巧四：整体代换，多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 1、x0,y0，且

191，求xy的最小值。 xy2、（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

xy(2)已知a,b,x,yR且ab1，求xxyy的最小值

技巧五：

y 2

3、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，求x1＋y 2 的最大值.

2

2

技巧六：

1

4、已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.

ab5、已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 6、若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧七、取平方

7、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值. 8、求函数y2x152x(1x5)的最大值。

22应用二：利用均值不等式证明不等式

1、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

2、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3、已知a、b、cR，且abc1；求证：1111118 abc应用三：均值不等式与恒成立问题

1、已知x0,y0且

191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 xy应用四：均值定理在比较大小中的应用

1ab)，则P,Q,R的大小关系是 . 1、若ab1,Plgalgb,Q(lgalgb),Rlg(22

2