【新高考数学】小题压轴题专练7 基本不等式

一、单选题

1．若x0，y0，且1x11x2y1，则2xy的最小值为( ) A．2 B．23 C．123 D．423 解：（法一）

1x11x2y1可变形为313x3x2y1， 所

2xy12(4x2y)12[(3x3)(x2y)]3131322[(3x3)(x2y)](3x3x2y)213(x2y)3x3312[43x3x2y]22(423)31223， 当且仅当x2y3x3即x33，y1323时取等号， （法二）原式可得

x1x2y2x，xx1x22xy231131112x2x2x222x2x232，

当且仅当3132x2x，即x3时取“”

故选：C．

2．已知a，bR，ab2．则11a21b21的最大值为( ) A．1 B．65 C．212 D．2 解：a，bR，ab2． 则11a2a1b222b211a2b2(ab)2 (ab)22ab262ab42(ab1)1(ab)22ab(ab)252ab(ab)2(ab1)24， 以

则

令tab1a(2a)1(a1)20， 42(ab1)42t， (ab1)24t244s， 2则

令42ts(s4)，即t42tt24可得

s4， 232(4s)s84s4由s32322s82， ss当且仅当s42，t222时上式取得等号，

4421， 322828s8s可得

则

2111的最大值为， 2a21b21故选：C．

x2y23．若正实数x、y满足xy1，则的最小值是( ) x2y4A．1 6B．1 71C． 8D．1 4解：设x2s，y4t，则stxy67，即st7，且xy1． x2y2(s2)2(t4)2s24s4t28t116则s4t8 x2y4stststs411116t12st127125 stststst116s4t1512， 7ts77116s4t116s4t15st41616)5()()5(4st7ts7ts77当且仅当

16s4t714时，即s，t时，等号成立， ts33故选：B．

4．设m，n为正数，且mn2，则17 614 5m2n3的最小值为( ) m1n2A．B．C．11 48D． 3解：mn2，m0，n0， (m1)(n2)5，即

(m1)(n2)1，

5

m2n3(m1)1(n2)111 11m1n2m1n2m1n22(11(m1)(n2) )m1n25221n2m1() 55m1n2121n2m1121n2m112214， ()255m1n255m1n25553mn2m12当且仅当，即时等号成立， 1m1n2n23mm2n3142当时，取得最小值． m1n25n12故选：B．

3455．对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab4b2c0，且使|2ab|最大时，abc的最小值为( ) 1A． 21 2B．C．2 D．2 解：4a22ab4b2c0，



cb15(a)2b2，由柯西不等式得， 4416b1562b1562[(a)2b2][22()][2(a)b]|2ab|2

4141515b15b44，

6215a故当|2ab|最大时，有

3ab，c10b2，

2345345112211()(2)22， 2abc3bb10b2bb2b21时，取得最小值为2． 2b故选：C．

a2b26．已知a2，b2，则的最小值为( ) b2a2A．2

B．4

C．6

D．16

解：令xb2，ya2，

(y2)2(x2)2则原式xy(y2)2(x2)2[xy2(xy)4]222 xyxy(xy4xy4)2(xy2)4 22xyxy2(22xy)4xy2422xy216．当且仅当xy2时取等号．

xy故选：D．

7．已知直线l的方程为2x3y5，点P(a,b)在l上位于第一象限内的点，则的最小值为( )

124a12b3A．76 20B．76 20C．726 20D．726 20解：直线l的方程为2x3y5，点P(a,b)在l上位于第一象限内的点， 可得2a3b5，a，b0，可得4a106b，(3b5)， 则

1216 4a12b3116b96b116[(116b)(96b)]() 20116b96b196b6(116b)726， (7)20116b96b201546572696b6(116b)时，即b，a，上式取得最小值， 20116b96b当且仅当

故选：C．

8．已知xy1，y0，x0，则1 21 41|x|的最小值是( ) 2|x|y1A．B．C．3 4D．5 4解：由xy1，y0得y1x0， 解得x1且x0， ①当0x1时，

1|x|1x， 2|x|y12xy11xx2xx， 2x2x4x2x12xx115()2， 44x2x42422xx即x时取等号； 34x2x当且仅当

②当x0时，

1|x|1x()， 2|x|y12xy1(1x2xxx12xx13)()1， 2x2x4x2x44x2x44当且仅当

2xx即x2时取等号． 4x2x3 4综上可得，最小值

故选：C．

9．已知正实数a，b，c满足a22ab9b2c0，则当最大值为( )

9 43112ab取得最大值时，的abccA．3 B．C．1 D．0 解：由a22b9b2c0，可得ca22ab9b2，

abab112222a9b2aba9b2ca2ab9bbaaba9b时，即当a3b时，等号成立， ba12a9b2ba1， 4当且仅当

此时ca22ab9b2(3b)223bb9b212b2，

31123112121(1)211， 22abc3bb12bbbb3112的最大值为1． abc所以，

当且仅当b1时，等号成立，所以，

故选：C．

10．若a0，b0，abab1，则a2b的最小值为( )

A．323 B．323 C．313 D．7 解：由abab1，可得a(b1)b1，得ab1，由于a0，b0，则b1， b1所a2b以，

b1(b1)22222b2b2b12(b1)322(b1)37b1b1b1b1b1，

22(b1)当且仅当b1时，即当b2时，等号成立，因此，a2b的最小值为7，

b1故选：D．

a22b211．已知a0，b1，且ab1，则的最小值为( ) ab1A．322 2B．32 2C．32 2D．322 2解法一：a0，b1，且ab1，

a22b2 ab12b211 aab121 ab1ab121，0a2， f（a）

a2a121142aaf（a）[a(2a)]()(21)

2a2a2a2a142aa(3) 2a2a142aa(23) 2a2a322． 242aa时取等号， a2a当且仅当

a22b2322故的最小值为． 2ab1故选：A．

解法二：a0，b1，且ab1，

a22b2 ab12b211 aab121 ab1ab121，0a2， f（a）

a2af（a）21(a422)(a422)， a2(a2)2(a22a)2令f（a）0，得422a2，f（a）单调递增，

令f（a）0，得0a422，f（a）单调递减，

当且仅当a422时函数f（a）取得极小值即最小值，

f(422)242212(422)322． 2故选：A． 12．已知xy148(x,y0)，则xy的最小值为( ) xyA．53 B．9 C．426 D．10 解：根据题意，xy14144xy8，则(xy)2(8)(xy)58(xy)， xyxyyx4xy， yx变形可得：(xy)28(xy)5又由

4xy4xy24，则有：(xy)28(xy)90， yxyx设txy，又由x，y0，则t0，

则有t28t90， 解可得t9或t1， 又由t0，则t9， 则xy的最小值为9； 故选：B．

m242m13．已知m，n(0,)．若m2．则当2n2取得最小值时，mn(

2mnn) A．2

B．4

C．6

D．8

解：m，n(0,)．若mm2n2．则m0，解得n1． nn1m2422n22(n1)24n222则2n2n2n2f(n)． 222mn(n1)nn(n1)4n(n33n23n2)4n(n2)(n2n1)， f(n)(n1)3(n1)3令f(n)0，解得n2，

可得n2，m4时，f(n)取得最小值时，mn6． 故选：C．

14．已知a，b(0,1)，不等式ax2xb0对于一切实数x恒成立，又存在x0R，使

2bx0x0a0成立，则12的最小值为( ) 1a1bA．102 3B．442 3C．42 D．42 解：由题意，不等式ax2xb0对于一切实数x恒成立，可得△0，即14ab0；

2x0a0成立，则△0，即14ab0， 存在x0R，使bx04ab1，消去b，

即y1218a422 1a1b1a4a144a4a14121(44a4a1)(4a144a)2 44a34a1314(4a1)2(44a)142． (6)24284344a4a133当且仅当

4(4a1)2(44a)取等号． 44a4a1故选：B．

15．设abc0，则2a2446ac9c2的最小值是( ) aba(ab)A．4 解：2a2B．5 446ac9c2 aba(ab)44 aba(ab)C．25 D．8 (a3c)2a2abab(a3c)2ab44 a(ab)aba(ab)0448，

当且仅当a3c0，ab2，a(ab)2时等号成立， 故选：D．

16．已知实数a，b，c满足a22b23c21，则a2b的最大值是( )

A．3 B．2 C．5 D．3 解：实数a，b，c满足a22b23c21，0a22b21，

令arcos，b2rsin，[0，2)，0r1． 2则a2brcos2rsin3r(13cos23sin)3rsin()3，

其最大值是3，

故选：A． 二、多选题

17．在ABC中，三边长分别为a，b，c，且abc4，则下列结论正确的是( ) A．a2b4ab2

B．abab4

C．ab2c24

D．abc4

解：对于A，a2b4ab2，即a2bab24，也就是ab(ab)4abc， ABC中，ab0，abc，则ab(ab)abc成立，故A正确；

对于B，ababab2ab(ab1)21(2c1)21，

当ab时，不等式取“”，此时c4442，abc，即2a2， abaa得a[3]2，ababab2aba22a2a22a([3]2)22[3]2

([3](1.25)3)22[3](1.25)3(1.25)22.54.06254，故B正确；

对于C，ab2c2a2bc22abc424，故C正确；

对于D，边长为1，2，2的三角形，满足abc4，当abc54，故D错误． 故选：ABC．

18．已知a，b0且2ab1，则19的值不可能是( ) ab3abA．7 B．8 C．9 D．10

解：因为a，b0且2ab1， 所以

192ab9(2ab)aba6(3ab)3b ab3abab3abab3ab3a24ab3b2a3ba3b 721673a4abb2ab3abab3ab3a24abb22b22b2 8273a4abb23a24abb22b2因为a0，b0，所以20，

3a4abb22b2所以828，

3a4abb22b22(3a24abb2)6a28ab6a28ab因为82810210， 22223a4abb3a4abb3a4abb综上，81910， ab3ab所以

19的值不可能是7，8，10． ab3ab故选：ABD．

19．已知a，b，cR，若a2b2c21，且(a1)(b1)(c1)abc，则下列结论正确的是( ) A．abc1 C．c的最大值为1

解：由a2b2c21，可得：b2c21a2， 即(bc)22bc1a2．

由(a1)(b1)(c1)abc，得(a1)(bcbc1)abc， 化为：abcabacbc1，bc(1a)(bc1)， 代入(bc)22(1a)(bc1)1a2，

B．abbcca1 D．a的最小值为1

即(bc)22(1a)(bc)2(1a)1a20

即(bc)22(a1)(bc)(a1)20

(bca1)0，abc1，bc1a，bc222(bc)2， 21a2(1a)21化为：3a22a10，解得a1． 231a的最小值为，同理可得c的最大值为1，

3abc1，abcabacbc1，

abacbc0，

故选项ABC正确，D错误， 故选：ABC．

20．已知a，bR且ab1，那么下列不等式中，恒成立的有( )

1 412 ab1132 aabA．abB．abC．D．ab2 解：对于A，a，bR且ab1，

(ab)211ab，当且仅当ab时，等号成立，即选项A正确；

442对于B，令tab，则0t1， 4yab111t在(0，]上单调递减， abt4y11172，即选项B错误； 4144对于C，ab1，



111ab21212ba2ba()(ab)2132322， aabaababababab当且仅当

2ba，即a2b时，等号成立， ab11322，即选项C错误； aab12， 4对于D，(ab)2ab2ab12ab12ab2，即选项D正确．

故选：AD． 三、填空题

21．已知a，bR，且aba1b1aba1b1则ab的最大值为 442 ，最小值为 ． 2，解：

2，ab0且(ab)24(a1b1)2，即ab0且

(ab)284(ab)8a1b1，

2a1b1a1b1ab2，当且仅当ab时取“ “，

(ab)284(ab)4(ab2)，当且仅当ab时取“ “，

即(ab)28(ab)160，解得：ab442，当且仅当ab222时取“ “，

又8a1b10，(ab)284(ab)8a1b1，

a1b1(ab)284(ab)，当或时取“ “，解得：ab223，当且仅当

b1a1a1b1或时取“ “， b323a323(ab)max442，(ab)min223，

故答案为：442，223．

bc39a，则的最大值为 3 ． a3bc22．设a、b、c是三个正实数，且ab2cbc， a解：ab2ca2ab2acbc，

a2ab， cb2ac0，

b2a0，

解法一：设b2at，则t0，bt2a；

39a3bc39a39a2a(t2a)3t3a73(t2a)att3923t3a7at393，

237当且仅当ta时成立；



39a的最大值为3． 3bcb2， a解法二：由b2a0，得

39a393939；

b3bc3bc3bab1aaab2a3baab2a设

bx，则x2， a1x3333x13(x2)723(x2)76713， x2x2x2x2所以f(x)3x当且仅当x3时取等号，



39a3bc393， 13即

39a的最大值为3． 3bc故答案为：3．

23．若2a3b12(ab0)，则94的最小值为 1 ；最大值为 ． a29b24解：若2a3b12(ab0)，则a0，b0，有基本不等式122a3b22a3b，（当且仅当a3，b2时“”成立），得0ab6， 又由(2a3b)2122，得4a29b214412ab，

94， 2a9b42令y9(b24)4(a29)4a29b27212(18ab)则y， (a29)(b24)4a29b2a2b236(18ab)224(18ab)288令t18ab，则，1218ab18，

12(288t2)12t，(12t18)，则y2，令y0，得t122或t122y2(t24t288)2t24t288（舍去），

当t[12，122)时，y0，当t(122，18]，y0

函数y12t，在区间当[12，122)上单调递增，在区间当(122，18]上单调

t224t288递减，

21， 266，1， 55当t122时，y有最大值，最大值是：

又因为，当t12时，y1，当t18时，y所以，y的最小值为：1

21． 2故答案为：1；24．设实数a，b满足：1baa2b213，则的取值范围为 [1，3] ． ab解：由1b3，1a3，

可得1ab3，

由1b3，1a3，ba，

可得313a1，ba1， 即有3b3a1， 则a2b21ababba1abab2ba11，当且仅当ab1取得最小值1；设f（a）a23abb21，1ba3，

可得f（a）的对称轴为a32b， 而32bb，f（a）在ba3递增，

当32b1时，可得f(3)取得最大值； 当1a3，且

32b1时，由ff(3)b23b(b23b2)(33)b22(33)320，

则f(3)取得最大值b23b2，

由1ba3，可得b1时，g（b）取得最大值0，

f（a）0，所以

a2b2则1ab3，

综上可得，a2b21ab的取值范围是[1，3]．

1）

（故答案为：[1，3]．

6xy2xy的最大值是 x29y2x2y225．已知x0，y0，则3 ． 解：x0，y0，

6xy2xy8x3y24xy3则2 x9y2x2y2x410x2y29y4x3yx3y8()8()yxyx， 2x3y2x9y2210()4yxy2x可令tx3y，可得t23， yx则

6xy2xy8t8，

x29y2x2y24t2t4t4在t23递增，可得 t由ytt448323， t32384tt383可得83，

当且仅当x3y时，上式取得等号， 6xy2xy的最大值是3， 2222x9yxy则

故答案为：3．

ab9c47的最小值是 ． b3c8c4a3a2b4826．已知a、b、c为正实数，则代数式解：令b3cx，8c4ay，3a2bz，

111131111则axyz，bxyz，cxyz，

3862161612所以代数式

ab9c61yx9yz3xz6113147()()()222b3c8c4a3a2b488x2y16z4y2z6x4848248．

当且仅当x:y:z1:2:3，即a:b:c10:21:1时，等号成立． 故答案为：

47． 4827．已知实数x，y满足y2x且x2y，若是 49 ． 51691，则x2y2的最小值22(2xy)(x2y)2121解：根据题意，x(2xy)(x2y)，y(x2y)(2xy)，

5555212111则x2y2[(2xy)(x2y)]2[(x2y)(2xy)]2(2xy)2(x2y)2，

555555又由

1691(2xy)2(x2y)2，则

1169116(x2y)29(2xy)2149x2y2[(2xy)2(x2y)2]()[25](252169)22225(2xy)(x2y)5(2xy)(x2y)55，

16(x2y)29(2xy)2当且仅当时等号成立， (2xy)2(x2y)2即x2y2的最小值为

49． 9； 5故答案为：