基本不等式练习题

3.4基本不等式

重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：

，

，

不可能同时

大于．

当堂练习： 1. 若

，下列不等式恒成立的是 （ ）

A．2. 若

B．且

C． D．

，则下列四个数中最大的是 （ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a

的最大值为 （ ）

Ｃ．的最小值是( ) C.

D.

Ｄ．－1

3. 设x>0,则

Ａ．3 Ｂ．4. 设

A. 10 B.

5. 若x, y是正数，且，则xy有 （ ）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ） A．

B．

C． D．

7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）

A． B． C． D．

8. a,b是正数，则Ａ．

三个数的大小顺序是 （ ）

Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（ ） Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．Ｃ．11. 函数

Ｂ． Ｄ．

的最大值为 .

12. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.

13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .

14. 证明：若x, y为非零实数，代数式

15. 已知：

的值恒为正.

, 求mx+ny的最大值.

16. 已知．若、,

试比较

与的大小，并加以证明.

17. 已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求

的最小值.

18. 设

正整数n都成立.

.证明不等式 对所有的

参：

经典例题：

【 解析】 证法一 假设

，

，

同时大于

，

∵ 1－a>0，b>0，∴ 同理

，

≥，

.三个不等式相加得

.

，不可能，

∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于

证法二 假设，，同时成立，

∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ ，

即. （*） 又∵ ≤，

同理∴

≤，

≤

≤，

与（*）式矛盾，

故

当堂练习：

不可能同时大于.

1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;

13. 15．

; 14. 对;

16. 【 解析】 ．

∵ 、， ∴ ．

当且仅当＝时，取“＝”号．

当时，有．

∴ ．．

即．

当时，有．

即

17. (1) (2)

18．【 解析】 证明 由于不等式

对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到

又因 因此不等式

以及

对所有的正整数n都成立.