1.理解并掌握平行线的性质公理和定理;(重点)
2.能熟练运用平行线的性质进行简单 的推理证明.(重点) 如图,已知∠B=∠C,AE∥BC,
说明 AE平分∠CAD. 解析:要说明AE平分∠CAD,即∠DAE
=∠CAE.由于AE∥BC,根据平行线性质定理
2可知∠DAE=∠B,∠EAC=1和性质定理
一、情境导入 ∠C.由∠B=∠C即可得证.
解:∵AE∥BC(已知),
∴∠DAE=∠B(两直线平行,同位角相等),
∠EAC=∠C(两直线平行,内错角相
一条公路两次拐弯后和原来的方向相等). 同,第一次拐的角度∠B是130°,第二次∵∠B=∠C(已知), 拐的角度∠C是多少度? ∴∠DAE=∠EAC(等量代换),
二、合作探究 ∴AE平分∠CAD. 探究点一:平行线的性质定理1 方法总结:单独考平行线某一性质的题 很少,通常都是平行线的性质与其他知识的
综合运用.
探究点三:平行线的性质定理3
如图,在△ABC中,点D、E、F
分别为BC、AB、AC上的点,DE∥AC且DF∥AB.求证:∠BED=∠CFD.
解析:由DE∥AC可知∠BED=∠A,由DF∥AB可知∠CFD=∠A,从而可得∠BED=∠CFD.
证明:∵DE∥AC(已知),∴∠BED=∠A(两直线平行,同位角相等).∵DF∥AB(已知),∴∠CFD=∠A(两直线平行,同位角相等).∴∠BED=∠CFD(等量代换).
方法总结:在已知两直线平行的前提下,若要求证的两角不是平行线被第三条直线所截得的角,就要借助一个中间量,将两者联系起来.
探究点二:平行线的性质定理2
如图,已知DA⊥AB,CB⊥AB,DE
平分∠ADC,CE平分∠BCD,试说明DE⊥CE.
解析:要证DE⊥CE,即∠DEC=90°.需证∠1+∠2=90°.由DE、CE分别平分∠ADC、∠BCD,则需证∠ADC+∠BCD=180°,从而需证AD∥BC.
解:∵DA⊥AB,CB⊥AB,∴AD∥BC(垂直于同一直线的两直线平行),∴∠ADC+∠BCD=180°(两直线平行,同旁内角互补).∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,∴∠1111=∠ADC,∠2=∠BCD.∴∠1+∠2=×222180°=90°,∴∠DEC=90°,即DE⊥CE.
方法总结:平行线与角的大小关系、直线的位置关系是紧密联系在一起的.由两直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系,从而得到相应角的度数.
探究点四:平行于同一条直线的两直线平行
如图所示,AB∥CD.求证:∠B+
∠BED+∠D=360°.
解析:证明本题的关键是如何使平行线与要证的角发生联系,显然需作出辅助线,沟通已知和结论.已知AB∥CD,但没有一条直线既与AB相交,又与CD相交,所以需要作辅助线构造同位角、内错角或同旁内角,但是又要保证原有条件和结论的完整性,所以需要过点E作AB的平行线.
证明:如图所示,过点E作EF∥AB,则有∠B+∠BEF=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∵AB∥CD(已知),∴EF∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),∴∠FED+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°(等式的性质),即∠B+∠BED+∠D=360°.
方法总结:过一点作一条直线或线段的平行线是我们常作的辅助线.
三、板书设计 平行线的性质两直线平行,同位角相等两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补 平行于同一条直线的两直线平行
从简单的几何证明(平行线的判定与性质)入手,逐步形成一个更为清晰的证明思路,进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法.了解两定理在条件和结构上的区别,体会正逆的思维过程. 进一步发展学生的推理能力,培养学生的逻辑思维能力.
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