N维空间中一类强阻尼非线性波动方程的解及其性质

JOURNAL OF LIGHT INDUSTRY Vol. 31 No. 6 Nov. 2016

行

引用格式:廖扬，周晓宇.

• 95 •

W维空间中一类强阻尼非线性波动方程的解及其性质[J ].轻工学

2016,31(6):95 -99.中图分类号:〇176. 3;0177.91 文献标识码:A DOI： 10. 3969/j. issn. 2096 - 1553.2016.6.014 文章编号:2096 -1553(2016)06 -0095 -05

报，

^维空间中一类强阻尼非线性波动方程的 解及其性质

A class of strongly damped nonlinear wave equation solution of A^-demensional space and its properties

廖扬，周晓宇

关键词：

LIAO Yang,ZHOU Xiao-yu

河南财经大学数学与信息科学学院，河南郑州

斤维空间；强阻尼；波 动方程；整体吸引子；

正则化

450002

School of Mathematics and Information Science, He' nan University of Economics and Latv, Zhengzhou 450002, China

摘要：将强阻尼非线性波动方程在三维空间解的性质由三维推广到

A^-demensional space；

strongly damped; wave

global equation ；

attractors ； regularity

收稿日期

Key words ：

iV(iV >3)

维，利用标准的Galerkin方法和Sobolev篏入定理研究了弱解在该空间下的存在 性，运用内积做出了解的耗散估计，并采用Gronwall引理证明了整体吸引子的 存在性

.

:2015 -04 -13;修回日期:2016 - 07 - 28基金项目：河南省基础与前沿技术研究计划项目（132300410338)作者简介:廖扬（1976—），男，河南省郑州市人，河南财经大学讲师，硕士，主要研究方向为数学模型及其应用.

• 96 •跟2〇16年11月第31卷第6期

Abstract ： The properties of three dimensional space solution of strongly damped nonlinear wave equation by 3 D was expanded to N dimensional space (N >3). A standard Galerkin method and the Sobolev embedding theo­rem were utilized to study the existence of weak solution under the space. The inner product was used to make the solution * s dissipation estimates, and the Gronwall lemma was used to prove the existence of the attractor.

〇引

B

utt + Aut + Au + f(ut) + g(u) = h

初始条件为

①

具有Dirichlet边界条件的强阻尼非线性波 u(x,0)

=

a(x) ut(x,0)

=

b(x)齡

动方程,在热传导定理中常用于描述热演化.文 献[W对其解半群进行了分析，认为该强阻尼 非线性波动方程在三维（自然弱能量）空间拥 有整体吸引子，但其性质未推广到H维以Jh的 :费同Z. J. Yang等[2]研:穷了多雄Bouss-

ine.sq型方程.，证明了全巋霸解相对爹柯西问

题的存在性，特别说明了在维数# = 1的情况 下弱解_暴E则的，强解是唯一的.G. Andrews 等[3]研究了一维非线性方程的相变和渐进特 性•

D, Coleman等[4]研究了热导体的结构方

程与解的存在性；Z. J. Yang等@又研究了一

类具有非线性阻尼的准线性方程解的渐进特 性与存在性.

上述文献重点研究的是一维空间下非线性 方程与具有非线性阻尼的准线性方程的性质,

Ittfl.夜将用予Boussinesq型方程而不是文

献[

的波动方程.鉴于此，本文拟对强阻尼非 线性波动方程的性质进行研究，并将其结果推 广到任意的汉维空间.

1 基础知识

设是

iV(iV > 3)维空间中具有光滑边界

的有界域，是中的点，

记// =

其内积和范数分别用<，，• >

和|| . ||表示j =-4是严格的疋算子，其定 义域为£>(4)=丑2(/2) n瑞（/2)，设;^ >〇为 其第一特征值.

考虑如下发展方程[1]

其中aU)，6U)是给定的初值，表示外力项的 函数& = /z\") E孖与时间无关•

对函数/和Ig■作如下假设：

)/E =0,且存在C彡0,使

得对于任意的i?,都有

[/(5)|^

C + C|,|*

| Hms H\"0 0

inf/〇)>- Ain )g e CM)，g(0) = 0』.存在

C

减

使樽对予任意的s e i?，都有

^g(^) - Ci [ gif)Ay

A

hlim卜 inf--------s

^------〉一 士

2

文献[1]就iv矣3的情况证明了问题①② 整体吸引子的存在性.本文把该结论推广到任 意的W维空间，利用文献[1]中的结论，将波动 方程推广到空间下研究其解的存在性、耗 散性与整体吸引子的存在性.

2 解的存在性

引理1 对函数/可作如下分解:/(0 =

，【處J

A* + 4鱗晨3 个蠢件< A!并充分接近A1; 2)心^ e C1^); 3)>存在常数 C為〇,使得0 =£，（s) =£ C|客卜'且当-1矣 s 矣1 时，^>(s) = 0_

引理2 对函数g W作如下分解#(s)= y ( s ) - As + (s )，满足 3 个条件：1) A < A!并充分接近A1; 2)n e C1^); 3)存在常数

廖扬，等:

W维空间中一类强阻尼非线性波动方程的解及其性质

⑴

卜

矣

• 97 •

C彡0,使得1/fy(y)dy矣

中有界.下面讨论非线性项7和的极限过程.

由Sobolev嵌人定理[5-6]可知,77丨嵌入2,所以

if\\nT) =sy(s),且当-1 矣$ 矣 1 时,y(s) = 〇•

文献[1]已证明了引理1和引理2分解的 正确性，在此结果上，对于任意的(T e /?,本文 定义一族依次紧嵌入的希尔伯特空间：

II F3

2N

df ；S

^ = D(A^)< w,v > s - < A 2 w, A2v >

卜

IL = P、I

当cr = 0时,〇■省略不写• < • , • >也表7K 空间和其对偶空间Hi的对偶积.本文引入

如下记号：

h2

= H\\n) n H\\(n) h, = H\\(n)

H = L2(n) H , = H-\\{2)定义能量空间k =札+1 X凡和tv =凡X

馬.在此基础上，将方程①改写为

utt + But + Bu + (p{ut) + y(u) =q

③

其中= /i -队（A) - yc(M) e [°° (/?+ ;77),

fi = 4 -A/,且£>(5)=叫4)•此外，本文引进

空间扎的等价内积

(w ,v) s = < w ,A^ Bv > =

< W ,V >s - A < W ,V >5_!

和由该内积诱导的等价范数[2-3]

\\w\\l = \\\\w \\\\l - A \\\\w \\

定理l 对于任意的r > o和给定的初值

z =u 丨ae ,6丨c(e[

o,r问题③存在唯一的弱解

],%) n (^([o’r],孖）n

且解对初值是连续依赖的，即

II

{U-:Ut\\

II L\"([0,T],h) + II Ut II ^([O.J1] ,//,) ^

CeCT\\zi ~z2\\h证明记仏=/2 x (o,r),利用标准的

Galerkin方法[4]可以得到，〜在I00 ( [0,r],

尽）中有界，以及y(0 *UO

在,(仏）

Un if\\n)f J 〇

iuJrdt^CT 由此可知,yUB)在,(仏）中弱收敛到某 一函数

另一方面,

〜e ^^([(^^，尽久它是紧

嵌入到空间c( [0,r] ,77)的，抽子列仍用〜表 示，可以得到〜在空间c([0,r] ,77)中弱收敛 到从而〜在仏中几乎处处收敛到u[7-8].再 由y的连续性可得,7(~)在仏中几乎处处收 敛到y(M)_

综上可得=yh),即y(0在？(仏） 中弱收敛到y(u)•同理,弱收敛到史

证毕.

3 解的耗散性

由定理1,本文定半群S(〇 :/^—/^使 得S(〇z = U(〇

⑴丨，其中Z =丨0,6}是初

值.进而定义能量泛函Z⑴

=|S⑴

Z|2A =

I w⑴ + |

| 2_

定理2 存在5 > 0和/?為0,使得如下耗

散估计成立

E(t) ^ J(E(0))e-St +R

其中,_/ : [0,〇〇)—>[0,〇〇)是单调递增函数.

证明

记 H£(M) = 〇 +

+|| ut\\\\2 + 2s < ut,u > ,As(u) =

+

r(u) ,r(u) =2 r x )

〇〇JnJ oy(y)dydx,ri(u)=

< y(u) , u > ,ii(^)

(p(y)dydx,• 98 •你2〇16年11月第31卷第6期

•显然，£\" = ]^[。(>)矣

得

A〇 ^ 2Ae ^ 4A〇.

方程③两端与2ut + 2抑在77内作内积，得

+sYls(u) +y[s|u|i +

1 &1 - Sz2 I A 矣 t> I Z! - z2 I A + 5(2! ,z2)

记

矣③导]!；||%(〇

⑤

-m2(〇 ||1 +

3|uJ^] +2cPl(ut) ^-2 < y( u)，ut + su > - 2s 若0 < m < 1,则空间r’2(0,『;％)紧嵌 入空间c(o,r;i/m) ncYoj^),⑥式定义了

，u > + 2 < q，ut + su >

④

估计④式右端各项

-2 < y(u) ,ut + su > =-2

j-r0(u) -isr^u) ^-j-r0(u) - sr0(u)-2s < cp(ut) ,u > ^2s || (p(ut) || * || u || » ^

Cslfp^uJ]2\" \\ u\\1 ^(p.iuj + Cs^Af5 ^0l{ut) + Cs6Al + C 2 < q ,ut + su > ^ 2^ || ^ || || u || +

2 I ^ I I ut I ^

li] + C

代回④式得到

j

Ae+sAe+ ^Cs6Al+C

利用文献[1]中引理2可以得到

E(t) ^A0(t) ^J(A0(0))e-St +R

再由y的增长阶可得A0 = i? + r〇u)矣 瓦+(：瓦气以上两式相结合，适当修改增函数_/ 的形式即得结论.

证毕.

4 整体吸引子的存在性

利用文献[1]定理6. 1的结果可以得到类 似文献[1]引理7. 3的式子

SUJ> SUJ)[ I |j + II Utt(t) II

+

/ t U„(t) 111 < 00

本文利用文献[1]附录A中的抽象定理

A. 1来证明整体吸引子的存在性.选择解所在

空间#’2(0,『;％)的一个列紧的伪度量5[9],

空间矿’2…,:?1;%)的一个列紧的伪度量[2].

定理3

对

于

任

意

的

半

群

：孖—孖有连通的整体吸引子•证明记Z> =谷&“，z2) ,z2 e 是

吸收集），不失一般性，假设A < p <

固定m =^_22)

[0,1).

设两解之差为|丨

S⑴Z!-S(〇Z2，它满足方程

Wu = 2(pd + 2yd

⑦

其中

(pd = (p{dtu2) - (pid^) + (pc{dtu2) - (pc{dtux)jd = y(u2) - r(wi) + yc(u2) -yX^)

方程③两端与2ut +2抓在77内做内积，得

^YI

u

+sYIu

+yIsIuII+SIuJ2,] ^

2 < +2s < (pd,u > +2 < yd,uc + su >

⑧

因为

0

矣

0〇U)矣20JU),所以

2 < C||ut ||2 ^ CD2

⑨

考虑到2s < (fj,u > ^ Cs[l + | dtu2 | +

\\\\dtUl \\\\L^r \\\\u\\\\L,\\\\Utii

⑧式右端最后一项可由Sobolev嵌入定 理[1°_11]得到，由

C

可得

2 < Jd,ut + SU > ^

廖扬，等，维空间中一类强阻尼非线性波动方程的解及其性质

• 99 •

Ja(C + \\u2\\ + \\u1\\)P 1 \,"p":{"h":19.224,"w":22.014,"x":207.007,"y":86.087,"z":24},"ps":null,"s":{"letter-spacing":"1.949\\ut + su\\dx

^

⑪

C || ^ || m[ \\ut |2 +

[3]

l^li +Cs2\":{"h":15.686,"w":12.528,"x":192.221,"y":159.5,"z":60},"ps":{"_scaleX":1},"s":{"letter-spacing":"-0.971\\\\ + CD2

综合⑨⑩⑪,可知⑦式由下式控制

Cs2\\u\\21+j\\ut\\21+CD2 ^

+3|uJ^] +

[4]

CD2

of Mathematical Analysis and Applications, 2008, 340(1) ：.

ANDREWS G,BALL J M. Asymptotic behaviour and changes of phase in one-dimensional non­linear viscoelasticity [ J ] - Journal of Differential

306.Equations, 1982,44(2) ；

COLEMAN B D,GURTIN M E. Equipresence and constitutive equations for rigid heat conduc- tors[J]. Zeitschrift Ftir Angewandte Mathematik 代入⑦式可得

—TJ T _ u + sY\\ _

u ^ CD2

对上式用Gronwall引理可得

^ Y[Cu(0))e-sT + CD2进一步可得

\\Sz1 - Sz2\\l ^2^Q^(u(r)) ^

1,21Z1 - zl\\l + c°2选择r >〇足够大使得t； < l,即得⑤式. 证毕.

5结论

本文将强阻尼非线性波动方程推广到#

维空间（W > 3),证明了其弱解的存在性、耗散 性和整体吸引子的存在性.对不同维数研究结 果与证明方法的对比表明，空间下弱解的 唯一性、耗散性与低维方程结果一致，不同的是 条件下是一种弱收敛而不是几乎处处收 敛.本文利用文献[1 ]没有使用的新方法证明 整体吸引子的存在性，结果表明半群具有连通 的整体吸引子.参考文献：

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