2020北师大版九年级数学上册 一元二次方程知识点的总结

北师大版九年级上第二章 一元二次方程知识点的总结

知识结构梳理

1、概念

（1）含有 个未知数。

（2）未知数的最高次数是 （3）是 方程。

（4）一元二次方程的一般形式是 。 （1） 法，适用于能化为xm)nn02 的一元。

二次方程

（2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 一 元 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 二（3） 法 次 方（4） 法，其中求根公式是 程

当 时，方程有两个不相等的实数根。

（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。

当 时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值题

一元二次方程的应用

（1）审题（已知，求？） （2） 设未知数 （3） 列方程 可用于解决实际问题的步骤 （4） 解方程 （5） 检验

（6） 作答 知识点归类

知识点一 一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴

2223；⑵x26x0；（3）xx5；（4）x0；（5）2x(x3)2x1 2x5一元二次方程的一般形式为axbxc0（a，b，c是已知数，a0）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、

2知识点二 一元二次方程的一般形式

一次项系数、常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如ax2bxc0不一定是一元二次方程，当且仅当a0时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）5x

例2 已知关于x的方程m1xm知识点三 一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当

2272x； （2）x2x38； （3）3x4x3x2 22m1x20是一元二次方程时，则m

x2时，x23x20所以x2是

x23x20方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

知识点四 建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。 注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。 例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场， 鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成， 若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？ 鸡场 （只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。）

因式分解法、直接开平方法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程： （1）5x24x； （2）(2x23)250； （3）x26x952x。

2

知识点二 直接开平方法解一元二次方程

若xaa0，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方

2法。 （1）x2aa0的解是xa；（2）xmnn0的解是xnm；（3）

2mxn2cm0,且c0的解是xcn。

m例 用直接开平方法解下列一元二次方程

2（1）9x160； （2）x5160； （3）x53x1

222

知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如axbk0k0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

2例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）4x5360； （2）12x30

22

知识点四 用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。 如：

0.01t22t0，将原方程变形为

t0.01t20，由此可得出

t0或0.0t20，即t10,t2200

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。 知识点五 形如“十字相乘法”的解法。

通过整理，可将左边分解因式，方程变形为xaxb0，则xa0或xb0，即

x1a,x2b。

例 解下列方程：（1）x5x60； （2）x2x120

配方法

知识点一 配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

2注意：用配方法解一元二次方程xpxq0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一

2次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例 用配方法解下列方程：

（1）x6x50； （2）x227x20 2

知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数； （2） 把原方程变为xmn的形式。

2（3） 若n0，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。 例 解下列方程：x24x30

知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为axbxc0a0,a1时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项

2的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为xmn的形

2式；

（3）若n0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 例 用配方法解下列方程：

（1）3x29x20； （2）x24x30

公式法

知识点一 一元二次方程的求根公式

bb24ac一元二次方程axbxc0a0的求根公式是：x

2a2用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为axbxc0a0的形式，确定的值a,b.c（注意

2bb24ac符号）（2）；求出b4ac的值；（3）若b4ac0，则a,b.把及b4ac的值代人求根公式x，

2a222求出x1,x2。

例 用公式法解下列方程

2（1）2x3x10； （2）2xx210； （3）x2x250

知识点二 选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例 用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x392x3；（2）x28x60；（3）x2(x1)0

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知识点三 一元二次方程根的判别式

2一元二次方程axbxc0a0根的判别式 △=b4ac

2运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1） △=b4ac﹥0方程有两个不相等的实数根； （2） △=b4ac=0方程有两个相等的实数根； （3） △=b4ac﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b4ac的值；④根据b4ac的符号判定方程根的情况。 例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： （1）2x3x50；（2）9x

例 m为何值时，方程2m1x4mx2m30的根满足下列情况：

22222222230x25；（3）x6x100

（1）

有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根；

知识点五 一元二次方程的根与系数的关系

若x1,x2是一元二次方程axbxc0a0的两个根，则有x1x22bb， x1x2 aa根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）x1x2x1x22x1x2 （2）

222xx211 1x1x2x1x2（3）(x1a)(x2a)x1x2ax1x2a；

2（4）│x1x2│=

2x1x22=

x1x224x1x2

例 已知方程2x5x30的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。

（1）x1x2； （2）x1x2。

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一元二次方程的应用

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。

知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a1x，两次增长后的值为a1x；（2）若基数为a，降低率x为，则一次降低后的值为a1x，两次降低后的值为

2a1x。

2

例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x，列出关于x的方程为

练习：某农场绿色食品的产量2000年为30吨，从2000年到2002年一共生产150吨，求这两年的年平均增长率是多少？

列方程：

知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量

例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

练习：某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元其销售量减少10件. 1、当销售单价定位每件55元，估计月销售和月销售利润分别是多少？

2、如果销售单价提高x元，月销售利润为y元，试求出y元与x元之间的函数解析式。

3、商场想在月进货成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达8000元，销售单价应定为多少元？