高中数学空间几何专题练习题

一、选择题

1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）

  图（1） A B C

D

2、直线l:3xy30的倾斜角为 （ ）

A、30； B、60； C、120； D、150。

3、边长为a正四面体的表面积是 （ ）

A、333332a； B、a； C、a； D、3a2。 41244、对于直线l:3xy60的截距，下列说法正确的是 （ ）

A、在y轴上的截距是6； B、在x轴上的截距是6；

C、在x轴上的截距是3； D、在y轴上的截距是3。

5、已知a//,b，则直线a与直线b的位置关系是 （ ）

A、平行； B、相交或异面； C、异面； D、平行或异面。

6、已知两条直线l1:x2ay10,l2:x4y0，且l1//l2，则满足条件a的值为A、1； 2B、

1； C、2； D、2。 27、在空间四边形ABCD中，若ACBDa，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点。且AC与BD所成的角为60，则四边形EFGH的面积为 （ ）

A、323232a； B、a； C、a； D、3a2。 842 8、在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点， 则异面直线AC和MN所成的角为（ ）

D1 A1 D B1 C1 N C B M A．30° B．45° C．90° D． 60°

A . 学习参考 .

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9、下列叙述中错误的是 （ ）

A、若P且l，则Pl； B、三点A,B,C确定一个平面；

C、若直线abA，则直线a与b能够确定一个平面；

D、若Al,Bl且A,B，则l。

10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）

A、两条平行直线； B、一点和一条直线；

C、两条相交直线； D、两个点。

11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 （ ）

A、25； B、50； C、125； D、都不对。

12、给出下列命题

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A．0个 B．1个

C．2个

D．3个

二、填空题

13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2a,a的矩形，则圆柱的体积为 ； 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、．．球的体积之比为 ．

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M T . word格式 .

15、过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 16、已知a,b为直线，,,为平面，有下列三个命题： （1） a//b//，则a//b； （2） a,b，则a//b； （3） a//b,b，则a//； （4） ab,a，则b//；

其中正确命题是 。

三、解答题

17、如下图2，建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m，池壁的造价为80元/m，求水池的总造价。

18、如下图(3)，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M,N分别是

222m图2

AB,PC的中点，求证：MN//平面PAD。

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P

N D C

A M B

图(3)

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19、如下图（4），在正方体ABCDA1B1C1D1中， （1）画出二面角AB1CC1的平面角； （2）求证：面BB1DD1面AB1C

20、求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；

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DCABD1C1A1图（4）

B1. word格式 .

21、已知三角形ABC的三个顶点是A4,0,B6,7,C0,8 （1） 求BC边上的高所在直线的方程； （2） 求BC边上的中线所在直线的方程。

22、如下图（5），在三棱锥ABCD中，CACBCDB2D,ABAD2。 （1） 求证：AO平面BCD；

（2） 求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3） 求点E到平面ACD的距离。

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O,E分别是BD,BC的中点，A

D O

B

E

C

图（5）

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圆锥曲线

知识点：

1、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F）的点的轨迹称为椭1F2圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 xy1ab0 a2b2axa且byb 22yx1ab0 a2b2bxb且aya 221a,0、2a,0 10,a、20,a 10,b、20,b F1c,0、F2c,0 1b,0、2b,0 F10,c、F20,c 短轴的长2b 长轴的长2a F1F22cc2a2b2 关于x轴、y轴、原点对称 cb2e120e1 aaa2a2准线方程 x y cc3、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

4、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 5、双曲线的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 . 学习参考 .

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标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 x2y21a0,b0 a2b2xa或xa，yR y2x21a0,b0 a2b2ya或ya，xR 1a,0、2a,0 10,a、20,a 虚轴的长2b 实轴的长2a F1c,0、F2c,0 F10,c、F20,c F1F22cc2a2b2 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 cb2e12e1 aaa2x cbyx aa2y cayx b准线方程 渐近线方程 6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 7、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

8、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 9、抛物线的几何性质：

标准方程 y22px y22px x22py x22py p0 p0 p0 p0 图形 顶点 0,0 x轴 对称轴 y轴 pF0, 2pF0, 2焦点 pF,0 2pF,0 2准线方程 xp 2xp 2yp 2yp 2. 学习参考 .

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离心率 e1 范围 x0 x0 y0 y0 10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p．

考点：1、圆锥曲线方程的求解

2、直线与圆锥曲线综合性问题 3、圆锥曲线的离心率问题

典型例题：★★1．设O是坐标原点，F是抛物线y22px(p0)的焦点，A是抛物

线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为（ ）

A．

21p 4B．

21p 2C．13p 6D．

13p 36★★2．与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆

的标准方程是 ．

★★★3．（本小题满分14分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

圆锥曲线

一．选择题 1．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）

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A． + 2．（5分）方程 A． 直线 3．（5分）已知抛物线心率为（ ） A． B． =1 +=1 C． +=1 D． +=1 所表示的曲线是（ ）

B． 椭圆 C． 双曲线 D． 圆 的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离

B． C． D． 4．（5分）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为 A． 两个点 B． 直线 5．（5分）给出下列3个命题：

，则点P的轨迹是（ ） C． 圆 D． 椭圆 ①在平面内，若动点M到F1（﹣1，0）、F2（1，0）两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆；

②在平面内，已知F1（﹣5，0），F2（5，0），若动点M满足条件：|MF1|﹣|MF2|=8，则动点

M的轨迹方程是；

③在平面内，若动点M到点P（1，0）和到直线x﹣y﹣2=0的距离相等，则动点M的轨迹是抛物线．

上述三个命题中，正确的有（ ） A． 0个

B． 1个 C． 2个 D． 3个 6．（5分）已知圆的方程为x+y=4，若抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ） A． B． C． 22

D． . 学习参考 .

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7．（5分）设P，Q分别为圆x+（y﹣6）=2和椭圆距离是（ ） A． 5 B． + C． 7+22

+y=1上的点，则P，Q两点间的最大

2

D． 6 8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面B1BCC1上的动点，并且A1F∥平面AED1，则动点F的轨迹是（ ）

A． 圆 2

B． 椭圆 C． 抛物线 D． 线段 9．（5分）过抛物线y=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，则直线AB的倾斜角为（ ）

A． B． C． D． 10．（5分）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，与双曲线x﹣y=1的渐近

2

2

线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ） A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1 二．填空题 11．（5分）椭圆

12．（5分）已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线

=1的离心率为 _________ ．

+

=1与双曲线

﹣

=1有相同的焦点，则实数m的值是 _________ ．

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13．（5分）已知下列命题命题：①椭圆中，若a，b，c成等比数列，则其离心率

；②双曲线x﹣y=a（a＞0）的离心率

222

且两条渐近线互相垂直；③在正方

体上任意选择4个顶点，它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；④若实数x，y∈[﹣1，1]，则满足x+y≥1的概率为 14．（5分）对于圆锥曲线，给出以下结论： ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

|﹣|

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；

=（

+

），则动点P的

2

2

．其中正确命题的序号是 _________ ．

②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若轨迹为圆；

③方程4x﹣12x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

2

④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．

⑤椭圆C：+y=1上满足

2

•=0的点M有4个（其中F1，F2为椭圆C的焦点）．

其中正确结论的序号为 _________ （写出所有正确结论的序号）．

15．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，双曲线的离心率的值为2，则该椭圆的离心率的值为 _________ ．

三．解答题（共6小题） 16．已知F1，F2是椭圆C

+

=1的左，右焦点，以线段 F1F2为直径的圆与圆C关于直线

x+y﹣2=0对称．

（l）求圆C的方程；

（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标．

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17．已知抛物线y=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0） ①求抛物线方程；

②求△ABS面积的最大值．

18．已知椭圆C：为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若kAC•kBD=﹣． ①求

的范围；

=1（a＞b＞0）的离心率为

，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积

2

②求四边形ABCD的面积．

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19．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：

组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线

C2所在圆锥曲线的焦点，

（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；

（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．

20．已知双曲线E：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．

（1）求双曲线E的离心率；

（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．

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21．如图，椭圆C：

经过点P（1，），离心率e=，直线l的方

程为x=4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

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