第五章 圆锥曲线与方程

第五章 圆锥曲线与方程

第一节 曲线与方程

典型题型讲解

1、已知点A2,0、B3,0，动点Px,y满足PAPBx2，则点P的轨迹是

（ ）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

2、如图所示，过点P2,4作互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程。

3、如图所示，设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x22y24交于A、B两点，P是l上满足PAPB1的点，求点P的轨迹方程。

ax,y2，bx,y2，4、设x,yR，在直角坐标平面内，且ab8。

（1）求点Mx,y的轨迹C的方程；

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（2）过点0,3作直线l与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，求直线l的方程。

5、已知圆C1:x3y21和圆C2:x3y29，动圆M同时与圆C1及圆

C2相外切。求动圆圆心M22的轨迹方程。

6、已知A1,0，B1,4，在平面上的动点P满足PAPB4，点Q是点P 关

于直线y2x4的对称点，求动点Q的轨迹方程。

7、设点A和B为抛物线y4pxp0上除原点以外的两个动点，已知OAOB，点M在AB上，且OMAB，求点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线。

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随堂演练

1、方程x2xyx的曲线是（ ）

、一个点 B、一条直线 C、两条直线 D、一个点和一条直线 2、平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（ ）

A、一条直线 B、一个圆 C、一个椭圆 D、双曲线的一支

A3、设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP2PA，且OQAB1，则P点的轨迹方程是（ ）

A、3x2、

32232y1x0,y022 B、3x23232y1x0,y02

Cx3y1x0,y0 D、x23y21x0,y0

4、已知点F12,0、F22,0，动点P满足PF2PF12，当点P的纵坐标是、

12时，点P到坐标原点的距离是（ ） B、

32A62 C、3 D、2

5、已知两定点A2,0，B1,0，如果动点P满足PA2PB，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）

A、 B、4 C、8 D、9 6、P是椭圆

x29y25过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM的1上的动点，

中点的轨迹方程为（ ）

A、

4x92y251 B、

x294y521 C、x29y2201 D、

x236y251

7、已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P 向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 。 8、点Pa,b是单位圆上的动点，则Qab,ab的轨迹方程是 。 9、平面上有三个点

yA2,y，B0,2，Cx,y，若ABBC，则动点C的

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学习改变命运，奋斗成就未来 轨迹方程为 。 三、解答题

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10、一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

11、如图所示，从双曲线x2y21上一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程。

12、在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A1,0、

B1,0，平面内两点G、M同时满足以下条件：

①GAGBGC0；②MAMBMC；③GM//AB

（1）求ABC的顶点C的轨迹方程；

（2）过点P2,0的直线l与（1）中的轨迹交于点E围。

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、F，求PEPF的取值范

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1、如图所示，已知点F1,0，直线l1:x1，P为平面上的动点，过P作直线

l 的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ。

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点

M，已知MA1AF，MB2BF，求12的值。

2、矩形ABCD的两条对角线相交于M2,0，AB边所在直线的方程为

x3y60，点T1,1在AD边所在直线上。

（1）求AD边所在的直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的方程；

（3）若动圆P过点N2,0，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程。

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第一节 椭圆

典型题型讲解

1、已知ABC的顶点B、C在椭圆

x23y1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且

2椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（ ）

A、23 B、6 C、43 D、12

2、若焦点在x轴上的椭圆

A、

x22y2m1的离心率为

831223，则m等于（ ）

3 B、

32 C、 D、

3、求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2,6)；

（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；

（3）已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosOFA（4）椭圆过(3,0)，离心率e

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6323；

。

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4、椭圆ax2by21与直线xy1相交于A、B两点，若AB22，且AB的中点C与原点的连线的斜率为

5、已知(0,5)是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为（1）求椭圆的方程； （2）直线y12xm22，求椭圆方程。

32。

与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别为F1和F2，

求以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积的最大值。

6、已知椭圆

x225y29椭圆上是否存在一点，它到直线1,直线l:4x5y400，

l的距离最小？最小距离是多少？

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7、已知F是椭圆5x29y245的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。求PAPF的最大值和最小值。

8、已知F1、F2是椭圆

xa22yb221(ab0)的左右焦点，P是椭圆上一点，

F1PF290，求椭圆离心率的最小值。

随堂演练

一、选择题 1、椭圆

12x24y231的右焦点到直线y3x的距离是（ ）

A、 B、

32 C、1 D、3

2、如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率e等于（ ）

A、

B、

32 C、

22 D、

12

3、在一椭圆中以焦点F1、F2为直径两端的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于（ ）

A、

12 B、

22 C、32 D、25

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学习改变命运，奋斗成就未来 4、椭圆

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12y23点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴1的焦点为F1和F2，

上，那么PF1是PF2的（ ）

A、7倍 B、5倍 C、4倍 D、3倍

125、已知椭圆的中心在原点，离心率e焦点重合，则此椭圆方程为（ ）

A、

，且它的一个焦点与抛物线y24x的

x24y23221 B、

x28y261 C、

x22y1 D、

2x24y1

26、椭圆

xayb221(ab0)的四个顶点A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆恰

好过焦点，则椭圆的离心率是（ ）

A、

325 B、385 C、512 D、518

二、填空题 7、若椭圆

x25y2m1的离心率e105，则m 。

8、F1、F2是椭圆C:x28y241的焦点，在C满足PF1PF2的点P的个数为 9、如图所示，已知P是椭圆

x24y1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，

2且F1PF260，则F1PF2的面积是 。

三、解答题

10、已知点P(3,4)是椭圆

xa22yb221(ab0)上的一点，F1、F2是椭圆的两焦

点，若PF1PF2，试求： （1）椭圆方程；

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学习改变命运，奋斗成就未来 （2）PF1F2的面积。

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11、如图所示，E、F是x轴上的定点，G、H、P是坐标平面上的动点，P在线段FG上，H在线段EG上，并且点），2EHEG,HPEG0。

（1）求P点的轨迹方程；

（2）已知A、B是P点的轨迹上的不同两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点C(m,0)，求证：

32m32EF23,FG4,EOOF（O是坐标系原

。

12、已知椭圆C:xa22yb221(ab0)的离心率为

22，直线l:y2x5与椭圆C交于P1、P2两点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为椭圆的中心，若

52F1P1OF2,a,F2P2OF29成等差数列，求椭圆C的方程。

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走进高考

1、在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆

x225y291上，则

sinAsinCsinB 。

2、设F1、F2分别是椭圆

x24y1的左、右焦点。

2（1）若P是椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；

（2）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

第三节 双曲线

典型题型讲解

1、过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若PQ7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是（ ）

A、28 B、1482 C、1482 D、82 5b的等差中项是，2、两个正数a、等比中项是6，且ab，则双曲线

2xa22yb221

的离心率e等于（ ）

A、

32 B、

152 C、13 D、

133

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1e213、设两共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，试证明：

1e221。

4、已知动圆M与圆C1:x4y22外切，与圆C2:x4y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程。

5、如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，F1PF2曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。

6、若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是10,0，则双曲线的方程是 。 7、双曲线C与椭圆

x2223，且PF1F2的面积为23，又双

8y241有相同的焦点，直线y3x为C的一条渐近线。

（1）求双曲线C的方程；

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（2）过点P0,4的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C8的顶点不重合）。当PQ1QA2QB，且12时，求Q点的坐标。

3

8、过双曲线M:x2yb221的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两

条渐近线分别交于点B、C，且ABBC，则双曲线M的离心率是（ ） 、10 B、5 C、

103A D、

52

9、已知等轴双曲线x2y2a2及其上一点P，求证： （1）离心率e2，渐近线方程yx；

（2）P到它两个焦点的距离的积等于点P到双曲线中心距离的平方； （3）过P向两渐近线作垂线，构成的矩形面积为定值。

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随堂演练

1、双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（ ）

A、14 B、4 C、4 D、

14

2、已知双曲线的离心率为2，焦点是4,0，4,0，则双曲线方程为（ ）

A、

x24y2121 B、

x212y241 C、

x210y261 D、

x26y2101

3、点P是双曲线

x24y2121上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右两焦点，

PF1PF20，则PF1PF2等于（ ） A、48 B、32 C、16 D、24

xa224、若双曲线

yb221（a0,b0）的右支上到原点和右焦点距离相等的点

有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A、e2 B、1e2 C、e2 D、1e2

34x5、双曲线的渐近线方程为y、 B、35，则双曲线的离心率为（ ）

52A522 C、或153 D、或

35

6、已知双曲线

x225y91的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一

点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则NO等于（ ）

A、

23 B、1 C、2 D、4

7、已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是3,0，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是 。 8、已知双曲线

x24y1，则其渐近线方程是 ，离心率e 。

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学习改变命运，奋斗成就未来 9、双曲线

xa22 北京博世教育莱钢辅导学校为你导航

yb22b（ab0）的左、右焦点分别为F1、线段F1F2被点F2，1,0

2分成3:2两端，则此双曲线的离心率为 。

三、解答题 10、经双曲线x2y231的左焦点F1作斜倾角为

6的弦AB，求：

（1）线段AB的长； （2）设F2为右焦点，求F2AB的周长。

11、在双曲线

y212x2131的一支上的不同三点Ax1,y1、B26,6、Cx2,y2

与焦点F0,5的距离成等差数列。 （1）求y1y2的值；

（2）证明线段AC的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标。

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12、F1、F2分别为双曲线x2y21的两个焦点，点O为坐标原点，圆O是以F1F2 为直径的圆，直线l:ykxb与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点。 （1）根据条件求出b和k满足的关系式；

1（2）当OAOBb2时，求直线l的方程。

2

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1、已知双曲线C:xa22yb22，以C的右焦点为圆心，且与C的渐1（a0,b0）

近线相切的圆的半径是（ ）

A、ab B、a2b2 C、a D、b

xa222、已知双曲线

yb221（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是准

线上一点，且PF1PF2，PF1PF24ab，则双曲线的离心率是（ ）

A、2 B、3 C、2 D、3

3、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双

曲线的离心率为 。

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第四节 抛物线

典型题型讲解

1、已知抛物线y4ax2（a0）上的点Ax0,2到焦点F的距离等于3，则点F 的坐标为（ ）

A、0，1 B、1，0 C、0，－1 D、－1,0

2、抛物线y24x1的准线为l，直线yx与该抛物线相相交于A、B两点，则点A及点B到准线l的距离之和为（ ）

A、8 B、7 C、10 D、12

3、若直线ykx1与抛物线y24x有且只有一个公共点，则实数k的值是 。

4、过抛物线x24y的焦点F作直线l，交抛物线于Ax1,y1，Bx2,y2两点，若y1y26，则AB等于（ ）

A、10 B、8 C、6 D、4

5、已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的运动，又有点A3,2，求PAPF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标。

6、如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P1,2，Ax1,y1，

Bx2,y2均在抛物线上。

（1）写出抛物线的方程及其准线方程；

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（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率。

7、如图所示，直线y12x与抛物线y18x42交于A、B两点，线段AB的垂

直平分与直线y5交于Q点。 （1）求点Q的坐标；

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的 动点时，求OPQ面积的最大值。

8、已知抛物线y2x与直线ykx1相交于A、B两点。 （1） 求证：OAOB；

（2） 当OAB的面积等于10时，求k的值。

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随堂演练

1、抛物线yax2的准线方程是y1，则a的值为（ ）

A、

14 B、14 C、4 D、4

2、过定点P2,2作直线l，使l与抛物线y24x有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（ ）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 3、已知椭圆C1:x24y231，其左准线为l1，右准线为l2，一条以原点为顶点，l1为准线的抛物线C2交l2于A、B两点，则AB等于（ ）

A、2 B、4 C、8 D、16

4、AB是抛物线的一条焦点弦，若抛物线为y2x，AB4，则AB的中点C到直线xA120的距离为（ ）

104、

94 B、 C、

72 D、3

5、已知点Pm,3是抛物线yx24xn上距点2,0最近一点，则mn等于（ ）

A、1 B、3 C、5 D、7 6、抛物线y2ax的焦点与双曲线

2x23y1的左焦点重合，则这条抛物线的方

2程是（ ）

A、y24x B、y24x 、y242x D、y28x

C7、抛物线y28x的焦点F的坐标为 ；若P为抛物线y28x上一点，点M的坐标4,2是，则MPFP的最小值为 。

8、若点3,1是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 。

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学习改变命运，奋斗成就未来 9、抛物线x214y 北京博世教育莱钢辅导学校为你导航

上的点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标

为 。 三、解答题

10、根据下列条件，求抛物线方程：

（1）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x4y120上； （2）已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y2x1截得的弦长为15，求次抛物线方程。

11、已知抛物线y22px（p0）的焦点F的直线交抛物线于Ax1,x2，

Bx2,y2两点。

求证：（1）x1x2为定值； （2）

1FA1FB为定值。

12、已知抛物线x4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AFFB2（0），过A、B两点分别做抛物线的切线，设其交点为M。

（1）证明：FMAB为定值；

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（2）设ABM的面积为S，写出Sf的表达式，并求S的最小值。

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1、已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，点P1x1y,1在抛物线上，且2x2x1x3，则有（ ）

AP2x2，,y2，P3x3,y3、FP1FP2FP3 B、FP1FP2FP3 、2FP2FP1FP3 D、FP2FP1FP3

2222C2、设O是坐标原点，F是抛物线y22px（p0）的焦点，A是抛物线上的一

点，FA与x轴正方向的夹角为60，则OA为 。

3、在平面直角坐标系xOy中，有一定点A2,1，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px（p0）的焦点，则该抛物线的准线方程是 。

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