兴隆县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2

）an+sin

2

，则该数列的前10项和为（ ）

A． B．76 C．77 D．35

2． 已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ） A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6

3． 已知双曲线

（a＞0，b＞0）的右焦点F，直线x=

与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为

钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

4． 已知x，y∈R，且积为（ ） A．4

﹣

B．4

﹣

C．

，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面

D． +

5． 已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（ ） A．π

B．

C．

D．

6． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC的面积是（ ） A．16

B．6

C．4

D．8

7． 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（ ）

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A． B． C． D．

8． 复数z=A．第一象限 9． 函数y=

在复平面上对应的点位于（ ）

B．第二象限 的图象大致是（ ）

C．第三象限

D．第四象限

A． B． C． D．

10．某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为（ ）

A．20，2 B．24，4 C．25，2 D．25，4 11．已知复数z满足（3+4i）z=25，则=（ ） A．3﹣4i

B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i

12．设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5

二、填空题

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB= ．

14．在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R， 则2的取值范围是___________．

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15．设α为锐角，若sin（α﹣

）=，则cos2α= ．

16．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的 值是 ． 17．设实数x，y满足

，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值

为 ． 2218．已知关于的不等式xaxb0的解集为(1,2)，则关于的不等式bxax10的解集 为___________.

三、解答题

19．如图所示，在正方体ABCDA1BC11D1中． （1）求AC11与B1C所成角的大小；

EF所成角的大小． （2）若E、F分别为AB、AD的中点，求AC11与

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20．如图在长方形ABCD中，

（1）若M是AB的中点，求证：

是CD的中点，M是线段AB上的点，

与

共线；

．

（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；

（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．

21．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD， PD=AD=2EC，EC∥PD．

（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角： （Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；

（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．

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22．（本题满分14分）已知两点P(0,1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一点M(x,y)作y 轴的垂线，垂足为N，点E满足ME（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为

2MN，且QMPE0. 33，求AOB面积的最大值. 2【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．

23．4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，f=x2﹣ax+1在区间∀x∈[2，已知命题p：命题q：（x）p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

24．在平面直角坐标系xOy中，经过点P和Q．

且斜率为k的直线l与椭圆

有两个不同的交点上是增函数．若

（Ⅰ）求k的取值范围；

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（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

与共线？

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兴隆县外国语学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cosa2k+1=[1+cos一般地，当n=2k﹣1（k∈N）时，

*

2

2

）a1+sin

2

=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．

=a2k﹣1+1， 即a2k+1﹣a2k﹣1=1．

]a2k﹣1+sin2

所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k． 当n=2k（k∈N）时，a2k+2=（1+cos

*

2

）a2k+sin

2

=2a2k．

k

所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2．

该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77 故选：C．

2． 【答案】C

34

【解析】解：由已知得f′（x）=4xcosx﹣xsinx+2mx+1， 34

令g（x）=4xcosx﹣xsinx+2mx是奇函数，

由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9， 从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8． 故选C．

【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．

3． 【答案】D

x【解析】解：∵函数f（x）=（x﹣3）e， xxx

∴f′（x）=e+（x﹣3）e=（x﹣2）e，

令f′（x）＞0， 即（x﹣2）e＞0，

x

∴x﹣2＞0， 解得x＞2， 故选：D．

∴函数f（x）的单调递增区间是（2，+∞）．

【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．

4． 【答案】 A

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，

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若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， 则令sinα=则方程等价为即sin（α+θ）=﹣

（

cosθ+，则cosθ=

sinθ）=﹣1， ，

sin（α+θ）=﹣1，

，

∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， ∴|﹣

|≤1，即x2+y2≥1，

则对应的区域为单位圆的外部， 由

，解得

，即B（2，2

×

）， =4

，

A（4，0），则三角形OAB的面积S=直线y=则∠AOB=

x的倾斜角为

，

，

﹣

，即扇形的面积为

则P（x，y）构成的区域面积为S=4故选：A

，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．

5． 【答案】D

2

【解析】解：由函数f（x）=sin（ωx）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为

=π，可得ω=1，

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故f（x）=﹣cos2x．

若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=﹣cos2（x﹣a）=﹣cos（2x﹣2a）的图象； 再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+则实数a的最小值为故选：D

【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．

6． 【答案】D

【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC=∴S△ABC=absinC=故选：D．

7． 【答案】C

=8．

=，

．

，a=

+

，k∈Z．

，

【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1， 故外接球半径为故选C．

，外接球的体积为

【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．

8． 【答案】A

【解析】解：∵z=

=

=+i，

∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限． 故选A．

【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．

9． 【答案】A 【解析】解：∵函数

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∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大， A选项符合题意；

B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；

C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确； D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对． 综上，A选项符合题意 故选A

10．【答案】C 【解析】

考

点：茎叶图，频率分布直方图． 11．【答案】B

解析：∵（3+4i）z=25，z=∴=3+4i． 故选：B．

12．【答案】B

=

=3﹣4i．

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1

二、填空题

13．【答案】

．

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【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c ∴b=

，c=2a，

=

=

．

由余弦定理可得cosB=故答案为：

．

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．

14．【答案】1,1 【解析】

考

点：向量运算．

【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 15．【答案】 ﹣

【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣∴cos（α﹣

）=

，

）=，

．

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∴sin

2

∴cos2α=1﹣2sinα=﹣

=

．

[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．

16．【答案】【解析】

34 5考

点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.

17．【答案】 6 ．

【解析】解：∵ =（2x﹣y，m），=（﹣1，1）． 若∥， ∴2x﹣y+m=0， 即y=2x+m，

作出不等式组对应的平面区域如图： 平移直线y=2x+m，

由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大． 由解得

，

，代入2x﹣y+m=0得m=6．

即m的最大值为6． 故答案为：6

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．

18．【答案】(,)(1,) 【

解

析

】

12考

点：一元二次不等式的解法.

三、解答题

19．【答案】（1）60；（2）90． 【解析】

试

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题解析：（1）连接AC，AB1，由ABCDA1BC11D1是正方体，知AAC11C为平行四边形，

AC所成的角就是AC所以AC//AC11，从而B1C与11与B1C所成的角．

由AB1ACB1C可知B1CA60，

BC所成的角为60． 即AC11与

考点：异面直线的所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题． 20．【答案】

【解析】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），

，

由

，可得

与

共线；

与

垂直，

（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得

，

设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），

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由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，

，使得

与

垂直； 在

∴线段AB上存在点

（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，则

有最大值为4．

上的投影最大，

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．

21．【答案】 ∴EC⊥平面ABCD， 又BD⊂平面ABCD， ∴EC⊥BD，

∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N， ∴AC⊥BD，

又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC， ∴BD⊥平面AEC， ∴BD⊥AE，

∴异面直线BD与AE所成角的为90°． （Ⅱ）∵底面ABCD为正方形， ∴BC∥AD，

∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BC∥平面PAD，

∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EC∥平面PAD，

∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴ ∴平面BCE∥平面PAD， ∵BE⊂平面BCE，

【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，

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∴BE∥平面PAD．

（Ⅲ） 假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF， ∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD， ∴PD⊥CD，PD⊥AD， ∵PD=AD，F是PA的中点， ∴DF⊥PA， ∴∠PDF=45°，

∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD， ∴DF⊥平面PAE， ∴DF⊥PE，

∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D， ∴CD⊥平面PAD． 又DF⊂平面PAD， ∴DF⊥CD，

∵PD=2EC，EC∥PD， ∴PE与CD相交， ∴DF⊥平面PDCE， ∴DF⊥PD，

这与∠PDF=45°矛盾，

∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．

【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．

22．【答案】

【解析】（1）依题意知N(0,y)，∵ME2221MN(x,0)(x,0)，∴E(x,y) 3333则QM(x,y1)，PE(x,y1) …………2分

131x2y21 ∵QMPE0，∴xx(y1)(y1)0，即

33x2y21 …………4分 ∴曲线C的方程为3第 16 页，共 18 页

23．【答案】

2

【解析】解：∀x∈[2，4]，x﹣2x﹣2a≤0恒成立， 2

等价于a≥x﹣x在x∈[2，4]恒成立， 2

而函数g（x）=x﹣x在x∈[2，4]递增，

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其最大值是g（4）=4， ∴a≥4，

若p为真命题，则a≥4； f（x）=x2﹣ax+1在区间对称轴x=≤，∴a≤1， 若q为真命题，则a≤1； 由题意知p、q一真一假，

当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1， 所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为代入椭圆方程得整理得

． ①

上是增函数，

，

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△= 解得

或

．即k的取值范围为

，

．

与

共线等价于

． ，

，

．

，

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程①，又而所以

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

或

． ② ． ③

故没有符合题意的常数k．

【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．

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