第6章圆轴扭转

1圆轴扭转的概念:工程中发生扭转变形的构件 2.扭转变形的特点：

受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内，作用了一对大小相等，转向相反，作用平面平行的外力偶矩；变形特点：杆件任意两横截面都发生了绕杆件轴线的相对转动。这种形式的变形称为扭转变形。 3.研究对象：轴(以扭转变形为主的杆件） 扭转内力:扭矩和扭矩图

1. 扭转时的内力称为扭矩。截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。 Me =9 55 0 P(kW )/n(r/m in )(N.m)

2. 扭矩图：用平行于轴线的x坐标表示横截面的位置，用垂直于x轴的坐标MT表示横截面扭矩的大小，描画出截面

扭矩随截面位置变化的曲线，称为扭矩图.

例1：主动轮A的输入功率PA =3 6k W ，从动轮B、C、D输出功率分别为PB =PC =1 1k W ，P D=14 kW ，轴的转速n=30 0r /mi n.试求传动轴指定截面的扭矩，并做出扭矩图。 解：1)由外力偶矩的计算公式求个轮的力偶矩： MA=9550 P A/n=95 5 0x 36 /300 =1146 N.m MB=M C=9550 P B/n=350 N.m M D=9550 P D/n=446 N.m

2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC ,CA ,AD 段轴的扭矩。 M1+MB=0

M1=-MB=-350N .m MB+MC+M2=0

M2=-MB-MC=-700N .m MD-M3=0

M3=MD=446N .m 3)画扭矩图：

对于同一根轴来说，若把主动轮A安置在轴的一端，例如放在右端，则该轴的扭矩图为：

结论：传动轴上主动轮和从动轮的安放位置不同，轴所承受的最大扭矩(内力)也就不同。显然，这种布局是不合理的。 ◆ 圆轴扭转时横截面上的应力 1. 圆轴扭转时的变形特征:

1)各圆周线的形状大小及圆周线之间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度。 2)所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度γ。

平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面半径仍为直线。 推断结论：

1.横截面上各点无轴向变形,故截面上无正应力。

2.横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，发生了剪切变形，故横截面上有切应力存在。 3.各横截面半径不变，所以切应力方向与截面半径方向垂直。

4.距离圆心越远的点，它的变形就越大。在剪切比例极限内，切应力与切应变总是成正比，这就是剪切虎克定律。 因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布规律如图所示：

根据横截面上切应力的分布规律可根据静力平衡条件，推导出截面上任一点的切应力Tρ计算公式如下： T p= Mτρ/Iρ (M Pa )

M T—横截面上的扭矩（N.mm ）

ρ—欲求应力的点到圆心的距离（mm ） I p—截面对圆心的极惯性矩（mm4 ）。 τm ax= MT R/Iρ= MT/Wρ(M Pa) Wρ为抗扭截面系数(mm3)

极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小只与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心圆轴和空心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按下式计算： 实心轴:

空心轴:α=d/D

例1：如图所示,已知M 1=5kNm;M 2=3.2kNm ;M 3=1.8 kNm ;AB =200mm ;BC =250 mm,ΦAB=80m m ,ΦBC=50 m m,G=80GPa 。求此轴的最大切应力。 解：求AB 、B C段扭矩 M AB=-5kN.m M BC=-1.8kN.m

根据切应力计算公式:

圆轴扭转时的强度计算

强度条件:圆轴扭转时的强度要求仍是最大工作切应力τma x不超过材料的许用切应力[τ]。

对于阶梯轴，因为抗扭截面系数W p不是常量，最大工作应力不一定发生在最大扭矩所在的截面上。要综合考虑扭矩和抗扭截面系数Wp，按这两个因素来确定最大切应力。

圆轴扭转时的许用切应力[]值是根据试验确定的，可查阅有关设计手册。它与许用拉应力[]有如下关系 塑性材料[τ]＝(0．5～0．6)[σl] 脆性材料[τ]＝(0．8～1．0)[σl]

应用扭转强度条件，可以解决圆轴强度计算的三类问题：校核强度、设计截面和确定许可载荷。

例1：如图所示直径d=50 mm 的等截面圆轴，主动轮功率PA =2 0k W，轴的转速n=18 0r /m in ，齿轮B、C、D的输出功率分别为PB =3 kW ，P c=1 0k W ，PD =7 kW ，轴的许用切应力[τ]=3 8 M P a，试校核该轴的强度。

所以，轴的强度足够

例2：某拖拉机输出轴的直径d=50m m.其转速n=250r /min许用切应力[τ]=60 MP a，试按强度条件计算该轴能传递的最大功率。

例3：已知：P＝7.5kW ,n=100r /min ,轴的许用切应力[τ]＝40MPa ,空心圆轴的内外径之比α=0.5。求:实心轴的直径d 1和空心轴的外径D 2。

圆轴扭转时的变形和刚度计算 1.圆轴扭转时的变形

圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称为扭角。扭角是扭转变形的变形度量。

等直圆轴的扭角的大小与扭矩M T及轴的长度L成正比，与横截面的极惯性矩I p成反比，引入比例常数G，则有: φ= M T L/ G I p(ra d ) 2. 扭转时的刚度计算

刚度条件：最大单位长度扭角θmax小于或等于许用单位长度扭角[θ]。

注：对于阶梯轴，因为极惯性矩不是常量，所以最大单位长度扭角不一定发生在最大扭矩所在的轴段上。要综合考虑扭矩和极惯性矩来确定最大单位长度扭角。

根据扭转刚度条件，可以解决刚度计算的三类问题，即校核刚度、设计截面和确定许可载荷。