江苏南京市、盐城市2021 届高三第二次模拟考试数学试卷(有答案)

数学试卷

一、选择题

1.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z134i,则z1z2（ ） A.25°

B.-25

C.7-24i

UD.-7-24i

B\"的（ ）

2.设集合A,B是全集U的两个子集,则\"AB\"是\"AA.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知a,b是相互垂直的单位向量,与a,b共面的向量c满足ac=bc2,则c的模为（ ） A.1

B.2

C.2

D.22 4.在流行病学中,基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时,每 个感染者平均会感染一个以上的人,从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染 数持续低于1时,疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传 染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人,这N人中有V个人接 种过疫苗(

RV称为接种率),那么1个感染者新的传染人数为0(NV)，已知新冠病毒在某

NN地的基本传染数R02.5,为了使1个感染者传染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为（ ） A.40%

B.50%

C.60%

D.70%

2cos10sin205.计算所得的结果为（ ）

cos20A.1

B.2

C.3 D.2

6.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份,每一份叫做1密位的角.以密位作为 角的度量单位,这种度量角的单位制,叫做角的密位制.在角的密位制中,采用四个数码表示 角的大小,单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短 线,如7密位写成\"0-07\密位写成4-78.1周角等于6000密位,记作1周角=60-00, 71直角=15-00.如果一个半径为2的扇形,它的面积为π,则圆心角用密位制表示为（ ）

6A.12-50 B.17-50 C.21-00 D.35-00

x2y27.已知双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作倾斜角为θ

ab的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点A在第一象限,且cos则双曲线C的离心率为（ ） A.4

B.15 C.3 21若ABAF1, 4D.2

8.已知fx是定义在R上的奇函数,其导函数为f'x,且当x0时,f(x)xf(x)0,则不等式x(x21)f(x)0的解集为（ ） A.1,1

C.(,1)(1,) ,

二、多项选择题

9.对于两条不同直线m,n和两个不同平面,,下列选项中正确的为（ ） A.若m,n,,则mn B.若m//,n//,,则mn或m//n C.若m//,//,则m//或m D.若m,mn,则n//或n

10.已知ab0,下列选项中正确的为（ ） A.若ab1,则ab1 C.若2a2b1,则ab1

B.若a2b21,则ab1 D.若log2alog2b1,则ab1

B.(,1)0,1 D.1,0(1,)

11.已知函数f(x)|sinx||cosx|,则（ ） A.fx是周期函数

B.fx的图象必有对称轴

4D.fx的值域为 1,8πC.fx的增区间为[kπ,kπ],kZ

2kk2nk12.已知nN*,n2,p,q0,pq1，设f(k)C2，其中kN,k2n，则（ ） npqA.f(k)1

k02n

B.kf(k)2npq

k0n2nC.若np4，则f(k)f(8)

D.k01nf(2k)f(2k1)

2k1三、填空题

13.某班4名同学去参加3个社团,每人只参加1个社团,每个社团都有人参加,则满足上述 要求的不同方案共有__种.(用数字填写答案)

x2y214.已知椭圆1的右顶点为A,右焦点为F,以A为圆心,R为半径的圆与椭圆相

43交于B,C两点.若直线BC过点F,则R的值为_______.

15.在四棱锥PABCD中,PA面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,且PA2. 若点E,F分别为AB,AD的中点,则直线EF被四棱锥PABCD的外接球所截得的线段长 为_________.

16.牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解

方程根的一种方法.具体步骤如下:设r是函数yfx的一个零点,任意选取x0作为r的初 始近似值,过点x0,fx0作曲线yfx的切线l1,设l1与x轴交点的横坐标为x1,并称x1 为r的1次近似值;过点x1,fx1作曲线yfx的切线l2,设l2与x轴交点的横坐标为x2, 并称x2为r的2次近似值.一般的,过点xn,fxn(nN)作曲线yfx的切线ln1,记ln1与x轴交点的横坐标为xn1,并称xn1为r的n1近似值.设f(x)x3x1(x0)的零点为 r,取x00,则r的2次近似值为_______;设an33xnxn2x13n,nN*,数列an的前n项

积为Tn.若任意nN*,Tn恒成立,则整数λ的最小值为________.

四、解答题

17.在①)b3a﹔②a3cosB﹔③asinC1这三个条件中任选一个,补充在下 面问题中.若问题中的三角形存在,求该三角形面积的值;若问题中的三角形不存在,说明理 由.问题∶是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sinBsin(AC)3sinC,c3,________?

18.已知等比数列an的前n项和Sn2nr,其中r为常数. (1)求r的值;

(2)设bn21log2an,若数列bn中去掉数列an的项后余下的项按原来的顺序组成 数列cn,求c1c2c3c100的值.

19.某公司对项目A进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据表: 项目A投资金额x（单位：百万元） 所获得利润y（单位：百万元） (1)请用线性回归模型拟合y与x的关系,并用相关系数加以说明;

(2)该公司计划用7百万元对A,B两个项目进行投资.若公司对项目B投资x(1x6)百万 元所获得的利润y近似满足:y0.16时,获得的总利润最大?

附:①对于一组数据x1,y1,x2,y2,ˆaˆbxˆ的斜率和截距 ,xn,yn,其回归直线方程y 1 0.3 2 3 4 5 0.3 0.5 0.9 1 0.490.49,求A,B两个项目投资金额分别为多少 x1ˆ的最小二乘法估计公式分别为:bxyii1ninxynx2xi1nˆ. ˆybx,a2i②线性相关系数rxyii1ninxy2，一般地,相关系数r的绝对值在0.95以上

nn222xnxynyiii1i1含0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.

参考数据:对项目A投资的统计数据表中xiyi11,yi22.24,4.42.1.

i1i1nn20.如图,三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,B1C6,且ABB1C.

(1)求证:平面ABB1A1平面ABC;

(2)若点P在棱BB1上且直线CP与平面ACC1A1所成角的正弦值为21.已知直线l:yxm交抛物线C:y24x于A,B两点. (1)设直线l与x轴的交点为T.若AT2TB,求实数m的值;

(2)若点M,N在抛物线C上,且关于直线l对称,求证:A,B,M,N四点共圆. 22.已知函数f(x)exaxsinx1x,x[0,π],aR. (1)当a1时,求证:fx0; 24,求BP长. 5(2)若函数fx有两个零点,求a的取值范围.

参考答案

1.答案：A 解析： 2.答案：C 解析： 3.答案：D 解析： 4.答案：C 解析： 5.答案：C 解析： 6.答案：B 解析： 7.答案：D

解析：AF1AF22a①，BF1BF22a②， ①+②，AF1BF1AB4a,BF14a，

1则BF22a,△BF1F2中，16a24a24c222a2c，∴e2.

4

8.答案：B

解析：x0时，f(x)lnxf(x)0,(f(x)lnx)0， x,g(1)0，

令g(x)f(x)lnx,g(x)在(0,)0x1时，lnx0,g(x)0,f(x)0；

x1时，lnx0,g(x)0,f(x)0，

即x0时f(x)0，

f(x)为奇函数，x0时，f(x)0，

x210x210x1f(x)0,f(x)0或f(x)0，

2∴0x1或x1.

9.答案：ACD 解析： 10.答案：BC 解析： 11.答案：ABD

πππ∣cosx∣|cosx|sinx∣f(x)， 解析：fxsinx222π是fx的一个周期,A对; 2πππfxsinx∣cosx∣cosx∣sinx∣f(x). 222∴xπ是fx一条对称轴,B对; 4xππ

是fx一条对称轴,则fx在(0,)没有单调性,C错; 42

f2(x)|sinx||cosx|2sinxcosx∣, 不妨设0xπ,f2(x)sinxcosx2sinxcosx， 2t21令sinxcosxt[1,2],sinxcosx，

2t21yt2在[1,2]2,y[1,22]，

即f2(x)[1,22],f(2)[1,48]，D对，选ABD. 12.答案：AC

002n112n1解析：f(k)C2C2npqnpqk02n2n2n02nC212n1,A对， npq(pq)设随机变量X~B(2n,p)，则p(xk)f(k),， E(X)kf(k)2np2npq，B错，

k02nf(m)f(m1)4，即np4,p(0,1),n4，设f(k)maxf(m)，则f(m)f(m1)nmm2nmm1m12nm1C2C2qnpqnp， mm2nmm1m12nm1CpqCpq2n2n4m1npm142nm14m72nmqnn即，∴， 44q2nm1m812nm1nnmp4mn又mZ,m8,f(k)f(8)，C对；

2k12k14(2k1)pq， n2时，f(2k1)C42f(1)f(3)4pq34p3q4pqp2q24pq(pq)2pq

n114pq(12pq)8(pq)4pq，而y8x4x，这与f(2k1)矛盾，D错，

22k122故选AC. 13.答案：36 解析： 14.答案：解析： 15.答案：6 解析：这个外接球其实就是唬人的,由于EF始终在ABCD这个平面上,EF被外

接球截得的线段长,其实就是被ABCD外接圆截得的线段长(实际上外接球被ABCD平面所 截取的部分,就是ABCD的锤子数学外接圆)

于是既然这是个正方形,不难得到这个外接圆半径为2,EF这条弦中点到圆心距离很容易 求得是1213 2,然后弦长为:(2)2(12)26. 316.答案：,2

4解析：牛顿法最适合的是计算机…不是人手工算… 这个就只能一步一步来了,首先有f'x01, 切线:l1:xy1得到x11,然后f'x14, l2:4(x1)y1得到x23, 4顺便说一句,三次方程是不需要牛顿迭代的,直接卡当公式可以求精确值,有 r23(993)39930.6823, 1821, 至于第二个问题,先得算个递推出来,会有fxn3xnln1:3x1xxnyfxn,xn12n32xn123xn1,

这样说明,有anxn, xn1n如果累乘的话,就有Tnakk1x11, xn1xn1这里考虑到x221,后面只会更靠近r,不会再跌到以下,说明2就足够了.

2317.答案：选①，由sinBsin(AC)3sinC sin(AC)sin(AC)3sinC

2cosAsinC3sinCcosAb3asinB3sinA3π,A 263π2π,B或， 233ABC当B当Bπ333时，此时C,a,b，存在S2223193， ab28ABC时，此时C，此时ac3,b33，也存在S3611393. acsinB332224解析：

18.答案：（1）Sn2nr ①，

n2时，Sn12n1r ②， ①-②an2n1(n2)，

而a1S12r,a22,an为等比数列，

a222r1. a12r（2）由（1）知an2n1,bn21log22n12n ,

c1c2c102(12107)212227

710810721221155625411302. 212解析：

19.答案：（1）x123450.30.30.50.913,y0.6，

55xi152i149162525，

ˆbxyii15i5xy5x2xi152i11530.6210.2，

5559105ˆ0.60.230,y0.2x， a相关系数txyii155i5xy52222x5xy5yiii1i111530.6(5545)(2.241.8)

2100.4424.420.9520.95， 2.1故认为x,y线相关性较强.

(2)公司对B项目投资额为7x百万,所获利润为y0.27x获总利润为W0.16x0.490.490.490.2(7x)0.630.04x x1x10.490.630.04(x1)0.04 x10.490.670.04(x1)0.6720.040.490.39， x1当且仅当0.04(x1)此时对A项目投资解析：

0.495,即x时取\"=\". x1295百万,对B项目投资百万. 2220.答案：（1）取AB中点E，连接CE,B1E,CACB,CEAB， 又

ABB1C,B1CCEC,AB平面B1CE,ABB1E，

CE3,B1E3,CE2B1E26B1C2， CEB1E，又CEAB,B1EABE ,

CE平面ABB1A1,CE平面ABC,∴平面ABB1A1平面ABC，

（2）设平面ACC1A1的一个法向量nx0,y0,z0,CP与平面ACC1A1所成角为θ， 如图建系,设

BP,BP2,P(0,1,3),C(3,0,0), BB1A(0,1,0),A1(0,2,3),AC(3,1,0),AA1(0,1,3)，

3x0y00nAC0n(1,3,1),CP(3,1,3)，

y03z00nAA10sinCPn|CP||n|33333(1)2325411,BP. 542 解析：

x21.答案：（1）换参数方程好了,显然T:m,0,有l:y1212tm，带进抛物线有 tt222t4m,t242t8m0，既然AT2TB,那么就有22t12t2,t1t242t2,t2t28m2t264,m8.

1xtx02(2)连MN,令其与l的交点为Px0,y0,那么如果以这个点建立l的参数方程,就有l:，

1ty021xtx02既然M,N关于l对称,会有MNl,且MN的中点在l上,这样有MN:，如果分别和

1ty0228x0,既然MN中点在l上,会有对第二个方程抛物线方程联立,会得到t222y02t2y0t1t20,也就是

y02,结果发现对第一个方程也会有t1t20,于是事实上P既是MN中点,也是AB中

28x0都是一样的会有PMPNPAPB，实际上不但A,B,M,N 点同时由于后面2y0共圆,而且根本就是个正方形. 解析：

22.答案：（1）当a11时，f(x)exxsinxx1，要证f(x)0，

221xsinxx121， 只要证明xe1111xsinxx1sinxxcosxxsinxx22,F(x)2令F(x)2 xxee1111xxcosxxsinxxx(cosxsinx1)22220， xxee∴F(x)在[0,]上,F(x)F(0)1，证毕.

（2）由（1）知当a11时，f(x)exxsinxx10，

22f(x)在[0,]只有一个零点x0，舍去，

当a1时，f(x)exasinxaxcosx1， 2f(x)ex2acosxaxsinx,f(x)ex3asinxaxcosx， 当x0,时，f(x)0,f(x)2，

，

1当x,时，f(x)exx0,f(x)22f(x)在[0,]上单调递增，

注意到f(0)12a0,f()e2a0，

所以存在唯一的x0(0,)使fx00且当0xx0时，f(x)0,f(x)当x0x时，f(x)0,f(x)，

，

f(0)0,fx00，而f()ea10，

所以存在唯一的x1x0,使fx10且当x0,x1时，f(x)0,f(x)当xx1,时，f(x)0,f(x)，

；

fx1f(0)0,f()e10.

1所以f(x)有一个零点为0，另一个零点在(x1,)内，故a,.

2