第六章 无穷级数(典型例题)

第六章 无穷级数（3-4道小题，5分一个题）

例1、 考察下述级数的敛、散性(不用全部讲)

（1）n1n11111.....nn1； （2）n1； （3）2468；

lnn211111nn....4； （4）4567； （5）n12111111231...n......392n3234（6） ； （7）；

n2coscoscos...cos....n 23nn1（8）； （9）

n例2、 已知级数n1un的部分和

Snn3，则当n2时，求un。

例3、 若级数n1Sn0A.limnun收敛，记

Snuii1n，则B

；

SnBlimn存在；

SnC.limnD.S可能不存在； n是单调数列。

例4、 若级数

un1n收敛，则下列级数中收敛的是：（AE）

unA n110 B

10(u10)nn1 C n1un D

(un1n10) E

10un1n

例5、 设n1un50，vn100n1，则n12un3vn（D）

A 发散 B 收敛，其和为100 C 收敛，其和为50 D 收敛，其和为400

例6、 下列条件中，使级数n1unvnA一定发散的是

A.unn1发散且n1vn收敛；

B.unn1发散；

Cvnn1发散；

D.unn1和

vn1n都发散。

例7、 设级数

(1u)nn1收敛，则xlimun1。

1n21nn1例8、 判别下列级数的敛、散性。（1）（讲直接用极限形式的）

（2）

n131a3sinsin（a0)pnn1；（3）n1n（注意可推广n1n ）；

n41（4）

2nsinn13n;

例9、 判别下列级数的敛散性:、

2n!2nnn!n1n1(1); (2);(3)

nn3nnn1n2.

例10、 下列正项级数收敛的是：

1A n13n1 B

1n2nlnn C

12（lnn）n2n D

nn21nn

例11、 设

unavn(n=1,2,3,4………..) (a>0),且n1vn收敛，则

un1n （ D ）

A.必定收敛 B.必定发散 C.收敛性与a有关 D.以上三个结论都不对

例12、 若

limnunk(k0)n①，则正项级数

un1n的敛、散性为________．

例13、 判别级数的敛散性:

1n1n11n（结论记住，稍后给出一个结论）

例14、 下列级数中，绝对收敛的是（c）

A

n1(1)n2n1 B

n3n(1)()2 C n1(1)n1n113()2n D (1)n(n1)nn1



例15、 下列级数中，绝对收敛的是（c）

A

sinnn1 B

(1)n1nsinn C

(1)n1nsinn2 D

cosnn1

例16、 下列结论正确的是（C）

A 若n1un，n1vn都收敛，则n1(unvn)2也收敛

B若n1un，n1vn都收敛，则n1(u2nvn2)也收敛

C若正项级数n1un，n1vn都收敛，则n1(unvn)2也收敛

D若

uvn1nn收敛，则

un1n，

vn1n也收敛

例17、 若幂级数n1axnn在x2处收敛，则该级数在x1处是（）（在x2,x3呢）

A 发 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 敛散性不确定

例18、 若幂级数n1呢）

axnn在x2处条件收敛，则该级数在x1处是（）（在x2,x3A 发 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 敛散性不确定

例19、 若幂级数n0ax3nn在点x1处发散，在点x5收敛，则在点x0 ，x2，

x4，x6中使该级数发散的点的个数有

A． 0 个 B．1个 C．2个 D． 3个

例20、 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间（讨论端点）：

（1）n11nn1xn；（做题步骤）

解：三步：先写出系数，求出收敛半径，讨论端点求收敛区间。

1lim|an1|limn11,nn1ann（1）所以，R1；

（2）在端点

x1,1n11n发散；

在端点

x1,1n1n11n收敛。

故收敛域为1,1。

1n1!0,an1lim||limnnnx1ann!（2）n0n!；解：因为所以，R；

故收敛区间为,。

（3）n0n!xnnnx1n；（4）n01(3)的收敛区间（不考虑端点）

1x2n1的收敛半径及区间（考虑区间端点）例21、 （05）求n0。

n2n(x1)2n12n1的收敛半径及区间（考虑区间段点）例22、 （口述）求n0。

n例23、 若幂级数n0anxn的收敛半径为R ，则幂级数n0ax2n2n的收敛区间为

A．R,R B．2R,2R

C．R,R D．2R,2R

2nxn2xS(x)en!例24、 幂级数n0的和函数

2nxne2x1.（若换为n1n!）

xn1x(1)S(x)ln(1).n1(n1)22例25、 幂级数n0 的和函数

n

2n2en!例26、 级数n0的和

.

例27、 将将函数

fx11x2展开成x幂级数

2x2例28、 （07）将4x展开x的幂级数。

12例29、 （08）将xx2展开x的幂级数。

例30、

f(x)1(x1)2展开为x的幂级数。

12例31、 将xx2展开x1的幂级数（即在点x1处展开成幂级数）。

例32、 将

fx2x展开成x幂级数。

xf(x)e例33、 （06）函数在x0处展开的幂级数是------。

2例34、 将f(x)lnx展开x2的幂级数。

例35、 将fxln1x展开成x3幂级数（即在点x3处展开成幂级数）