任意角和弧度制、任意角的三角函数 高一

个性化教学辅导教案

学科：数 学 年级：高一 任课教师： 授课时间：2017年 秋季班 第12周 教学 课题 任意角和弧度制、任意角的三角函数 教学 1.角的概念； 2.弧度制及其应用； 3.任意角的三角函数. 目标 教学 任意角三角函数的理解 重难点 教学过程 突破点(一) 角的概念 基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．角的定义

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类

角的分类象限角：角的终边在第几象限，这按终边位置

不同分类 个角就是第几象限角

轴线角：角的终边落在坐标轴上

3.象限角的范围

正角：按顺时针方向旋转形成的角

按旋转方向

负角：按逆时针方向旋转形成的角

不同分类

零角：射线没有旋转

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k 第四象限角的集合为k360270k360360,k 终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k 终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

第一象限角的集合为k360k36090,k



4．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β

1

＝α＋2kπ，k∈Z}．

已知是第几象限角，确定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的n*正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为所落在的区域． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 终边相同的角 n终边

kk

x＝·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，那么( ) [例1] (1)设集合M＝x24









A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅

(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．

[方法技巧]

终边相同角的集合的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

象限角 3π4π[例2] (1)给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象

43限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

α

(2)若角α是第二象限角，则是( )

2

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角

[方法技巧]

α

确定(n≥2，且n∈N*)的终边位置的方法

n

(1)讨论法

①用终边相同角的形式表示出角α的范围；

αα

②写出的范围； ③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．

nn(2)等分象限角的方法

α

已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．

n①等分：将每个象限分成n等份；

2

②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴； α

③选答：出现数字m的区域，即为的终边所在的象限．

n

能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一、二]给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关； ④若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

ππ

kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 2.[考点一]集合α42





3.[考点二]若α为第一象限角，则β＝k·180°＋α(k∈Z)是第________象限角．

4.[考点一]终边在直线y＝3x上的角的集合为________．

α

5.[考点一、二]已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断是第几3象限角．

突破点(二) 弧度制及其应用

基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．弧度制的定义

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式

角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 l|α|＝(弧长用l表示) r180°π①1°＝ rad；②1 rad＝π 180 3

弧长公式 扇形面积公式 弧长l＝|α|r 11S＝lr＝|α|r2 22考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 扇形的弧长及面积公式 [典例] (1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 (2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm.

(3)一扇形周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形

的最大面积？

[方法技巧]

弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 3

1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的

2________倍．

2．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．

3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？

突破点(三) 任意角的三角函数

基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 三角函数 正弦 余弦 正切 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 定义 yy叫做α的正弦，记作sin x叫做α的余弦，记作cos x叫做α的正切，记作tan 4

α Ⅰ 各象限符号 Ⅱ Ⅲ Ⅳ ＋ ＋ － － α ＋ － － ＋ α ＋ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 三角函数值的符号判定 cos α[例1] (1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )

tan α

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值( )

A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不确定

根据三角函数的定义求三角函数值 [例2] (1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin α＝________.

(2)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α， cos α和tan α的值．

[方法技巧]

由三角函数定义求三角函数值的方法

(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．

由三角函数值求点的坐标 [例3] (1)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝3，则a的值为( ) 443

A．43 B．±43 C．－43或－ D.3

3(2)若420°角的终边所在直线上有一点(x,3)，则x的值为________．

[方法技巧]

5

求角α终边上点的坐标的类型及方法

(1)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．

(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )

θθθ

A．sin B．cos C．tan D．cos 2θ

2222.[考点一]已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( )

A．大于0 B．大于等于0 C．小于0 D．小于等于0 3.[考点二]已知角α的终边与单位圆的交点Px，



3，则tan α＝( ) 2

A.3 B．±3 C.33 D．± 33

1

4.[考点二、三]设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝( )

54334A. B. C．－ D．－ 3443

5.[考点三]已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．

[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考

[练基础小题——强化运算能力]

1．若cos α>0且tan α<0，则α是( )

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A．重合 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( ) ππ

A. B. C.3 D．2 32

4．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n等于( )

A．2 B．－2 C．4 D．－4

6

ααα

sin＝－sin，则角是第________象限角． 5．设角α是第三象限角，且222

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ααsin cos

22

2．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )

ααsincos22

A．0 B．2 C．－2 D．2或－2 3．已知角α的终边经过一点P(x，x2＋1)(x>0)，则tan α的最小值为( ) 1

A．1 B．2 C. D.2

2

4．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( ) A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)

5.已知A={第一象限}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A,B,C的关系是（ ） A.

6．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）

A．2

二、填空题

7．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．

8．已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sin α＝

9．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为________．

三、解答题

10．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）

2m

，则m＝________. 4

B．

BAC;B.BCC;C.AC;D.ABC.

2 sin1 C．2sin1 D．sin2

7

（1） （2） （3）

11．已知sin α＜0，tan α＞0.

αααα

(1)求角α的集合； (2)求角终边所在的象限； (3)试判断 tansin cos的符号．

2222

12．已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

8