矩阵分析模拟试题及答案

矩阵分析模拟试题及答案

一.填空题(每空3分,共15分)

1. 设A为3阶方阵, 数2, A3, 则A= -24．

TTTT2. 设向量组1(1,2,3,4)，2(2,3,4,5)，3(3,4,5,6)，4(4,5,6,7)，则

R(1,2,3,4)=2．

322a3，B是3阶非零矩阵，且AB0，则a1/3． 3. 已知A2311124500x2与0y0相似，则xy=-1． 4．设矩阵A24210045. 若二次型fx1,范围是2ax2,22x32x12x2x32x1x2ax2x3是正定二次型，则a的取值

2．

二.单项选择题(每小题3分,共15分)

1. 设A是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，

100100记P1110，P2001，在则A（ D ）

001010(A)P1P2 (B)P11P2 (C)P2P1 (D)P2P11

2. 设A是4阶矩阵，且A的行列式A0，则A中（ C） (A) 必有一列元素全为0 (B) 必有两列元素成比例

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任意列向量是其余列向量的线性组合

3． 设A与B均为3阶方阵, 且A与B相似, A的特征值为1, 2, 3, 则(2B)的特

1征值为（B ）

31112(A) 2, 1, (B) , , (C) 1, 2, 3 (D) 2, 1,

22463

4. 设A,B均为n(n2)阶方阵，则必有（ C ） (A) |AB||A||B| (B) ABBA

(C) |AB||BA| (D) (AB)1B1A1

5. 设n维向量1,2,,m(mn)线性无关，则n维向量1,2,,m线性无关的充要条件为（D ）

(A) 向量组1,2,,m可由向量组1,2,,m线性表 (B) 向量组1,2,,m可由向量组1,2,,m线性表示 (C) 向量组1,2,,m与向量组1,2,,m等价

(D) 矩阵A（1,2,,m）与矩阵B（1,2,,m）等价

三. (每小题6分，共12分)

1110 (1)计算行列式D110110110111的值

4317(2)计算矩阵乘积1232

570111D1解：（1）0110110110111100110101011001111011111 1011110123121114317 （2）1232359

5701201100四.(12分)已知A030，B010，若X满足AX2BBA2X，求

202000

X.

解：

AX2BBA2X(A2E)XB(A2E)001又A2E01020200

A2E可逆X(A2E)1B(A2E)001001A2E010,(A2E)102 20001100

1X(A2E)1B(A2E)000102100001000100100020000010 001五. (本题14分)当a取何值时，线性方程组

x14x2x3 1ax23x33 x13x2(a1)x30无解，有唯一解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。

解：

Ab14110a3314110a3313a1001a211111411

401a2101a210a3300a22a3a3a1时，R(A)2R(Ab)3方程组无解；

a1且a3时，R(A)R(Ab)3方程组有唯一解； a3时，R(A)R(Ab)23方程组有无穷多解；

100

14111411a3时，(Ab)03330111

1032000010530111 000035通解为：x1k1,kR.

01六

.(

本

题

12

分

)

设

有

向

量

组

1(1,2,1,3)T,2(1,1,0,1)T,3(1,3,4,7)T,4(2,1,1,0)T，试求此向量组

的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组表示出来。

A123211121314104131702111211101530153015300000210600001041 015300000000所以

R(1234)2,1,2为一极大线性无关组且3-4152,4132七.(12分) 已知二次型

22f(x1,x2,x3)x12x2x32x1x22x1x32x2x3,

求一个正交变换XPY，把f化为标准形, 并写出该标准型。 解：

111A111,EA2(3)111A的特征值120,33,

对应的特征向量为：10T，112T112，3111T将1110T，T2112，T3111

单位化得P112110T，P216112T，P31311211AP1P2P31162613,XPY 213063则f3y23

八.（8分）设n阶实对称矩阵A满足A2A2E0，证明：

A2E的所有特征值都不等于零。

证明： 假设0是A2E的一个特征值，则

A2E0

A2A2E0A2A2EA2A2E0A0

又A2A2E0A2A2EA(AE)2E

AAE2A0

矛盾，所以A2E的所有特征值都不等于零

1T令

1