2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案详解

数学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合Ax|1x2,Bx|0x3，则AB ( )

A．(－1,3) B．(－1,0) C．(0,2) D．(2,3) 2．若a为实数，且

2ai3i，则a ( ) 1iA．－4 B．－3 C．3 D．4

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形

图，以下结论中不正确的是( )

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量a1,1，b1,2，则2aba ( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

- 1 -

5．设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5 ( )

A．5 B．7 C．9 D．11

6.

第6题图

一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体

积与剩余部分体积的比值为( )

1111A. B. C. D. 8765

0 B0，3，C2，3，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为7．已知三点A1，( )

5212A. B. C. D. 3333

8.

第8题图

右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损

术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a ( )

A．0 B．2

- 2 -

C．4 D．14

9．已知等比数列an满足a11，a3a54a41，则a2 ( ) 411

A．2 B．1 C. D.

28

10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三

棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A．36π B．π C．144π D．256π

11.

如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则

y＝f(x)的图象大致为( )

12.设函数fxln1x1，则使得fxf2x1成立的x的取值范围1x2是( )

11 A.，1 B.-，1，331111-， C.－， D.-，3333第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

- 3 -

13．已知函数fxax32x的图象过点-1,4，则a________.

x＋y－5≤0，

14．若x，y满足约束条件2x－y－1≥0，

x－2y＋1≤0，

________．

则z2xy的最大值为

115．已知双曲线过点4，3，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程

2为________． 16．已知曲线yxlnx在点1,1处的切线与曲线yax2a2x1相切，则

a________.

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分) ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC (1)求

sinB sinC(2)若BAC60，求B

18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分

- 4 -

别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意

度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．

图①

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度评分分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6 2015·新课标Ⅱ卷 第4页(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出

具体值，给出结论即可)．

图②

- 5 -

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．

19.

(本小题满分12分)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，

BC10,AA18，点E,F分别在A1B1,D1C1上，A1ED1F4.过点E,F的

平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．

- 6 -

2x2y220.(本小题满分12分)已知椭圆C：221a.b0的离心率为，点

2ab2，2在C上．

(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的

中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

21.(本小题满分12分)已知函数fxlnxa1x． (1)讨论fx的单调性；

(2)当fx有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作

答时请写清题号．

- 7 -

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图O是等腰三角形ABC内一点, ⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. （I）证明EF∥BC.

（II）若AG等于⊙O的半径,且AEMN23 ,

求四边形EDCF的面积

AGEOBMDNCF

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1:xtcos, （t为参数,且t0 ）,其中0,在以O

ytsin,为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin,C3:23cos. （I）求C2与C3交点的直角坐标；

（II）若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值

24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：

(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；

- 8 -

(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．

2015·新课标Ⅱ卷 第8页

- 9 -

1、选A 2、故选D 3、选D 4、选B

5、解：在等差数列中，因为

a1a3a53,所以a31,S5(a1a5)55a35,故选A.

2

6、解：如图所示，选D.

7、选B. 8、故选B.

9、解：因为an满足a121,a3a54(a41),所以， 4112.故选C. 42a44(a41),解得a42,又a4a1q3，所以q2,所以a2a1q

10、解：因为A,B都在球面上，又AOB90,C为该球面上动点，所以 三棱锥的体积的最大值为S=4πR144π，故选C.

11、解：如图，当点P在BC上时，

21121RRR336，所以R=6，所以球的表面积为 326DxAOPCBOPx,PBtanx,PA4tan2x,PAPBtanx4tan2x,当x

B4时取得最大值15，

以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB<15. 又函数f(x)不是一次函数，故选B.

- 10 -

1,是偶函数，x[0,)时函数是增函数 1x21f(x)f(2x1)x2x1,x2(2x1)2,解得x1.故选A.

312、解：因为函数f(x)ln(1x)第二卷

一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 13、答：a=-2

14、解：当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.

15、解：设双曲线的方程为x24y2k(k0),点（4，,3）代入方程，解得k4.

x2双曲线的标准方程为y21

416、解：y'11,切线的斜率为2，切线方程为y2x1. x将y2x1与yax2(a2)x1联立得ax2ax20,由a28a0,解得a8或a0.a0时曲线为y2x1与切线平行，不符。 所以a8.

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

sinBAC,

sinCABACDC1sinB1再由三角形内角平分线定理得，.

ABBD2sinC217、解：（Ⅰ）由正弦定理得

（Ⅱ）BAC60,BC120

由（1）得sinB1.sinC2sinB,sin(120B)2sinB,展开得sinC2

3tanB,B30.318、解：（1）B地区频率分布直方图如图所示

- 11 -

频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005B地区用户满意度评分的频率分布直方图O5060708090100满意度评分

比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：

A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分 B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分 A地区用户评价意见较分散，B地区用户评价意见相对集中。 （2）A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6， B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，

所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。

19、解：（I）在AB上取点M,在DC上取点N，使得

D1AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF，即平面α。 EA1（II）两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比

D等于底面积之比，即

FC1B1CBV1SAMEA14107. V2SEMBB16129

Ac2, 20、解、（I）如图所示，由题设得a2YBMOAXC(2,2)42又点的坐标满足椭圆的方程，所以221，

ab联立解得：

x2y222a8,b4,所以切线C的方程为：1.

84（II）设A,B两点的坐标为

（x1,y1），（x2,y2）,点M的坐标为（m,n）,kom则x12y18,x22y28,

上面两个式子相减得：

2222n. m2(y2y1)(x2x1)0.变形得

2222y2y11x1x212mm.

x2x12y1y222n2n- 12 -

klkom

y2y1nmn1().（定值）

x2x1m2nm221、解：已知fxlnxa1x.

1a.x 当a0时，函数f(x)在（0，）上是增函数；11当a0时，函数f(x)在（0,)上是增函数，在(,)上是减函数.aa(1)f'(x)（II）由（1）知，当a0时，函数f(x)在x11时取得最大值f()a1lna. aa由a1lna2a2,整理得lnaa10.

1,a0x0,g'(x)0,g(x)在（0，）是增x函数。又g(1)0,上述不等式即g(a)g(1),0a1,即a(0,1）.设g(x)lnxx1,则g（'x）1

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号

22、（I）证明：由切线的性质得AE=AF，所以△AEF是等腰三角形，又AB=AC, 所以

AGEOBMDNCFAEAF,AEFABC,EF∥BC. ABAC（II）解：

连接OE,则OEAE,AGOEOGR, OA2R,4RR(23)，R2，OM2

2221AD10MN3,OD1AD2R15,AB. 2cos303OEAB,BAD30，BAC60ABC,AEF都是等边三角形.MDS四边形EBCF

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21101163sin6023sin60. 23232

23.在直角坐标系xOy中,曲线C1:xtcos, （t为参数,且t0 ）,其中0,

ytsin,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin,C3:23cos. （I）求C2与C3交点的直角坐标；

（II）若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值. 解：（I）曲线C2:2sin,C3:23cos. 的直角坐标方程是

C1:x2y2y0;C2:x2y223x0.

3x,33x0,2联立解得C,C交点的直角坐标为（0,0）、（，）. 123y0.22y.20）. （II）曲线C1的极坐标方程为（R，0，因此点A的极坐标为（2sin,）,点B的极坐标为（23cos,）,所以AB2sin23cos4sin(当

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设a,b,c,d 均为正数,且abcd.证明： （I）若abcd ,则ab（II）ab3).

5时，AB取得最大值，最大值为4.6cd；

cd是abcd的充要条件.

224、证明：（I）因为（ab）ab2ab,cd2cd2cd,

由题设知abcd,abcd.ab（II）（必要性）

cd.

若abcd,则(ab)2(cd)2,变形得(ab)24ab(cd)24cd.

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abcd,abcd,由（1）得abcd.

（充分性）若abcd,则ab2cd

2ab2abcd2cd,abcd,abcd.ab2ab24abcd24abcd24cdcd2.

abcd. 所以，abcd是abcd成立的充要条件。

- 15 -