建平县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

建平县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________

一、选择题

1． 设函数的集合

姓名__________ 分数__________

，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P中函数

的图象恰好经过Q中

两个点的函数的个数是A4B6C8D10

2． 已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）A．x+y=0B．x+y=2C．x﹣y=2D．x﹣y=﹣23． “

”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（

B．充分必要条件

）

A．充分非必要条件

C．必要非充分条件D．非充分非必要条件　

4． 设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ A．m⊥α，m⊥β，则α∥βC．m⊥α，n⊥α，则m∥n

A．若l，，则l C．若l，//，则l

B．m∥n，m⊥α，则n⊥αD．m∥α，α∩β=n，则m∥n

）

B．若l//，

）

5． 设,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（

//，则l

D．若l//，，则l6． 已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组A．

B．

所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（ C．π

D．2π

）

）

2x7． 函数y(a4a4)a是指数函数，则的值是（ A．4

B．1或3

C．3

D．1

8． 关于函数f(x)2lnx，下列说法错误的是（ ）x第 1 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

（A）x2是f(x)的极小值点

（ B ） 函数yf(x)x有且只有1个零点 （C）存在正实数k，使得f(x)kx恒成立

（D）对任意两个正实数x1,x2，且x2x1，若f(x1)f(x2)，则x1x24

9． 已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PAPB的最小值为

A、42 B、32 C、422 D、322

10．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ）A．1372

B．2024

C．3136

D．4495

11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A、2865 B、3065 C、56125 D、 60125

12．已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有

成立，下列结论中错误的是（

A．f（3）=0

B．直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴C．函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点D．函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数　　

）

二、填空题

13．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且满足对任意的实数x都有f[f（x）﹣2x]=6，则f（x）+f（﹣x）的最小值等于　　　　　　．　

14．已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为　　．15．在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为　　　　　　．　16．Sn=

+

+…+

=　　．第 2 页，共 17 页

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17．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为　　海里．18．命题“若a＞0，b＞0，则ab＞0”的逆否命题是　　　　　　（填“真命题”或“假命题”．）　

三、解答题

19．（本小题满分13分）已知函数f(x)ax3x1，（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)．

321220．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y(如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

1ta)（a为常数），16第 3 页，共 17 页

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21．平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程；

（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半

（2）圆C1与圆C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交请说明理由．

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x2cos以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为（y2sin第 4 页，共 17 页

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为参数，[0,]），直线l的参数方程为íìïx=2+tcosa（t为参数）．

ïîy=2+tsina（I）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x+y+2=0垂直，求点D的极坐标；（II）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．

【命题意图】本题考查圆的参数方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．

23．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0（1）求实数m的值．

（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．

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24．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．　

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建平县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题

1． 【答案】B

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；

a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个2． 【答案】D

【解析】【分析】由题意可得圆心C1和圆心C2，设直线l方程为y=kx+b，由对称性可得k和b的方程组，解方程组可得．

【解答】解：由题意可得圆C1圆心为（0，0），圆C2的圆心为（﹣2，2），∵圆C1：x2+y2=4和圆C2：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，

∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l对称，设直线l方程为y=kx+b，∴

•k=﹣1且

=k•

+b，

解得k=1，b=2，故直线方程为x﹣y=﹣2，故选：D．3． 【答案】A

【解析】解：由x2+x+m=0知，（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴

．）

，，未必有

，

⇔

．

反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有因此“故选A．

”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．

【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．　

4． 【答案】D

【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；

C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．

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【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．　

5． 【答案】C111]【解析】

点：线线，线面，面面的位置关系6． 【答案】 B

【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．则f（x）=

x3﹣x2+ax，

函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，因为原点处的切线斜率是﹣3，即f′（0）=﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，故a=﹣3，b=2，所以不等式组为

则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，

如图阴影部分表示，

所以圆内的阴影部分扇形即为所求．∵kOB=﹣

，kOA=

，

∴tan∠BOA==1，

∴∠BOA=，

∴扇形的圆心角为

，扇形的面积是圆的面积的八分之一，

∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为

×4×π=

，

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考

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故选：B

【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．　

7． 【答案】C【解析】

考点：指数函数的概念．8． 【答案】 C 【解析】

21x22，f'(2)0，且当0x2时，f'(x)0，函数递减，当x2时，f'(x)0，2xxx21函数递增，因此x2是f(x)的极小值点，A正确；g(x)f(x)x，g'(x)21xx17(x)224，所以当x0时，g'(x)0恒成立，即g(x)单调递减，又g(1)2e110，x2ee2f(x)2lnx所以g(x)有零点且只有一个零点，B正确；设h(x)，易知当x2g(e2)22e20，2exxx2lnx2111222f(x)时，h(x)22，对任意的正实数k，显然当x时，k，即k，

xxxxxxxkxxf(x)kx，所以f(x)kx不成立，C错误；作为选择题这时可得结论，选C，下面对D研究，画出函数草f'(x)第 9 页，共 17 页

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图

可看出（0，2）的时候递减的更快，所以x1x249． 【答案】D.

12sinPAPBt1POt2t，PAPB【解析】设，向量与的夹角为，，

22cos12sin12，PAAPBPAPBcos(t21)(12)(t1)，

2tt22PAAPBt23(t1)，依不等式PAAPB的最小值为223.

t210．【答案】 　C【解析】

【专题】排列组合．

【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边，根据分类计数原理可得．

【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法，

再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73=1372个．

另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，

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再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个．

综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．故选：C．

【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题．11．【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：

S底10,S后10,S右10,S左65，

因此该几何体表面积S3065，故选B．12．【答案】D

【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3），∴f（3）=0，故A正确；

对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x），∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），

∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；

对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0，∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确；对于D：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有

∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，

∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数，∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D错误．综上所述，命题中正确的有A、B、C．故选：D．

【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．

，

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二、填空题

13．【答案】　6　．

【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，∴当x=a时，又∵a+2a=6，∴a=2，∴f（x）=2+2x，

∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4≥2

+4=6，当且仅当x=0时成立，

∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，故答案为：6．

【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．　

14．【答案】　3　．

【解析】解：∵f（x）=（2x+1）ex，∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex，∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．故答案为：3．　

15．【答案】　7+

【解析】解：如图所示，设∠APB=α，∠APC=π﹣α．在△ABP与△APC中，

由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα，AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），∴AB2+AC2=2AP2+∴42+32=2AP2+解得AP=

．

，，

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∴三角形ABP的周长=7+故答案为：7+

．

．

【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

16．【答案】 【解析】解：∵∴Sn=

+

+…+

﹣

）=（1﹣

）

=

=（

﹣

），

= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（=

，

．

故答案为：

【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．　

17．【答案】　24　

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为24故答案为：24

．

海里．

=24

海里，

18．【答案】　真命题　

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【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题，则命题的逆否命题也为真命题，故答案为：真命题．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．　

三、解答题

19．【答案】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3ax6x3x(ax2)， （1分）

222或x0，解f(x)0得0x，aa22∴f(x)的递增区间为(,0)和(,)，f(x)的递减区间为(0,)． （4分）

aa②当a0时，f(x)的递增区间为(,0)，递减区间为(0,)． （5分）

22③当a0时，解f(x)0得x0，解f(x)0得x0或xaa22∴f(x)的递增区间为(,0)，f(x)的递减区间为(,)和(0,)． （7分）

aa22（Ⅱ）当a2时，由（Ⅰ）知(,)上递减，在(,0)上递增，在(0,)上递减．

aa22a40，∴f(x)在(,0)没有零点． （9分）∵f2aa11∵f010，f(a2)0，f(x)在(0,)上递减，

281∴在(0,)上，存在唯一的x0，使得fx00．且x0(0,) （12分）

21综上所述，当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)． （13分）

210t,0t0.120．【答案】（1）y1t0.1；（2）至少经过0.6小时才能回到教室。

(),x0.116①当a0时，解f(x)0得x【解析】

试题分析：（1）由题意：当0t0.1时，y与t成正比，观察图象过点0,0，(0.1,1)，所以可以求出解析式为y10t，当t11ta110.1a时，y与t的函数关系为y()，观察图象过点(,1)，代入得：1()，10161016第 14 页，共 17 页

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10t,0t0.11t0.1所以a0.1，则解析式为y()，所以含药量y与t的函数关系为：y1t0.1；（2）观

16(),x0.116察图象可知，药物含量在0,0.1段时间内逐渐递增，在t0.1时刻达到最大值1毫克，在t0.1时刻后，药

物含量开始逐渐减少，当药物含量到0.25毫克时，有(所以至少要经过0.6小时，才能回到教室。试题解析：（1）依题意，当易求得k＝10，∴ y＝10t，

，可设y与t的函数关系式为y＝kt，

1t0.11)0.25，所以t0.10.5，所以t0.6，164∴ 含药量y与时间t的函数关系式为

（2）由图像可知y与t的关系是先增后减的，在 然后

时，y从1开始递减。 ∴

时，y从0增加到1；，解得t＝0.6，

∴至少经过0.6小时，学生才能回到教室

考点：1.分段函数；2.指数函数；3.函数的实际应用。21．【答案】

【解析】解：（1）由圆C1的参数方程为．

由圆C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为ρ2=4ρsinθ，∴直角坐标方程为x2+y2=4y．（2）联立

，解得

，或

．

2+y2=4（φ为参数），可得普通方程：（x﹣2），即x2﹣4x+y2=0

∴圆C1与圆C2相交，交点（0，0），（2，2）．公共弦长=

．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．【答案】

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【解析】（Ⅰ）设D点坐标为(2cosq,2sinq)，由已知得C是以O(0,0)为圆心，2为半径的上半圆，因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线OD与直线x+y+2=0的斜率相同，为(-1,1)，极坐标为(2,3p)．4223，故D点的直角坐标4（Ⅱ）设直线l：yk(x2)2与半圆xy2(y0)相切时

|2k2|1k22k24k10 k23，k23（舍去）

设点B(2,0)，则kAB2022,

22故直线l的斜率的取值范围为(23,22]. 23．【答案】

【解析】解：（1）∵f（4）=0，∴4|4﹣m|=0∴m=4，

（2）f（x）=x|x﹣4|=

图象如图所示：

由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．（3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数，由图可知k∈（0，4）．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b

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再由已知得，解得

故函数v（x）的表达式为．

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得

当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，

当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．

所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为

．

，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ） 函数v（x）的表达式

（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．　

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