2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2021·全国乙卷）已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则Cu（MUN）=（ ） A. {5} B. {1,2} C. {3,4} D. {1,2,3,4} 【答案】 A
【考点】交集及其运算，补集及其运算
【解析】【解答】因为 U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4} 则 MUN ＝{1，2，3，4}， 于是 Cu（MUN）= {5} 。 故答案为：A
【分析】先求 MUN，再求 Cu（MUN） 。
2.（2021·全国乙卷）设iz=4+3i，则z等于（ ） A. -3-4i B. -3+4i C. 3-4i D. 3+4i 【答案】 C
【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】因为 iz=4+3i ，所以Z＝ 故答案为：C
【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。
3.（2021·全国乙卷）已知命题p： ∃ x∈R，sinx＜1；命题q： ∀ x∈R， e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. p ∧ q B. ¬ p ∧ q C. p ∧¬ q D. ¬ (pVq) 【答案】 A
【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A
【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。
4.（2021·全国乙卷）函数f（x）=sin 3 +cos 3 的最小正周期和最大值分别是（ ） A. 3 π 和 √2 B. 3 π 和2 C. 6π 和 √2 D. 6π 和2 【答案】 C
【考点】正弦函数的图象，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值
𝑥𝑥2𝑥𝜋
【解析】【解答】因为 f（x）=sin 3 +cos 3＝√sin(+) ,所以周期𝑇＝234
2𝜋
13
4+3𝑖𝑖
=
4𝑖−3−1
=3−4𝑖。
𝑥𝑥
＝6𝜋 ，值域[－√2，√2]。
即最大值是√2， 故答案为：C。
【分析】先将 f（x） 解析式化成𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。
𝑥+𝑦≥4
5.（2021·全国乙卷）若x，y满足约束条件 {𝑥−𝑦≤2 ,则z=3x+y的最小值为（ ）
𝑦≤3A. 18 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】 C
【考点】简单线性规划
【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），
当直线 z=3x+y经过点（1，3）时，z取得最小值。此时zmin=3x1+3=6. 故答案为：C
【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。 6.（2021·全国乙卷）cos2
1
𝜋12
−cos2
5𝜋12
= （ ）
A. 2 B. √3 C. √2 D. √3
3
2
2
【答案】 D
【考点】二倍角的余弦公式
𝜋【解析】【解答】因为cos212
5𝜋
−cos212
=
1+cos(2×)2
𝜋12−
1+cos(2×
2
5𝜋)12=2(cos6−cos
1𝜋5𝜋
)=6
√3
2
故选D。
【分析】由降幂公式，可以化成特殊角的三角函数求值。
7.（2021·全国乙卷）在区间(0, 2 )随机取1个数，则取到的数小于 3 的概率为（ ） A. 4 B. 3 C. 3 D. 6 【答案】 B 【考点】几何概型
【解析】【解答】由几何概型得：P＝ 故答案为：B
【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。
8.（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ）
A. y=𝑥2+2𝑥+4 B. y=|sin𝑥|+|sin𝑥| C. y=2𝑥+22−𝑥 D. y=ln𝑥+ln𝑥 【答案】 C
【考点】函数的最值及其几何意义，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的图象与性质，基本不等式
【解析】【解答】对于A：因为y=(x+1)2+3,则ymin=3; 故A不符合题意；
对于B：因为y=|sin𝑥|+|sin𝑥| ， 设t=|sinx|( 𝑡∈(01] ),则y=g(t)=𝑡+𝑡(0<𝑡≤1)由双沟函数知， 函数y＝g(t)=𝑡+𝑡(0<𝑡≤1)是减函数，所以ymin=g(1)=5，所以B选项不符合； 对于C：因为 y=2𝑥+22−𝑥＝2𝑥+ 即ymin=4，故C选项正确；
对于D：当𝑥∈(0,1)时，y=ln𝑥+ln𝑥<0，故D选项不符合， 故答案为：C.
【分析】A,用配方法求出干净函数的最小值，判断不符合；B.换元利用双沟函数的单调性，求出最小值，判断不适合；C.变形后用基本不等式计算出最小值，判断符合；D 举反列说明其不符合。 9.（2021·全国乙卷）设函数 f(x)=1+𝑥 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. f(x−1)−1 B. f(x−1)+1 C. f(x+1)−1 D. f(x+1)+1 【答案】 B
【考点】函数奇偶性的判断，奇偶函数图象的对称性
1−(𝑥−1）1+(𝑥−1）2
2
1−𝑥442𝑥4
≥2√2𝑥·2𝑥=4,当且仅当2𝑥＝2𝑥⇒𝑥=1时“＝”成立，
4
4
4
4
4
4
1－031－02
11
3211
＝3. 2
【解析】【解答】对于A：因为h(x)= f(x-1)-1,=
－1=𝑥－2,ℎ(−𝑥)=−𝑥－2,则h(-X)
h(X),
所以h(X)不是奇函数，故A不符合； 对于B：因为h(x)= f(x-1)+1,=
1−(𝑥−1）1+(𝑥−1）+1=𝑥,ℎ(−𝑥)=−𝑥,则h(-X)＝h(X),所以h(X)是奇函数，故B符合；
22
对于C：h(x)= f(x+1)－1,=
1−(𝑥+1）1+(𝑥+1）－1=𝑥+2－2,ℎ(−𝑥)=
2𝑥+2
22
－𝑥+2
－2,则h(-X)h(X)，所以C不符
合； 对于D：h(x)= f(x+1)+1,= 故答案为：B.
1−(𝑥+1）1+(𝑥+1）+1=,ℎ(−𝑥)=
2
－𝑥+2
,则h(-X)≠h(X)，故D不符合.
【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x)，与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。
10.（2021·全国乙卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A. 𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】 D
【考点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x，
因为D1P||OB||BD,且D1P=BO=1
2BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP||OD1,所以∠𝐴𝐷1𝑂 即为所求的角，易证𝐴𝑂⊥平面BDD1B1,故𝐴𝑂⊥OD1, 又𝐴𝑂=1
1
𝜋
2𝐴𝐶=2𝐴𝐷1,所以∠𝐴𝐷1𝑂＝6. 故答案为：D
【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。 11.（2021·全国乙卷）设B是椭圆C：
𝑥25
+𝑦2=1 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ A. 5
2 B. √6 C. √5 D. 2 【答案】 A
）
【考点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1 =-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为－1≤𝑦≤1,所以当𝑦=−4时，|PB|2max=,此时，|PB|max
44 ＝2 ， 故答案为：A
【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P(x,y),再用两点间的距离公式，表示出|PB|，再用本文法计算|PB|的最大值即可。
12.（2021·全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b) 的极大值点，则（ ） A. a＜b B. a＞b C. ab＜a2 D. ab＞a2 【答案】 D
【考点】二次函数的图象，二次函数的性质
【解析】【解答】当a>0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有a 25 1 25 当a<0时，若a为极大值点，则(如图2)，必有a>b>a2,故A错。 故答案为：D. 【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ⃗⃗ ，则λ=________. 13.（2021·全国乙卷）已知向量a=(2,5),b=(λ,4)，若 𝑎⃗//𝑏【答案】 5 【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示 ⃗⃗ ， 则2×4－5𝜆＝0 ， 则 𝜆＝。 【解析】【解答】因为𝑎=(2,5),𝑏=(λ,4)，且 𝑎⃗//𝑏5 【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。 14.（2021·全国乙卷）双曲线 【答案】 √5 【考点】直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为𝑑= |3+2×0−8|√12+22𝑥24 ⇀ ⇀ 8 8 − 𝑦25 =1 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________. =√5. 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。 15.（2021·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 √3 ，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________. 【答案】 2√2 【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑎𝑐sin𝐵=𝑎𝑐sin600=√𝑎𝑐=√3⇒𝑎𝑐=4, 224 于是𝑏=√𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=√𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐=√2𝑎𝑐=2√2 【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。 16.（2021·全国乙卷）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________（写出符合要求的一组答案即可）. 1 1 3 【答案】 ②⑤或③④ 【考点】由三视图还原实物图 【解析】【解答】当俯视图为 ④ 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择③为侧视图； 当俯视图为⑤时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择②为侧视图， 故答案为： ②⑤或③④ 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17.（2021·全国乙卷）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 ̅ ，样本方差分别记为s12和s22 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 𝑥̅ 和 𝑦̅ ， s12 ， s22； （1）求 𝑥̅ ， 𝑦 ̅ - 𝑥̅ ≥ 2√𝑠1+𝑠2 ，则认为（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 𝑦 2 2 2 新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】 （1）解：各项所求值如下所示 𝑥̅ = 10 (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 𝑦̅ = 10 (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 2 = 𝑠1 10 111 x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36， 2222222 = x[(10.0-10.3)+3x(10.1-10.3)+(10.3-10.3)+2x(10.4-10.3)+2x(10.5-10.3)+(10.6-10.3)]=0.4. 𝑠2 10 1 ̅ - 𝑥̅ =0.3，2 √𝑠1+𝑠2 ≈0.551 （2）由(1)中数据得 𝑦 10 2 2 ̅ - 𝑥̅ ＜2 √𝑠1+𝑠2 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 显然 𝑦 10 22 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数𝑥,𝑦 ， 再直接用公式计算 s12 ， s22； (2)由 (1)中的数据，计算得： 𝑦̅ - 𝑥̅ =0.3，2 √𝑠1+𝑠2 ≈0.34 ， 显然 𝑦̅ - 𝑥̅ ＜2 √𝑠1+𝑠2 ，可得到答案。 10 10 2 2 2 2 18.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD ⊥ 底面ABCD，M为BC的中点，且PB ⊥ AM. （1）证明：平面PAM ⊥ 平面PBD； （2）若PD=DC=1，求四棱锥P-ADCD的体积. 【答案】 （1）因为 𝑃𝐷⊥ 底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ， 𝐴𝑀⊂ 平面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ， 所以 𝑃𝐷⊥𝐴𝑀 ， 又 𝑃𝐵⊥𝐴𝑀 ， 𝑃𝐵∩𝑃𝐷=𝑃 ， 所以 𝐴𝑀⊥ 平面 𝑃𝐵𝐷 ， 而 𝐴𝑀⊂ 平面 𝑃𝐴𝑀 ， 所以平面 𝑃𝐴𝑀⊥ 平面 𝑃𝐵𝐷 ． （2）由（1）可知， 𝐴𝑀⊥ 平面 𝑃𝐵𝐷 ，所以 𝐴𝑀⊥𝐵𝐷 ， 从而 △𝐷𝐴𝐵~△𝐴𝐵𝑀 ， 设 𝐵𝑀=𝑥 ， 𝐴𝐷=2𝑥 ，则 即 2𝑥2=1 ， 解得 𝑥=√ ，所以 𝐴𝐷=√2 ． 22𝐵𝑀𝐴𝐵 = 𝐴𝐵𝐴𝐷 ， 因为 𝑃𝐷⊥ 底面 𝐴𝐵𝐶𝐷 ， 故四棱锥 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 的体积为 𝑉=×(1×√2)×1=√ ． 33【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD，及PB垂直AM，可以证明 𝐴𝑀⊥ 平面 𝑃𝐵𝐷 ， 从而可能证明 平面 𝑃𝐴𝑀⊥ 平面 𝑃𝐵𝐷 ； （2）由连接BD（1）可得 𝐴𝑀⊥𝐵𝐷 ， 证明 △𝐷𝐴𝐵~△𝐴𝐵𝑀通过计算，求出高 𝐴𝐷=√2 ，再用棱锥体积公式直接得到答案。 19.（2021·全国乙卷）设 {𝑎𝑛} 是首项为1的等比数列，数列 {𝑏𝑛} 满足 𝑏𝑛=𝑎3 成等差数列. （1）求 {𝑎𝑛} 和 {𝑏𝑛} 的通项公式； （2）记 𝑆𝑛 和 𝑇𝑛 分别为 {𝑎𝑛} 和 {𝑏𝑛} 的前n项和.证明： 𝑇𝑛 < 𝑆𝑛2 𝑛𝑎𝑛3 1 2 ，已知 𝑎1 ，3 𝑎2 ，9 . 【答案】 （1）因为 {𝑎𝑛} 是首项为1的等比数列且 𝑎1 ， 3𝑎2 ， 9𝑎3 成等差数列， 所以 6𝑎2=𝑎1+9𝑎3 ，所以 6𝑎1𝑞=𝑎1+9𝑎1𝑞2 ， 即 9𝑞2−6𝑞+1=0 ，解得 𝑞=3 ，所以 𝑎𝑛=(3)𝑛−1 ， 所以 𝑏𝑛= （2）证明：由（1）可得 𝑆𝑛= 1 2 𝑛−1 𝑛 1×(1− 1)3𝑛11−3 11 𝑛𝑎𝑛3 =3𝑛 . 𝑛 =(1− 2 313𝑛) ， 𝑇𝑛=3+32+⋯+3𝑛−1+3𝑛 ，① 13 𝑇𝑛= 13 2+ 23 3+⋯+ 𝑛−13𝑛1 + 1 𝑛3𝑛+11 ，② 1 𝑛 11(1−𝑛)33 11−3 ① − ②得 3𝑇𝑛=3+32+33+⋯+3𝑛−3𝑛+1 =所以 𝑇𝑛=4(1−3𝑛)−2⋅3𝑛 ， 所以 𝑇𝑛−所以 𝑇𝑛< 𝑆𝑛2𝑆𝑛23 1 𝑛 2 − 𝑛3𝑛+1=(1− 2 113 𝑛)− 𝑛3𝑛+1 ， = 4(1−3𝑛)−2⋅3𝑛−4(1−3𝑛)=−2⋅3𝑛<0 ， . 31𝑛31𝑛 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】由 𝑎1 ， 3𝑎2 ， 9𝑎3 成等差数列，列关系式等比数列 {𝑎𝑛}的公比q，进而得到 𝑎𝑛 ，再由bn与an的关系求得bn； （2）先根据条件求得𝑆𝑛 ，再由错项相减的方法求得𝑇𝑛的表达式，最后用求差比较法，证明 𝑇𝑛 < 20.（2021·全国乙卷）已知抛物线C： 𝑦2=2𝑝𝑥 (p>0)的焦点F到准线的距离为2. （1）求C的方程. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ斜率的最大值. （2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 𝑃𝑄 【答案】 （1）抛物线 𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0) 的焦点 𝐹(2,0) ，准线方程为 𝑥=−2 ， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 2−(−2)=𝑝=2 ， 所以该抛物线的方程为 𝑦2=4𝑥 ； ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(9−9𝑥0,−9𝑦0) ， （2）设 𝑄(𝑥0,𝑦0) ，则 𝑃𝑄所以 𝑃(10𝑥0−9,10𝑦0) ， 由 𝑃 在抛物线上可得 (10𝑦0)=4(10𝑥0−9) ，即 𝑥0= 0所以直线 𝑂𝑄 的斜率 𝑘𝑂𝑄=𝑥0= 2+925𝑦0 𝑆𝑛2 . 𝑝𝑝 𝑝𝑝 2 10 ， 𝑦 𝑦0 25𝑦20+910 0 =25𝑦2+9 ， 0 10𝑦 当 𝑦0=0 时， 𝑘𝑂𝑄=0 ； 当 𝑦0≠0 时， 𝑘𝑂𝑄=25𝑦0+9 ， 𝑦0 10 当 𝑦0>0 时，因为 25𝑦0+𝑦≥2√25𝑦0⋅𝑦=30 ， 0 0 99 此时 0<𝑘𝑂𝑄≤3 ，当且仅当 25𝑦0=𝑦 ，即 𝑦0=5 时，等号成立； 0 193 当 𝑦0<0 时， 𝑘𝑂𝑄<0 ； 综上，直线 𝑂𝑄 的斜率的最大值为 3 . 【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程； ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=9𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，用(x0,yO)表示出 𝑃(10𝑥0−9,10𝑦0) ，再 代 （2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 𝑃𝑄 入抛物线方程，推导出x0 ， y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。 21.（2021·全国乙卷）已知函数 𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2+𝑎𝑥+1 . （1）讨论 𝑓(𝑥) 的单调性； （2）求曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 过坐标原点的切线与曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 的公共点的坐标. 【答案】 （1）由函数的解析式可得： 𝑓′(𝑥)=3𝑥2−2𝑥+𝑎 ， 导函数的判别式 𝛥=4−12𝑎 ， 当 𝛥=4−12𝑎≤0,𝑎≥3 时， 𝑓′(𝑥)≥0,𝑓(𝑥) 在R上单调递增， 2−4−12𝑎2+√4−12𝑎 ， 当 𝛥=4−12𝑎>0,𝑎<3 时， 𝑓′(𝑥)=0 的解为： 𝑥1=√,𝑥2= 6 6 11 1 当 𝑥∈(−∞,当 𝑥∈(当 𝑥∈( 2−√4−12𝑎6 ) 时， 𝑓′(𝑥)>0,𝑓(𝑥) 单调递增； 6 2−√4−12𝑎2+√4−12𝑎62+√4−12𝑎6 ,) 时， 𝑓′(𝑥)<0,𝑓(𝑥) 单调递减； ,+∞) 时， 𝑓′(𝑥)>0,𝑓(𝑥) 单调递增； 1 综上可得：当 𝑎≥3 时， 𝑓(𝑥) 在R上单调递增， 当 𝑎<3 时， 𝑓(𝑥) 在 (−∞,( 322（2）由题意可得： 𝑓(𝑥0)=𝑥0−𝑥0+𝑎𝑥0+1 ， 𝑓′(𝑥0)=3𝑥0−2𝑥0+𝑎 ， 322 则切线方程为： 𝑦−(𝑥0−𝑥0+𝑎𝑥0+1)=(3𝑥0−2𝑥0+𝑎)(𝑥−𝑥0) ， 322切线过坐标原点，则： 0−(𝑥0−𝑥0+𝑎𝑥0+1)=(3𝑥0−2𝑥0+𝑎)(0−𝑥0) , 322整理可得： 2𝑥0−𝑥0−1=0 ，即： (𝑥0−1)(2𝑥0+𝑥0+1)=0 ， 2+√4−12𝑎6 1 2−√4−12𝑎6 ) 上单调递增，在 ( 2−√4−12𝑎2+√4−12𝑎6 , 6 ) 上单调递减，在 ,+∞) 上单调递增. 解得： 𝑥0=1 ，则 𝑓(𝑥0)=𝑓(1)=1−1+𝑎+1=𝑎+1 ， 即曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 过坐标原点的切线与曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 的公共点的坐标为 (1,𝑎+1) . 【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性 【解析】【分析】（1）先对函数求导，通过分类讨论a的取值，确定导数的符号，来确定函数的单调区间； （2）先设切点坐标横坐标x0,通过求导求出切线的斜率，写出切线的方程，再利用切线过原点的条件，就可以得到x0的值，进一步得到公共点坐标。 四、[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.（2021·全国乙卷）在直角坐标系xOy中， ⊙ C的圆心为C（2，1），半径为1. （1）写出 ⊙ C的一个参数方程； （2）过点F（4，1）作 ⊙ C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 𝑥=2+𝑐𝑜𝑠𝜃 （1） （ θ 为参数). 【答案】因为 ⊙ C的圆心为(2，1)，半径为1.故 ⊙ C的参数方程为 { 𝑦=1+𝑠𝑖𝑛𝜃（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0. 故 |2𝑘−1−4𝑘+1|√1+𝑘2 =1 即|2k|= √1+𝑘2 ，4 𝑘2 = 1+𝑘2 ， 解得k=± √ . 3 33故直线方程为y= √ (x-4)+1， y= −√ (x-4)+1 3 3 33故两条切线的极坐标方程为 ρ sin θ = √ cos θ - 3√3 +1或 ρ sin θ = √ cos θ + 3√3 +1. 3 3 4 4 3【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程； （2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。 五、[选修4-5：不等式选讲] 23.（2021·全国乙卷）已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）≥-a，求a的取值范围. 【答案】 （1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|≥6的解集. 当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2; 当-3 【考点】不等式的综合 3 3 【解析】【分析】（1)当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式； （2）只要保证 f(x)最小值>-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容