第２６卷第６期 佳木斯大学学报（自然科学版） Ｖ０１．２６ Ｎ０．６ ２００８年１１月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｍｕｓｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｎｏｖ． ２０ｏ８ 文章编号：１００８—１４０２（２００８）０６一ｏ７９９—０３ 无网格伽辽金法在板弯曲问题中的应用 张亚静，夏茂辉，张文婧 （燕山大学理学院。河北秦皇岛０６６ＯＯ４） 摘要： 无网格伽辽金法采用移动最小二乘近似试函数，形函数一般不具有插值特性，本质边 界条件需要特殊处理．本文采用替换式拉格朗日乘子法施加本质边界条件，为提高精度，对修正 泛函使用罚函数法再次施加本质边界条件．此方法没有增加未知量的数目，而且刚度矩阵仍具有 对称正定带状特点．数值算例表明了该方法的合理性及数值稳定性． 关键词：移动最小二乘法；本质边界条件；替换式拉格朗日乘子法；罚函数 中图分类号：０３４３ 文献标识码：Ａ Ｏ引 言 其中ｐ （ ）是完备多项式，ａ（ ）是相应的系数，它 是 的函数． ＥＦＧＭ（Ｅ１ｅＩＩｌｅｎｔ Ｆｒｅｅ Ｇａｌｅｒｋｉｎ Ｍｅｔｈｏｄ）的思想自 与式（１）相应的局部近似为 １９９４年Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ等ｎ工 系统阐述以来，十几年来 发展迅猛，已成为国际计算力学界研究的热点问题 “ （ ， ）＝∑Ｐｉ（牙）口ｉ（ ）＝Ｐ （牙）口（ ） （２） 之一．与有限元法【３ 】相比，无网格法具有自己独特 为了确定ａ（ ），在局部范围内构造带权重的 的优点：只需要节点信息不需要划分单元，用一些 范数Ｊ（ ），取其最小值，便求得系数向量 离散点的函数值并利用移动最／ｉｘ－乘来拟合场函 ａ（ ）＝Ａ一’（ ）Ｂ（ ） （３） 数，从而摆脱了单元的．但由于形函数一般不 其中Ａ＝ｐ ，Ｂ＝ｐ ， （ ）是权函数，具有紧 具有插值特性，本质征边界条件的处理至今仍是无 支特性，本文计算中采用如下权函数［７】 网格法中实施的一个难点．目前处理这类问题的方 法主要有两类：基于变分弱形式修正的方法和基于 ｌ形函数修正的方法．本文在采用拉格朗日乘子法施 【 志 ０， 一，≥ 加本质边界条件的基础上，为增强泛函的正定性， 其比Ｂｅｌｙｔｓｃｈｋｏ提出的权函数形式简单，参数易 再次修正能量泛函，为提高精度，对修正泛函使用 取，理论上通过修正ｋ，就可得到任意高阶次的近 罚函数法强加本质边界条件．并通过算例检验了以 似解． 上理论的可行性． 将式（３）代人式（１）中，得 １移动最小二乘近似法 Ｕｈ（ ）＝∑ （ ）ｚ‘ （４） 移动最ｄｘ－－－乘近似（ＭＬＳ） 是指通过几个互 不相关节点上的数据，拟合出一个函数，其能够精 其中Ⅳ（ ）＝∑Ｐｊ；（ ）（Ａ 为形函数． 确构造基函数空间中的任意函数，在求解偏微分方 ２ 无网格伽辽金法力学模型的建立 程数值解时，形函数的形成及区域积分的实现都可 以脱离单元的概念． 弹性二维力学问题平衡方程： 在边界为Ｉ１的域ｎ中，设／／，（ ）是任意一点 ¨＋ ＝０ 在ｎ内 （５ａ） 的函数，Ｕ （ ）是ｕ（ ）的全局近似式，则 边界条件： ｕ （ ）＝∑Ｐ （ ）Ｄ （ ）＝Ｐ （ ）ａ（ ）（１） ａ￣．ｎｙ＝ 在 上 （Ｓｂ） Ⅱ ＝＿ｌ 在 上 （５ｃ） ①收稿日期：２００８—１０—２７ 作者简介：张亚静（１９８２一），女，河北秦皇岛人，燕山大学硕士研究生，研究方向：无网格伽辽金法及其应用． ８００ 佳木斯大学学报（自然科学版） ＋ ＋ ）Ｕ ＝Ｐ＋Ｐ｜＋ ，其中 ２００８年 其中 为ｎ域中给定的体力，ｒＩ为给定的面力边 界，ｎ／为边界ｒＩ外法线的方向余弦， 为给定的面 力， 为给定的位移边界，瓦 为给定的位移． 应用虚位移原理［８】，与方程（５）等效积分弱形 式的矩阵形式为 Ｋｔ＝＼ＰＮｒＤＢｄＰ一＼ｒＢ ＤＴｎＴＮａＰ， ＝ａＪ Ⅱ（“）＝Ｉ’ （’ 捷 一乩 ）ｄｎ—Ｉ。 ’３ｕｒ￣ｄＩ＂＝０ － Ｐ｜＝Ｉ ＢｒＤｒｎ ｄＦ， Ｊ ｒ ＝ａ（６） ｒ １ 。 ０ 舯一 Ｄ＿ 用移动最小二乘近似函数 Ⅱ（ ）一ｈ （ ）＝№’ （７） 其中ｕ（ｘ）：（ｕ（ｘ）， （ ）） ， Ｎ（ｘ）＝［Ｎ （ ），Ⅳ２（ ），…， （ ）］， ｃ ：【ｎ‘ ｎ ？ 】，ｉ＝ｔ，２，…，ｎ， ｚ‘。：［ ｌｌ ｔ， ｔ， … ｎ： ：］ ． 将式（７）代人式（６）中，得到ＫＵ ＝Ｐ， 其中 Ｋ＝ｌ ＢｒＤＢｄＯ， Ｐ＝ｌ Ｊ７、ｒ ｎ＋ｌ ＮｒｆｄＦ， Ｂ＝［曰ｌ， ２， …， ｊ， 厂 ，。０ １ 日＝ｌ ０ Ⅳｊ，，Ｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ． Ｌ Ｎｔ．ｙ Ｎｉｊ ． 用拉格朗日乘子法将约束条件引入式（６）中，得到 Ⅱ （ｕ， ）＝ Ⅱ（“） ＋０Ｉ ｒ且 （ ｚ‘一统）ｄＦ＋ＩＪ ｊ ３ｕ￣ａｄｒ＝０ （８） 对式（８）中右边第一项分部积分，得到 的物理意 义是边界 上面力ｔ的负值，即在 上 ＝一ｔ，再 带回形函数中，得 Ⅱ （ ， ）＝ Ⅱ（ ） 一Ｊ ｌ￡（３ｕ一￣ａ）ｄｒ—ｌＪ ３ｕ ｔｄＰ＝０ （９） 现将罚函数再次引入到对位移边界的处理中，有 ⅡⅥ（ ）＝ Ⅱ（ ）－－＿Ｊ （ 一瓦）ｄｒ —Ｊｌ ３ｕ ｔ ｒ＿ ｄＦ＋ａ Ｊ ｒｕｌ乩 （ 一 ）ｄｒ （１０） 其中口为罚因子，取口＝ｌ０ ，其中ｎ。为方程组 对角线元上的量级，ｎ：＝１，２，…．其矩阵形式为（ Ｊ Ⅳｒｕ 且Ｋ＋Ｋ＋ 仍为正定带状矩阵． ３数值算例 如图ｌ所示，一均载的大挠度弯曲薄板，其中 的一对边固定一对边简支，取在单位集中载荷作用 下的一对边固定一对边简支小挠度弯曲矩形板为 基本系统，如图２所示．本例中薄板长ａ为２５０ｒａｍ， 宽ｂ为２００ｍｍ，厚度ｈ为１．５ｍｍ，杨氏模量Ｅ取为 ７．２×１０４ＭＰａ， 自松比取０．３．应用无网格法来求解 该基本系统的基本解，将求得的中线（ ＝１２５ｒａｍ） 上的挠度分布列于表１中，同时与ＡＮＳＹＳ求得的 相应节点的解相比较，可见结果相差不大，表明了 本文方法是可行且有效的． ・ ｑ 口］二］＝工］＝＝田 图１实际系统 、 ｆ ’ｈ 、 ／ ， 图２基本系统 ４结 论 本文在采用拉格朗日乘子法施加本质边界条 件的基础上，为增强泛函的正定性，再次修正能量 泛函，为提高精度，对修正泛函使用罚函数法强加 本质边界条件．并将其应用于平板弯曲的数值计算 中，所得结果与ＡＮＳＹＳ软件求得的结果相比相差 第６期 张亚静，等：无网格伽辽金法在板弯曲问题中的应用 ８０１ 不大，表明了本方法的数值稳定性和可行性． 表ｌ挠度分布／ｍ 参考文献： ［１］Ｂｅｌｙｔ￣ｏ Ｔ，ｈＩ Ｙ Ｙ，Ｇｕ Ｌ．￣ｅｍｍｔ—Ｆｒｅｅ Ｇｄｅ￣ｉｎ Ｍｅｄｍ＆ＣＪ］． Ｉｎｔｅｍａｔｉｏｍｌ ＪｍｍｍｌｆｏｒＮｍｍｍ￣Ｍｅｆｌｍ＆ｉｎＢ ∞曩ｉｌｌｇ。１９９４，３７ （２）：２２９—２５６． ［２】刘更，刘天祥，谢琴．无网格法及其应用［Ｍ］．西北工业大学出 版社．２００５．６４—９０． ［３］王勖成，邵敏．有限单元法基本原理和数值方法［Ｍ］．北京：清 华大学出版社，ｌ９９６．１５４一ｌ６７． ［４］龙志飞，岑松．有限元法新理论一原理．程序．进展［Ｍ】北京： 中国水利水电出版社，２００１，１３５—１６７． ［５］Ｂｅｌｙｔ８ｄ Ｔ。 ０喈ｍＹ， ＩＤ。ｎ哪ｉｎｇＭ， ｙ８ＩＰ．Ｍｅｅｈｌ￣ ．Ｇｍ呻Ｍｅｔｈｏｄｓ ｍｅｔｈｏｄ：Ａｎ Ｏｖｅｒｖｉｅｗ ａＩｌｄ Ｒｅｃｅｎｔ Ｉ）ｅｖｄ￣ｉｎＡｐｐｌｉｅｄＭｅｅｈｍｉｃｓ ａｎｄ ｇｉｒ咖，１９９６．１３９：３—４７． ［６】Ｇｅｎｋｉ Ｙｍ。Ｔｃｍｏｎａｄ Ｆ．Ｒｅｃ￣￣Ｄｅｖｄｏｐｍｅｎｔｓ ０ｆＦｒｅｅ Ｍｅ＆Ｍｅｔｈｏｄ． Ｉｎｔｅｍａｔｉｃｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｎｌｇｉ ｌｌｇ．２０ＯＯ， ４７：１４１９—１４４３． ［７］Ｎａｙｒｏｌｅｓ Ｂ ｅｔ ａ１．Ｇｅ嗍 Ａｐ ３１８． ｔｈｅ ＦｍＲｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍ．：ｔｌ ： ∞ｍｄ Ｅｈｎｍｎ￣ｃ０啤眦 ｄＩ，１９９２，ｌＯ：３ａ７— ［８］付宝连．弹性力学中的能量原理及其应用［Ｍ］．北京：科学出 版社．２００４．２３２—３０７． ＺＨＡＮＧ Ｙａ一 ｎｇ，ＸＩＡ Ｍａｏ—ｈｕｉ， ＺＨＡＮＧ Ｗｅｎ一 ｎｇ （１￣ｐａｒｔｍｍｔ ｏｆＳｄｍｏｅ，ＹａｎＳｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈ，ｍ ｏｍ￣ａｏ ０６６（３０４，Ｏｌｈｌａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ—ｆｒｅｅ Ｇａｌｅｒｋｉｎ Ｍｅｔｈｏｄ，ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ｈｅ ｔｍｏｖｉｎｇ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅ印・ ｐｍｘｉｍａｆｉｏｎ．Ｂｕｔ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｓａｔｉｓｆｙ ｈｅ Ｋｍｎｅｃｈｅｒ一８ ｔｃｏｎｄｉｉｔｏｎ．Ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｅｍｐｌｏｙｓ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ￣ｇｒＢＢｇｅ ｍｕｌｉｔｐｌｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｅｎｆｏｒｃｅ ｈｅ ｅｓｔｓｅｎｔｉａｌ ｂｏｕｎｄ－ ａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｐｅｎａｌｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ａｇａｉｎ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ．Ｔｈｉｔｓ ｍｅｔｈｏｄ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｉｎ－ ｃｒｅａｓｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｈｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ｖａｒｔｉａｂｌｓ，ａｎｄ ｔｅｈｅ ｓｔｉｆｎｅｓｓ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｓｔｉｌｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｓｔｒｉｐｎｅｓｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈ砒ｔ｝Ｉｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉＳ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ａｎｄ ｓｔａｂｌｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍｏｖｉｎｇ ｌｅａｓｔ—ｓｃ￣ｔａｒｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ；ｔｈｅ ｓｓｅｎｔｅｉｌ ａｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ ｌ￣ｍａｎｇｅ ｍｕｌｔｉ— ｐｌｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄ；ｐｅｎａｌｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ
